高中数学选修本理科几种常见函数的导数Word文档格式.docx

高中数学选修本理科几种常见函数的导数Word文档格式.docx

《高中数学选修本理科几种常见函数的导数Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学选修本理科几种常见函数的导数Word文档格式.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

∴Δy=f（x+Δx）－f（x）=C－C=0

=0

y′=C′==0，∴y′=0.

2.y=xn（n∈N*），求y′.

y=f（x）=xn

∴Δy=f（x+Δx）－f（x）=（x+Δx）n－xn

=xn+xn－1Δx+xn－2（Δx）2+…+（Δx）n－xn

=xn－1Δx+xn－2（Δx）2+…+·

（Δx）n

=xn－1+xn－2Δx+…+·

（Δx）n－1

∴y′=（xn）′==（xn－1+xn－2Δx+…+（Δx）n－1）=xn－1=nxn－1

∴y′=nxn－1

3.y=x－n（n∈N*），求y′.

［学生板演］

解：

Δy=（x+Δx）－n－x－n=

y′=

∴y′=－nx－n－1

※4.y=sinx，求y′（叫两位同学做）

［生甲］解：

Δy=sin（x+Δx）－sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx－sinx

∴y′=

=－2sinx·

1·

0+cosx=cosx

∴y′=cosx

［生乙］Δy=sin（x+Δx）－sinx

（如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下）.

※5.y=cosx，求y′.（也叫两位同学一起做）

Δy=cos（x+Δx）－cosx=cosxcosΔx－sinxsinΔx－cosx

∴y′=－sinx

［生乙］解：

.

∴y′=－sinx.

［师］所以由4、5两道题我们可以比较一下.第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2和第3道题中，只证明了n∈N*的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用.

［板书］

（一）公式1C′=0（C是常数）

公式2（xn）′=nxn－1（n∈R）

公式3（sinx）′=cosx

公式4（cosx）′=－sinx

（二）课本例题

［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求.

（1）（x3）′

（2）（）′（3）（）′

［学生板演］

（1）解：

（x3）′=3x3－1=3x2

（2）解：

（）′=（x－2）′=－2x－2－1=－2x－3

（3）解：

（还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下）.

（三）变化率举例

［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求，知道运动方程s=s（t），瞬时速度v=s′（t）.

［板书］物体按s=s（t）做直线运动，则物体在时刻t0的瞬时速度v0=s′（t0）

v0=s′（t0）叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率.

［师］我们引入了变化率的概念，函数f（x）在点x0的导数也可以叫做函数f（x）在点x0对自变量x的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？

［板书］函数y=f（x）在点x0的导数叫做函数f（x）在点x0对自变量x的变化率.

［生］例如角速度、电量等.

［师］是分别对哪些量的变化率呢？

［生］角速度是角度（作为时间的函数）对时间的变化率；

电流是电量（作为时间的函数）对时间的变化率.

［师］下面来看两道例题.

［例1］已知物质所吸收的热量Q=Q（T）（热量Q的单位是J，绝对温度T的单位是K），求热量对温度的变化率C（即热容量）.

［学生分析］由变化率的涵义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q（T）对T求导.

C=Q′（T），即热容量为Q′（T）J/K.

［师］单位质量物质的热容量叫做比热，那么上例中，如果物质的质量是vmol，那么比热怎么表示？

［生］比热是Q′（T）J/（K·

mol）

［例2］如图3—11，质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速运动，角速度1rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度.

［学生分析］要求时刻t时M点的速度，首先要求出在y轴的运动方程，是关于t的函数，再对t求导，就能得到M点的速度了.

时刻t时，∵角速度1rad/s，

∴∠POA=1·

t=trad

∴∠MPO=∠POA=trad

∴OM=OP·

sinMPO=10·

sint

∴点M的运动方程为y=10sint

∴v=y′=（10sint）′=10cost

即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为10costcm/s.

［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.

Ⅲ.课堂练习

1.（口答）求下列函数的导数.

