数学建模完整论文教学楼紧急情况下人员疏散问题Word格式.docx
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问题三：
为方便紧急撤离，在问题三的分析中，我们给出五个改进措施。
根据这五个措施，画出教学楼的设计图。
为使模型简化，给出了一些合理的假设，简化和数据，从而得出疏散时各楼层的模拟图。
最终列出模型方程：
代入问题二中的数据，得到：
当V0=4.0m/s时，t=48.6059s
当V0=3.0m/s时，t=65.3174s与问题二中所求的疏散时间相比较，显然我们改进的方案的疏散时间较短。
故我们的改进方案可行性较强。
问题四：
经分析为使疏散时间最小，只需使等待时间最小。
以下为教室安排方案：
先让速度快的人员先下楼，故下面的人员行走要快些。
巧妙的将人的行走比作流体，建立人流模型，从而使问题简化。
1.问题的重述
1.1问题的背景学校的教学楼是一种人员非常集中的场所，当发生地震、火灾等安全事故，或晚自习突发停电等突发事件时，师生需要尽快撤离事故现场，由于学校教学楼开放的安全通道有限，加上缺少合理的人员疏散方案，造成师生上下课时（尤其是雨天）的楼道拥堵。
在灾难发生之时，建筑物内的人员是否能有组织、有秩序地撤离是有关人身安全保障的大问题。
对于一个特定的建筑物，管理人员最关心建筑物内所有的人全部撤离完毕所用时间，以便于安排建筑物的出口以及撤离方案。
这个问题可以通过反复的实际演习来解决。
但多次反复的演习实际上是不可能的。
理想的办法是通过理论上的分析得到。
1.2问题的提出现在考虑学校的9号教学楼，共六层，其中每层楼有两排教室，共四间，如图1,2：
图11楼原平面图
图22~6楼原平面图为了发行方便对其进行简化处理，即将A、Ｂ、Ｃ、Ｄ四间教室都各划分为两间小教室，每间小教室对应一个门，如图3,4：
图32~6楼简化平面图
图41楼简化平面图楼里的师生们可以沿教室外的走道一直走到楼梯间下楼，试完成下面的问题：
1.用数学模型来分析这栋教学楼的师生疏散所用的时间；
2.根据建立的数学模型给出最佳撤离方案；
3.为方便紧急撤离，结合实际，就教学楼的设计方案给出合化的建议；
4.若教学楼按你预计的方案建设，考虑到不同年龄的学生的运动能力不同，为方便紧急撤离，给学校提供合理的教室安排方案。
2.模型假设
（1）楼道中与楼梯上无障碍物；
（2）疏散时走道左右两边教室的人员各自排成一行独立有序行进,互不影响；
（3）撤离人员间隔均匀且行进速度保持不变;
（4）全部人员的反应时间是一样的；
（5）地震时，老师与学生都在教室中；
（6）队列中人的身体厚度相同；
（7）在疏散过程中，在门口、楼梯口、由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排队等候型处理；
（8）个体始终朝出口方向移动，不考虑心理层面对个体的行为的影响；
（9）忽略卡死与跌倒现象；
（10）到一楼楼梯底即为逃脱。
3.符号说明与名词解释
3.1符号说明
1.Nij为第i层楼第j个教室中的人数；
2.Li为第i个教室的门口到它前面一个教室的门口或出口的距离；
3.D为教室门的宽度；
4.H为楼房的层高；
5.v是人流移动速度；
6.v0是不发生拥挤时自由移动速度；
7.是人流密度；
8.b为肩宽；
c为步长；
e为身体厚度；
9.楼梯宽度w；
楼梯长度l；
10.走廊宽度f；
11.d为相邻个体间距，dce；
12.l为相邻楼层间的楼梯长度；
13.人流的宽度：
[D/b]。
3.2名词解释
（1）单行：
人员排成一列行走；
（2）双行：
人员排成两列行走；
（3）人行流（人流）：
运动的人员视为连续流动的介质，即人流。
4.模型的准备
4.1人行流（人流）的基本函数
人流密度反应了人流内人员分布的稠密程度,通常是指单位面积内分布的人员的数目。
