指数函数复习专题(含详细解析).doc

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第讲指数函数

时间：

年月日刘老师学生签名：

一、兴趣导入

二、学前测试

1．在区间上为增函数的是（　 B）

A．　　　　　 B．　C．　　　　 D．

2．函数是单调函数时，的取值范围　（　A ）A．　　　　　 B．　　　　C．　　　　　 D．

3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有　（　A ）

A．最大值　　　 B．最小值　　　　　　　C．没有最大值　　　D．没有最小值

4．函数，是（　B ）

A．偶函数　　　　　　　B．奇函数　　　　 C．不具有奇偶函数D．与有关

5．函数在和都是增函数，若，且那么（　D ）

A．　　B．　 C．　　 D．无法确定

6．函数在区间是增函数，则的递增区间是　　（　 B）

A．　　　　　　 B．　　　　　C．　　　　　D．

三、方法培养

☆专题1：

指数函数的定义

一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.

例1

指出下列函数那些是指数函数：

（１）（２）（３）　（４）（５）（6）（7）（８）

解析：

利用指数函数的定义解决这类问题。

解：

（１），（５），（８）为指数函数　　

变式练习1

1函数是指数函数，则有（　　　）

Ａ．ａ＝１或ａ＝２　Ｂ．ａ＝１　Ｃ．ａ＝２　Ｄ．ａ＞０且

答案:

C

2.计算:

;

解：

（1）

=（）+（）+（0.0625）+1-

=（）2×+（）+（0.5）+

=++0.5+

=5;

☆专题2：

指数函数的图像与性质

一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

a＞1

0＜a＜1

图象

性质

①定义域：

R

②值域：

（0,+∞）

③过点（0,1）,即x=0时y=1

④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当x＞0时,y＞1

④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当x＞0时,0＜y＜1

在同一坐标系中作出y=2x和y=（）x两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y轴对称.

图2-1-2-3

例3比较下列各题中的两个值的大小:

（1）1.72.5与1.73;

（2）0.8-0.1与0.8-0.2;（3）1.70.3与0.93.1.

利用函数单调性,

①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数y=1.7x在R上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73；

②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x在R上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2；

③因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1..

变式练习3

1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.

答案：

b

2.若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的范围是多少？

答案：

＜a＜1.

3.设m<1,f（x）=,若0

（1）f（a）+f（1-a）的值;

（2）的值.

活动：

学生思考,观察,教师提示学生注意式子的特点,做这种题目,一定要有预见性,即第

（2）问要用到第

（1）问的结果,联系函数的知识解决.

解：

（1）f（a）+f（1-a）===

===1.

（2）

=［

=500×1=500.

☆专题3：

求函数的定义域与值域

例4

求下列函数的定义域

（１）

（2）

解析：

求定义域注意分母不为零，偶次根式里面为非负数。

解（１）：

令ｘ－４０，得ｘ４，

故定义域为（－，４）（４，＋）

（2）：

所以的定义域为

点评：

求函数的定义域是解决函数问题的基础。

变式练习4

求下列函数的定义域和值域:

（1）y=（）;

（2）y=;（3）y=ax-1（a>0,a≠1）.

答案：

（1）函数y=（）的定义域是R,值域是［,+∞）;

（2）函数y=的定义域是［,+∞）,值域是［0,+∞）;（3）当a>1时,定义域是{x|x≥0},当0

四、强化练习

1.下列关系中正确的是（）

A.（）<（）<（）B.（）<（）<（）

C.（）<（）<（）D.（）<（）<（）

答案：

D

2.函数y=ax（a>0,a≠1）对任意的实数x,y都有（）

A.f（xy）=f（x）·f（y）B.f（xy）=f（x）+f（y）

C.f（x+y）=f（x）·f（y）D.f（x+y）=f（x）+f（y）

答案：

C

3.函数y=ax+5+1（a>0,a≠1）恒过定点________.

答案：

（-5,2）

4.比较a与a的大小（a＞0且a≠0）.

答案：

分a＞1和0a;当a>1时,a

五、训练辅导

☆专题4：

函数图像的平移

当m>0时,y=ax的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象;

当m<0时,y=ax的图象向右移动|m|个单位得到y=ax+m的图象.

上述规律也简称为“左加右减”.

例4为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象（）

A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

变式练习5

1.已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数.

（1）求a,b的值；

（2）若对任意的t∈R,不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）<0恒成立,求k的取值范围.

活动：

学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有困难,教师可以提示,

（1）从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f（0）=0,f（-1）=-f

（1）,

（2）在

（1）的基础上求出f（x）,转化为关于k的不等式,利用恒成立问题再转化.

（1）解：

因为f（x）是奇函数,

所以f（0）=0,即=0b=1,

所以f（x）=;

又由f

（1）=-f（-1）知=a=2.

（2）解法一：

由

（1）知f（x）==+,易知f（x）在（-∞,+∞）上为减函数.