（1）y=x5

（2）y=x6（3）x=sint（4）u=cos

［生］

（1）y′=（x5）′=5x4

［生］

（2）y′=（x6）′=6x5

［生］（3）x′=（sint）′=cost

［生］（4）u′=（cos）′=－sin

2.求下列函数的导数

（1）y=

（2）y=

（1）解：

y′=（）′=（x－3）′=－3x－3－1=－3x－4

3.质点的运动方程是s=t3，（s单位m，t单位s），求质点在t=3时的速度.

v=s′=（t3）′=3t3－1=3t2

当t=3时，v=3×

32=27m/s

∴质点在t=3时的速度为27m/s

4.物体自由落体的运动方程是s=s（t）=gt2，（s单位m，t单位s，g=9.8m/s2），求t=3时的速度.

v=s′（t）=（gt2）′=g·

2t2－1=gt.

t=3时，v=g·

3=9.8·

3=29.4m/s

∴t=3时的速度为29.4m/s.

［师］这题也用到求导时系数可提出来根据［Cf（x）′］=Cf′（x）（C是常数）.

这由极限的知识可以证得［Cf（x）′］=

=Cf′（x）

5.求曲线y=x4在点P（2，16）处的切线方程.

y′=（x4）′=4x4－1=4x3.

∴y′|x=2=4·

23=32

∴点P（2，16）处的切线方程为y－16=32（x－2）

即32x－y－48=0.

Ⅳ.课时小结

［学生总结］这节课主要学习了四个公式:

①C′=0（C是常数），②（xn）′=nxn－1（n∈R），③（sinx）′=cosx，④（cosx）′=－sinx.以及学习了变化率的概念.v0=s′（t0）叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率，函数y=f（x）在点x0的导数f′（x0）叫做函数f（x）在点x0对自变量x的变化率.

Ⅴ.课后作业

（一）课本，P118，习题3.22，4，5

（二）1.预习内容：

课本P120~121和（或差）、积的导数

2.预习提纲：

（1）和（或差）的导数公式、证明过程.

（2）积的导数公式、证明过程.

（3）预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.

●板书设计

几种常见函数的导数

公式1C′=0（C为常数）

v0=s′（t0）是位移s在t0对时间t的变化率.

函数y=f（x）在点x0的导数叫做函数f（x）在点x0对自变量x的变化率.

4.y=sinx，求y′两种方法.

5.y=cosx，求y′两种方法.

课本例题

例1.已知物质所吸收的热量Q=Q（T）（Q单位J，T单位K），求热量对温度的变化率C（热容量）.

例2.如图，质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速运动，角速度1rad/s，设A为起始点，求时刻t，点P在y轴上的射影点M的速度.

课堂练习

1.（口答）

（1）（x5）′

（2）（x6）′（3）（sint）′（4）（cos）′

2.

（1）（）′

（2）（）′

3.质点运动方程s=t3，求t=3时速度.

4.s=gt2，求t=3时速度.

5.曲线y=x4在P（2，16）的切线方程.

课后作业

2019-2020年高中数学选修本（理科）函数的单调性

（1）

教学目的：

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

2.掌握利用导数判断函数单调性的方法

教学重点：

利用导数判断函数单调性

教学难点：

授课类型：

新授课

课时安排：

1课时

教具：

多媒体、实物投影仪

内容分析：

以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么函数f（x）就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么函数f（x）就是区间I上的减函数.

在函数y=f（x）比较复杂的情况下，比较f（x1）与f（x2）的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单

教学过程：

一、复习引入：

1.常见函数的导数公式：

；

2.法则1　

．

法则2

法则3

3.复合函数的导数：

设函数u=（x）在点x处有导数u′x=′（x），函数y=f（u）在点x的对应点u处有导数y′u=f′（u），则复合函数y=f（（x））在点x处也有导数，且或f′x（（x））=f′（u）′（x）

4.复合函数求导的基本步骤是：

分解——求导——相乘——回代．

5.对数函数的导数：

6.指数函数的导数：

二、讲解新课：

1.函数的导数与函数的单调性的关系：

我们已经知道，曲线y=f（x）的切线的斜率就是函数y=f（x）的导数.从函数的图像

可以看到：

y=f（x）=x2－4x+3

切线的斜率

f′（x）

（2，+∞）

增函数

正

＞0

（－∞，2）

减函数

负

＜0

在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f（x）的值随着x的增大而增大，即>

0时，函数y=f（x）在区间（2，）内为增函数；

在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f（x）的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f（x）在区间（，2）内为减函数.