Fegress认为人流密度指单位面积的疏散走道上的人员的水平投影面积,它是一个分数值,其大小为
p=nf／{[（n-1）d0+nw]b0/2}
其中,n为一定面积的总人数;
f为单位水平投影面积（m2）;
d0人流间的间距（m）;
w为人流间的厚度（m）;
b0为疏散通道宽度（m）。
式中的单位水平投影面积反映整个人流内人员投影面积的综合水平。
Fegress将人流内的人员按不同的年龄段分为3类人:
青年人、中年人、老年人,各类人员的投影面积可按实际测量得出取平均值,然后按各类人员在人流中的百分比求加权平均值,即
f=xa+yb+zc
式中,f为单位水平投影面积（m2）;
x、y、z分别为青年人、中年人、老年人平均的单人水平投影（m2）;
a、b、c分别为青年人、中年人、老年人在人流中的百分比。
人流速度是指人流整体的行进速度,其值为人流首段的行进速度。
研究表明,人流速度是人流密度的函数:
v=f（p）,一般说来,由于性别、年龄、身体条件的不同,疏散人员的能力也
各有不同。
为简化起见,Fegress将楼栋里的人群视为人流处理,并具有一定的密度、速度及流量而不单独考虑人流内各个人员的具体特征。
图5显示了在不同疏散路线上人员行走速度与人员密度的关系:
图5人员行走速度与人员密度的关系
4.2安全队列数
安全队列数是指在保证安全不拥挤的前提下,疏散通道宽度一定时,最多允许同时通过的人员列数。
m=int[（b0-0.238）/b*]
其中,b*为人自由行走时所需的最小宽度,int表示取整。
4.3行走速度
人在紧急状态下行走速度会比正常情况下快。
根PredtechenskiiMilinskii的研究,正常情
况下水平通道内的人流速度:
432
v=（112p-380p+434p-217p+57）/60
其中,p≤0.92,当人流密度达到或超过这一数值时,人流便会现拥挤或堵塞。
在紧急情况下人流在水平通道内的行走速度为：
v1=vu1
式中,u1=1.49-0.36p。
在紧急情况下人流在斜直方向（下楼梯）速度近似为：
V2=u1v
研究对象是在无穷长的路上沿单向运动的一条人流假定不允许任何人超前行走，路上也没有岔路，在路上选定一个坐标原点，记作x0。
以人流运动方向作为x轴的正向，于是路上任一点用坐标x表示。
对于每一时刻t和每一点x，引入3个基本函数：
流量q（x,t）一时刻t单位时间内通过点x的人数；
密度（x,t）一时刻t点x处单位长度内的人数；
速度u（x,t）一时刻t通过点x的人流速度。
将人流视为一维流体场，这些函数完全可以类比作流体的流员、密度和速度．注意这里速度u（x,t）不表示固定的哪一个人的速度.
3个基本函数之间存在着密切关系．首先可以知道，单位时间内通过的人数等于单位长度内的人数与人流速度的乘积，即
其次，经验告诉我们，人流速度u总是随着人流密度的增加而减小的当一个人前面没有人时，它将以最大速度行走，可描述为0时uum（最大使）：
当人首尾相接造成堵塞时，人无
法前进，可记为m（最大使）时u0．不妨简化地假设u是的线性函数，即
uum
（1）
（2）
m
再由
（1）式可得：
qum
（1）（3）
表明流量随人流密度的增加先增后减，在'
'
m/2处达到最大使qm（图6）。
应该指出，
（2），（3）式是在平衡状态下,u和q之间的关系，即假定所有人的速度相同，路上各处人的人流密度相同。
图6
5.问题的分析
5.1问题一的分析由于本教学楼的楼道是对称双向的，故可简化为两个单边教室单向出口的形式。
人员疏散时间不仅与人员密度、出口通量、人员疏散速度有关系,还与建筑结构形式有
关。
我们把运动的人员视为连续流动介质。
这里我们令[D/b]=1，w2，即人员从门通过时
是单行，楼梯最多并行两个人；
且楼梯长度l小于L2。