又因f（x）是奇函数,从而不等式：

f（t2-2t）+f（2t2-k）<0,

等价于f（t2-2t）<-f（2t2-k）=f（k-2t2）,因f（x）为减函数,由上式推得：

t2-2t>k-2t2,即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,

从而判别式Δ=4+12k<0,

∴k<.

2.已知定义在上的函数（为实常数）是奇函数，；

（I）求的值，判断并证明函数的单调性；

（II）若对任意的，不等式（为实常数）都成立，求的取值范围；

六、家庭作业布置：

家长签字：

_________________

（请您先检查确认孩子的作业完成后再签字）

附件：

堂堂清落地训练

（坚持堂堂清，学习很爽心）

1.函数y=a|x|（a＞1）的图象是（）

图2-1-2-8

分析：

当x≥0时,y=a|x|=ax的图象过（0,1）点,在第一象限,图象下凸,是增函数.

答案：

B

2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（）

A.y=（）2-xB.y=C.y=D.y=+1

分析：

因为（2－x）∈R,所以y=（）2－x∈（0,+∞）;y=∈［0,1］;y=∈［0,+∞）;y=+1∈［2,+∞）.

答案：

A

3.已知函数f（x）的定义域是（0,1）,那么f（2x）的定义域是（）

A.（0,1）B.（,1）C.（－∞,0）D.（0,+∞）

分析：

由题意得0＜2x＜1,即0＜2x＜20,所以x＜0,即x∈（－∞,0）.

答案：

C

4.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则（）

A.ABB.ABC.A=BD.A∩B=

分析：

A={y|y＞0},B={y|y≥0},所以AB.

答案：

A

5.已知0

（A）第一象限（B）第二象限

（C）第三象限（D）第四象限

二、填空题

1．若a

0

2．若10x=3,10y=4,则10x-y=。

3．化简×2=。

1

4．函数y=的定义域是。

（-,0）（0,1）（1,+）,联立解得x0,且x1。

5．函数y=3的单调递减区间是。

（0，+）

令y=3U,U=2-3x2,∵y=3U为增函数，∴y=3的单调递减区间为[0，+）。

6．若f（52x-1）=x-2,则f（125）=.0f（125）=f（53）=f（52×2-1）=2-2=0。

7.对于函数f（x）定义域中的任意的x1、x2（x1≠x2）,有如下的结论:

①f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）;②f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）;

③>0;④<.

当f（x）=10x时,上述结论中正确的是.

分析:

因为f（x）=10x,且x1≠x2,所以f（x1+x2）===f（x1）·f（x2）,所以①正确;

因为f（x1·x2）=≠=f（x1）+f（x2）,②不正确;

因为f（x）=10x是增函数,所以f（x1）-f（x2）与x1-x2同号,所以>0,所以③正确.

因为函数f（x）=10x图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.

图2-1-2-9

答案：

①③④

另解：

④

∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴>∴>,

即>∴>.

三、解答题

1．设0a。

解：

∵0a,∴2x2-3x+1

2．已知x[-3,2]，求f（x）=的最小值与最大值。

解：

.f（x）=,∵x[-3,2],∴.则当2-x=,即x=1时,f（x）有最小值；当2-x=8,即x=-3时，f（x）有最大值57。

3.已知函数f（x）=,

（1）判断函数的奇偶性；

（2）求该函数的值域；（3）证明f（x）是R上的增函数。

解：

．

（1）∵定义域为x,且f（-x）=是奇函数；

（2）f（x）=即f（x）的值域为（-1，1）；

（3）设x1,x2,且x1

8.

（1）求函数y=（）的单调区间,并证明.

（2）设a是实数,f（x）=a（x∈R）,试证明对于任意a,f（x）为增函数.

活动：

（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=（）x与y=x2-2x的复合函数,

（2）函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.

解法一：

设x1

因为x10.

当x1,x2∈（-∞,1］时,x1+x2-2<0,这时（x2-x1）（x2+x1-2）<0,

即>1,所以y2>y1,函数单调递增;

当x1,x2∈［1,+∞）时,x1+x2-2>0,这时（x2-x1）（x2+x1-2）>0,

即<1,所以y2

所以函数y在（-∞,1］上单调递增,在［1,+∞）上单调递减.

解法二：

（用复合函数的单调性）：

设u=x2-2x,则y=（）u,

对任意的1

所以y1

对任意的x1u2,又因为y=（）u是减函数,

所以y1

引申：

求函数y=（）的值域（0

点评：

（1）求复合函数的单调区间时,利用口诀“同增异减”.

（2）此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性的定义进行证明,还应要求学生注意不同题型的解答方法.

证明：

设x1,x2∈R,且x1

f（x1）-f（x2）===.

由于指数函数y=2x在R上是增函数,且x1

所以2x1<2x2,即2x1-2x2<0.

又由2x>0得2x1+1>0,2x2+1>0,

所以f（x1）-f（x2）<0,即f（x1）

因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,f（x）为增函数.

10

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摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。