定义：

一般地，设函数y=f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内>

0，那么函数y=f（x）在为这个区间内的增函数；

如果在这个区间内<

0，那么函数y=f（x）在为这个区间内的减函数

2.用导数求函数单调区间的步骤：

①求函数f（x）的导数f′（x）.

②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.

③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.

三、讲解范例：

例1确定函数f（x）=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

f′（x）=（x2－2x+4）′=2x－2.

令2x－2＞0，解得x＞1.

∴当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数.

令2x－2＜0，解得x＜1.

∴当x∈（－∞，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数.

例2确定函数f（x）=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

f′（x）=（2x3－6x2+7）′=6x2－12x

令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0

∴当x∈（－∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数.

当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数.

令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.

∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数.

例3证明函数f（x）=在（0，+∞）上是减函数.

证法一：

（用以前学的方法证）任取两个数x1，x2∈（0，+∞）设x1＜x2.

f（x1）－f（x2）=

∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＞0

∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）

∴f（x）=在（0，+∞）上是减函数.

证法二：

（用导数方法证）

∵f′（x）=（）′=（－1）·

x－2=－，x＞0，

∴x2＞0，∴－＜0.∴f′（x）＜0，

点评：

比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.

例4求函数y=x2（1－x）3的单调区间.

y′=［x2（1－x）3］′=2x（1－x）3+x2·

3（1－x）2·

（－1）

=x（1－x）2［2（1－x）－3x］=x（1－x）2·

（2－5x）

令x（1－x）2（2－5x）＞0，解得0＜x＜.∴y=x2（1－x）3的单调增区间是（0，）

令x（1－x）2（2－5x）＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.

∵为拐点，

∴y=x2（1－x）3的单调减区间是（－∞，0），（，+∞）

例5当x＞0时，证明不等式：

1+2x＜e2x.

分析：

假设令f（x）=e2x－1－2x.∵f（0）=e0－1－0=0,如果能够证明f（x）在（0，+∞）上是增函数，那么f（x）＞0，则不等式就可以证明.

证明：

令f（x）=e2x－1－2x.∴f′（x）=2e2x－2=2（e2x－1）

∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2（e2x－1）＞0,即f′（x）＞0

∴f（x）=e2x－1－2x在（0，+∞）上是增函数.

∵f（0）=e0－1－0=0.

∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即e2x－1－2x＞0.

∴1+2x＜e2x

所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.

例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.

y′=（x+）′

=1－1·

x－2=

令＞0.解得x＞1或x＜－1.

∴y=x+的单调增区间是（－∞，－1）和（1，+∞）.

令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.

∴y=x+的单调减区间是（－1，0）和（0，1）

四、课堂练习：

1．确定下列函数的单调区间

（1）y=x3－9x2+24x

（2）y=x－x3

y′=（x3－9x2+24x）′=3x2－18x+24=3（x－2）（x－4）

令3（x－2）（x－4）＞0，解得x＞4或x＜2.

∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是（4，+∞）和（－∞，2）

令3（x－2）（x－4）＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是（2，4）

y′=（x－x3）′=1－3x2=－3（x2－）=－3（x+）（x－）

令－3（x+）（x－）＞0，解得－＜x＜.

∴y=x－x3的单调增区间是（－，）.

令－3（x+）（x－）＜0，解得x＞或x＜－.

∴y=x－x3的单调减区间是（－∞，－）和（，+∞）

2.讨论二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的单调区间.

y′=（ax2+bx+c）′=2ax+b,令2ax+b＞0，解得x＞－

∴y=ax2+bx+c（a＞0）的单调增区间是（－，+∞）

令2ax+b＜0，解得x＜－.

∴y=ax2+bx+c（a＞0）的单调减区间是（－∞，－）

3.求下列函数的单调区间

（1）y=

（2）y=（3）y=+x

y′=（）′=

∵当x≠0时，－＜0，∴y′＜0.

∴y=的单调减区间是（－∞，0）与（0，+∞）

y′=（）′

当x≠±

3时，－＜0，∴y′＜0.

∴y=的单调减区间是（－∞，－3），（－3，3）与（3，+∞）.

y′=（+x）′.

当x＞0时+1＞0，∴y′＞0.∴y=+x的单调增区间是（0，+∞）

五、小结：

f（x）在某区间内可导，可以根据f′（x）＞0或f′（x）＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当f′（x）=0在某个区间上，那么f（x）在这个区间上是常数函数

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：