由模型的准备可知流量随人流密度的增加先增后减，单行的流量小于双行的流量，故我们尽量使人流双行。
单行速度v1，双行速度v2，如图7：
图7二楼人员刚出来时一楼的情况
因为v1v2且lL2，故二楼的N1中第一个跑出的人员与一楼人员相遇。
如图8：
图8二楼人员与一楼人员相遇时一楼的情况忽略一些特殊情况，如图9：
图9人员运动过程中的特殊情况
由于人员都是连续的人流，故只有前面n1个人员单行，其余的都双行，故我们可以得出：
疏散时间=单行人员疏散时间+双行人员疏散时间
5.2问题二的分析根据假设，在疏散过程中，在门口、楼梯口、由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排队等候型处理。
在等待过程中，如果出现以下情况，如图10：
图10等待中出现的情况
则可以自动调整为以下情况，如图11：
图11调整后的情况
在问题一的基础上，在人员疏散过程中，我们设定以下规则：
1.当不拥挤时，人员单行出楼时，无需等待，直接出楼；
2.当拥挤时，人员按照排队理论，先到的人行流先行；
3.若出现图10的情况时，自动转变为图11；
4.即使不是在同一人行流中，到出口时，可以互相“组队”形成双行，使楼梯利用率最大。
我们模拟地震逃亡，给出一些符合实际的模拟数据，给出最佳撤离方案。
5.2问题三的分析
为方便紧急撤离，我们就教学楼的设计方案给出以下建议：
（1）把楼梯建于四个教室的中间；
（2）使所有门建于靠近楼梯的一端；
（3）一楼无走廊，一楼的人员可以直接从门里逃脱出去；
（4）适当拓宽门、走廊和楼梯；
（5）在面积不变的情况下，减小五个楼层的教室的Li。
5.3问题四的分析
为方便说明，不妨设运动能力（年龄由大到小）为A、B、C、D、E（A>
B>
C>
D>
E。
）明显，我们先把运动能力为E的人员安排在一楼。
下面讨论运动能力为A、B、C、D的人员的安排情况。
由经验可知：
5452
（c*Nij）/2l以及（c*Nij）/2l
i2j3i2j1
故可以认为人流不间断，且都是以最大流量从出口出去。
为使疏散时间最小，现在我们只需使等待时间最小即可。
6.模型的建立与求解
6.1问题一模型的建立
日本的K.Togawa提出经过Melink和Booth简化推导得到的计算公式，他们认为人流速度主要
与人员密度有关：
v是人流移动速度，v0是不发生拥挤时自由移动速度，是人流密度。
有问题一的分析可知：
疏散时间=单行人员疏散时间+双行人员疏散时间单行人员疏散时间：
其中v1v010.8，11/d1（个/m2）
单行人员个数为：
注：
[a]表示不超过a的最大整数，称为a的整数部分。
双行人员疏散时间：
其中v2v020.8，221
最终列出疏散时间的模型方程：
即：
6.2问题二最佳撤离方案的建立根据问题二的分析，我们模拟地震时，教学楼疏散时的情形。
下面我们给出各楼各教室的人数，见表1：
一楼
二楼
三楼
四楼
五楼
六楼
N1（人）
48
N2（人）
45
N3（人）
N4（人）
表1各楼各教室的人数
初始化问题一中的一些变量：
l=6.4m考虑到我国人口素质未来几年的发展情况和表2,兼顾计算的简便,在本文中取b0.5m则dce0.5m将上述数据分别代入：
利用mathematica软件求解得出：
当V0=3.0m/s时，t=216.25s最佳撤离方案为：
当开始疏散时，所有的人员都同时行动。
一楼的人先按次序撤离，此时单行；
当二楼的人员与一楼的人员相遇时，此时双行；
忽略后面一小段单行，除去一开始单行，其余全部按双行处理。
即先撤出一楼单行的人员，再撤出一楼和二楼双行的人员，最后撤出三至五层楼的人员。
我们取v03.0m/s时，所有人员疏散总时间为t=216.25s。
6.3问题三模型的建立与求解由问题三的分析，根据其改进方案，我们可以给出教学楼一楼、二楼及二楼以上楼层的的设计图：
