高考数学 专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍 理Word文档格式.docx

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（3）再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。

（4）求并集化简集合。

2．确定kα，（k∈N*）的终边位置的方法

先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置。

【举一反三】

设角α是第二象限的角，且＝－cos，则角属于（　　）

A．第一象限　B．第二象限C．第三象限D．第四象限

热点题型二扇形的弧长及面积公式

例2、

（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。

（2）已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

（1）设圆心角是θ，半径是r，

则⇒（舍）故扇形圆心角为。

（2）设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40。

S＝θ·

r2＝r（40－2r）＝r（20－r）＝－（r－10）2＋100≤100，

当且仅当r＝10时，Smax＝100，θ＝2。

所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大。

【提分秘籍】弧度制应用的关注点

1.弧度制下l＝|α|·

r，S＝lr，此时α为弧度。

在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系。

2.在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形。

已知扇形的圆心角是α＝120°

，弦长AB＝12cm，求弧长l。

热点题型三三角函数的定义及其应用

例3．

（1）若角θ的终边经过点P（－，m）（m≠0）且sinθ＝m，则cosθ的值为________。

（2）顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A，B两点，若α＝30°

，β＝60°

，则弦AB的长为________。

（1）－

（2）

【解析】

（1）由题意得，r＝，所以＝m，

因为m≠0，所以m＝±

。

当m＝时，r＝2，点P的坐标为（－，），

所以cosθ＝＝＝－，

当m＝－时，r＝2，点P的坐标为（－，－），

所以cosθ＝＝＝－。

（2）由三角函数的定义得A（cos30°

，sin30°

），

B（cos60°

，sin60°

），即A，B。

所以|AB|＝

＝＝。

【提分秘籍】三角函数定义的应用方法

（1）已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值。

先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解。

（2）已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值。

（3）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标。

已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·

tanα＝（　　）

A．－B．±

C．－D．±

1.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若

，

=___________.

1.【2016高考新课标3理数】在

中，

边上的高等于

则

（）

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】C

【解析】设

边上的高为

，则

，所以

．由余弦定理，知

，故选C．

2.【2016高考新课标2理数】若

【答案】D

，

且

，故选D.

【2015高考新课标1，理2】

=（）

（A）

【解析】原式=

=

=

（2014·

新课标全国卷Ⅰ]如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图像大致为（　　）

图11

　　A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

【答案】C　

1.sin（-270°

）=　（　　）

A.-1B.0C.D.1

【解析】选D.因为-270°

角的终边位于y轴的非负半轴上，在其上任取一点（0，y），则r=y，所以sin（-270°

）===1.

2.已知α是第四象限角，则π-α是　（　　）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【解析】选C.因为α，π-α的终边关于y轴对称，所以由题意得π-α是第三象限角.

3.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是　（　　）

A.B.C.-D.-

【解析】选B.由题意小明需要把表调慢一个小时，逆时针旋转时针弧度.

4.已知角α的终边上一点的坐标为

，则角α的终边在第　　　　象限（　　）

A.一B.二C.三D.四

【解析】选D.因为

，所以α在第四象限.

5.下列命题中正确的是　（　　）

A.若两扇形面积的比是1∶4，则它们弧长的比是1∶2

B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值

C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值

D.任意角的集合可与实数集R之间建立一一对应关系

【解析】选D.由扇形面积公式S=l·

r，得到面积由弧长和半径乘积确定，而不是只由弧长确定，故A，B，C错误，把角的概念推广到任意角之后任意角的集合可与实数集R之间建立一一对应关系，所以D正确.

6.若tanα<

0，且sinα>

cosα，则α在　（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限[]

【解析】选B.因为tanα<

0，所以α在第二或第四象限，又sinα>

cosα，所以α在第二象限.

7.对于第四象限角的集合，下列四种表示中错误的是　（　　）

A.

B.

C.

D.

【解析】选C.先选定一周，A:

270°

到360°

再加360°

的整数倍，B:

-90°

到0°

的整数倍，D:

630°

到720°

的整数倍，故A，B，D都正确，只有C错误.

8.已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为

，若α=，则点P的坐标为　（　　）

A.（1，

）B.（

，1）

C.（

）D.（1，1）

【解析】选D.设点P的坐标为（x，y），则由三角函数的定义得

即

故点P的坐标为（1，1）.

9.下列终边相同的角是　（　　）

A.kπ+与

，k∈Z

B.kπ±

与

C.kπ+与2kπ±

D.（2k+1）π与（4k±

1）π，k∈Z

10.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为　（　　）

【解析】选C.如图，取AP的中点为D，设∠DOA=θ，

则d=2sinθ，l=2θR=2θ，

所以d=2sin

.

11．已知α（0<

α<

2π）的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为　　　　　.

【解析】根据正弦线和余弦线的定义知，

当α=和

时，其正弦线和余弦线长度相等，且符号相同.

【答案】或

12．若sinθ·

cosθ<

0，

=cosθ，则点P

在　（　　）

C.第三象限D.第四象限

【解析】选B.因为sinθ·

=cosθ，所以cosθ>

0，sinθ<

0，所以θ在第四象限，tanθ<

>

0，所以P

在第二象限.

13.已知角α的终边经过点P（3a-9，a+2），且cosα≤0，sinα>

0，则a的取值范围是　　　　　.

【解析】由

得

所以-2<

a≤3.

（-2，3]

14.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P

是角θ终边上一点，且sinθ=-

，则y=　　　　.

15.顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A，B两点，若α=30°

，β=60°

，则弦AB的长为　　　　.

【解析】由三角函数的定义得A（cos30°

），B（cos60°

即A

，B

所以|AB|=

16.写出下面各图中终边在阴影内的角的集合（包括边界）.[]

（1）　.

（2）　.

（1）先写出一周内的，再加360°

的整数倍，得

（2）从135°

角的终边开始逆时针旋转到与-45°

终边相同的角应为135°

+180°

=315°

所以答案为

（2）

17.若角θ的终边过点P（-4a，3a）（a≠0），

（1）求sinθ+cosθ的值.

（2）试判断cos（sinθ）·

sin（cosθ）的符号.

（2）当a>

0时，sinθ=∈

，cosθ=-∈

则cos（sinθ）·

sin（cosθ）

=cos·

sin

<

0;

当a<

0时，sinθ=-∈

cosθ=∈

sin（cosθ）=cos

·

sin>

0.

综上，当a>

0时，cos（sinθ）·

sin（cosθ）的符号为负;

0时，

cos（sinθ）·

sin（cosθ）的符号为正.

18.已知|cosθ|=-cosθ，且tanθ<

0，试判断

的符号.

【解析】由|cosθ|=-cosθ可得cosθ≤0，所以角θ的终边在第二、三象限或y轴上或x轴的负半轴上;

又tanθ<

0，所以角θ的终边在第二、四象限，从而可知角θ的终边在第二象限.易知-1<

0，0<

sinθ<

1，视cosθ、sinθ为弧度数，显然cosθ是第四象限的角，sinθ为第一象限的角，所以cos（sinθ）>

0，sin（cosθ）<

0，故

0，即符号为负.

19.如图，动点P，Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P，Q各自走过的弧长.