图12一楼设计图
图13二楼及二楼以上楼层设计图
现假设人流的宽度：
[D/b]2，即两个人可以同时从门里出去；
楼梯宽度w1.5D/b，即楼梯最多能让3个人并行；
二到五层走廊宽度f2D/b，走廊可以同时让4个人并行根据以上假设，我们给出人员疏散模拟图：
图14一楼人员疏散模拟图
图15二楼及二楼以上楼层人员疏散模拟图现在我们根据假设及模拟图求出人员疏散时间：
4一楼四个教室的人数为N1jj1
所有人员撤出的总时间
544
t'
[（NijN1j）/3]cl/[v020.8（1/d1）0.8]
i1j1j1
我们利用mathematica软件求解可得：
当v03.0m/s时，t=65.3174s
当v02.0m/s时，t=97.8924s与问题二中所求的疏散时间相比较，显然我们改进的方案的疏散时间较短。
故我们的改进方案可行性强。
6.4问题四模型的建立与求解根据问题四的分析，我们建立疏散时间的模型。
四种运动能力A、B、C、D人员的运动速度为v'
1、v'
2、v'
3、v'
4（v'
1v'
2v'
3v'
4）
二楼至六楼人员疏散时间，也即该楼总疏散时间：
T[（Nij/3）cl]/v'
i1+t0i
i2j1i1
其中t0i,i=1,2,3,4,5分别为二、三、四、五、六楼人员的等待时间。
要使T最小，只需使总
4
等待时间t0i最小。
i1
所以得到最终教室安排方案：
先让速度快的人员先下楼，故一，二楼安行动力强的人员，二到六楼安年幼点的人员。
7.模型的进一步研究
由于我们的模型在一定程度上有理想化成分，我们将模型进行深度讨论，运用我们模型的思想作为为基础，来对该模型进行理论与实践上的讨论作为我们模型的推广。
人员疏散行为规律的研究一直是人们关注的焦点。
我国对安全疏散的研究起步比较晚，大都还停留在定性分析阶段。
近几年来，随着我国对消防安全的逐渐重视，才出现了一些关于建筑物中安全疏散模拟模型的研究。
但这些模型在计算人员疏散行动时间时，把人员在房间内的移动都看成是人到出口的直线运动路线。
而实际上由于房间中桌椅等障碍的影响，避难者的行动路线是折线运动。
针对这个问题，本文提出一种按“L”型行动路线表示人员在房间中的行走情况，并用面积法计算避难者在房间出口的集结状况。
而人员在走廊、楼梯间等通道中的移动则采用将通道划分为单元，每个单元长为“VT”，以此计算出口的避难者人数。
并通过与国外公式的对比检验，证明了本模型具有一定的准确性。
疏散行动模型的建立：
7.1模型基本情况的假定
7.1.1建筑基本情况
建筑的标准层水平通道为条形或环形布置，房间在走道的两侧布置（房间也可单侧布置，另一侧为走道）。
疏散走道为双向疏散至楼梯间。
楼梯间通向安全避难层。
此避难层即为最终疏散的安全地点。
即建筑物都包括了房间、走道、楼梯间前室、楼梯间、安全地点等主要的空间要素。
7.1.2人员情况
疏散人员包括以下几类人员：
不同年龄的人、活动不便的人以及。
人员分布：
疏散前人员在各房间内，在房间内按同一人员密度分布，其他位置（如：
走道、楼梯间前室、楼梯间等疏散通道）内无人员分布。
7.1.3疏散情况
建筑中的人员按照既定的疏散计划方案中的疏散路径有序地进行疏散，且在疏散过程中人群不出现恐慌状态。
7.2疏散流动的模式化
7.2.1空间的模式化
采用空间网络型控制方法，将各个房间、通道、楼梯间前室、楼梯间、安全地点分别作为网络的基本节点。
再结合建筑情况和疏散过程的实际情况，把走道、楼梯间节点进一步细分为几种具有各自特性类型的节点。
各种类型节点的划分定义情况。
为了便于计算，还将各个空间节点之间的联系定义为连接。
该连接为各个空间节点相互联系的假想空间，该处既无面积，亦不存在用于移动的时间。
7.2.2流动的处理在疏散过程中，人的流动以单向型人流对待，在门口、楼梯口、出入口等处由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排队等候型处理；
在楼梯前室，如有两个出口，人流则按均匀分配处理。
7.2.3人的处理由于已将疏散通道的各个空间节点细分了，且可把各疏散通道的空间节点看成是一个个微元单位。
因此，在人员疏散的流动过程中，在所划分的各个疏散通道的空间节点中的人员分布在各个时刻可看成是按该时刻时的同一密度均匀分布。
7.2疏散模型的基本原理
疏散人员从疏散开始后某一时刻T至下一时刻（T+△T）时间阶段内所进行的疏散行动（移动）分为两个阶段：
1.疏散人员在其所在的空间节点内的移动（移向该节点出口）。
2.疏散人员在各连接（Link）的移动。
即由上一空间节点向下一空间节点的移动。
上一空间节点流出人数为此节点能够流出的人数和其出口允许流出人数两者的较小值。
而下一空间节点允许进入的人数等于该节点所能容纳的最大人数减掉该节点剩余人数。
因此，通过连接（link）的人数即为上一空间节点流出人数和下一空间节点允许进入的人数两者的较小值。
本文重点介绍房间内人员移动的技术原理。
图16房间内避难者的移动计算图
如图2所示，房间内避难者的移动按“L型”的折线步行路径行动。
这是因为在房间中必然存在着一些障碍物（如家具、桌椅等）。
所以避难人员在房间中移动的实际路线按“L型”的折线步行路径行走考虑更为合理。
因此，可用面积法计算疏散开始后，经过时间T能到达房间出口的避难者人员总数：
其中：
pT——时刻T时，能到达房间出口的避难者人员总数，人
a——房间单元的短边长度，m
b——房间单元的长边长度，m
Vr——避难者在房间内的步行速度，m/s
r——疏散前房间单元内的人员密度，人/m2
T——疏散开始后经过的时间，s
则在时刻TT时，在时间间隔△T内人群向房间节点R（i）的出口集结，并有部分或者全部人员流出该节点，能够集结至房间节点R（i）出口部分的人数Rout（i）为：
△T——疏散累计计算时间间隔，s此后，应用网络控制型原理可依次计算疏散过程中各时刻各空间节点的人数。
由于篇幅限制，这里不作详细阐述。
本文通过对空间节点的细化，建立了更为完善的人员疏散计算模型。
特别是对人员在房间内的行走提出了“L”型行动路线更为真实的描述了人员行动规律。
8.模型的检验
人群疏散基本特征量的量化观测:
人群在建筑物内移动的基本特征量主要有3个即：
人流密度、人员（或人流）移动速度和流量。
人流密度是指在移动过程中单位面积内所拥有的人数，单位为人/m2。
移动速度是指人员在单位时间内移动的距离，单位为m/s。
人流流量一般是指单位宽度通道在单位时间内所能通过的
1
人数，人/ms。
一般而言，它们之间存在如下关系：
人流流量=人流速度×
人流密度×
通道宽度
同时，在这里人流的移动速度又在很大程度上取决于人流密度。
人流密度越大，人与人之间的距离越小人员移动越缓慢；
反之密度越小，人员移动越快。
当然，这还与人们的文化传统、社会习惯、人们之间的彼此熟悉程度有关。
国外研究资料表明：
一般人员密度小于0.5人/m2，人们
可以按自由移动的速度移动；
当密度超过57人/m2时，人们几乎无法移动。
人流速度与密度的关系许多学者都进行了大量的观测。
比较典型有前苏联的Predtechenskii，Milinskii，美国的Fruin，加拿大的Paul等人，一般可以将人员密度和移动速度的关系描述成对数关系，也有人把它们描述成指数甚至线性关系。
如果人员的移动速度大，必然要求人口密度小，则相应的人流流量不一定大；
反之，人员密度大，但速度又会降下来，流量也不一定大，人流流量只有在某一人口密度的条件下达到最大。
现有疏散时间的量化计算方法:
我国目前的建筑
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