线性代数网络教学阶段测试五Word格式文档下载.docx

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即A合同于In，A正定，因此不应选A。

C是A正定的定义，也不是正确的选择。

D表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵，于是只能B。

事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。

8.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=（　）

A.2　　　　　　　

B.-6

C.6　　　　　　

D.24

【答案解析】∵3阶矩阵A的特征值为1,2,3

∴|λE-A|展开式含有三个因子乘积：

（λ-1）（λ-2）（λ-3）

∵|λE-A|展开式λ3项系数为1

∴|λE-A|=（λ-1）（λ-2）（λ-3）

∵A为3阶矩阵

∴|A-λE|=（-1）3|λE-A|=（-1）3（λ-1）（λ-2）（λ-3）

将4代入上式得到-6。

9.设

（　）

A.线性无关

B.线性相关

C.对应分量成比例

D.可能有零向量

【正确答案】A

【您的答案】A　　【答案正确】

【答案解析】A属于不同特征值的特征向量线性无关.

10.A为三阶矩阵，

为它的三个特征值.其对应的特征向量为

.设

，则下列等式错误的是（　）

11.设A，B为正定阵，则（　）

A.AB，A+B都正定

B.AB正定，A+B非正定

C.AB非正定，A+B正定

D.AB不一定正定，A+B正定

【答案解析】∵A、B正定

∴对任何元素不全为零的向量X永远有XTAX＞0；

同时XTBX＞0。

因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是对称阵。

12.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CTAC，则下述结论（　）不成立。

A.A与B相似

B.A与B等价

C.A与B有相同的特征值

D.A与B有相同的特征向量

【答案解析】∵C是正交阵，所以CT=C-1,B=C-1AC，因此A与B相似，A对。

C是正交阵|C|不等于0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对。

两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对。

（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D。

13.已知A是一个三阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是（　）

【答案解析】因为实对称矩阵的特征值都是实数，故A，C都不正确；

又因为正定矩阵的特征值均为正数，故B也不正确；

应用排除法，知答案为D.

14.下列命题错误的是（　）

A.属于不同特征值的特征向量必线性无关

B.属于同一特征值的特征向量必线性相关

C.相似矩阵必有相同的特征值

D.特征值相同的矩阵未必相似

【答案解析】属于同一特征值的特征向量未必线性相关，比如单位阵的特征值全是1，但它有n个线性无关的特征向量，因此应选择B。

15.二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B（　）

A.一定合同

B.一定相似

C.即相似又合同

D.即不相似也不合同

【答案解析】f=xTAx=（Py）TA（Py）=yT（PTAP）y=yTBy，即B=PTAP，所以矩阵A与B一定合同。

只有当P是正交矩阵时，由于PT=P-1，所以A与B即相似又合同。

16.二次型

的矩阵为（　）

17.设

【答案解析】主对角线元素对应x1，x2，x3平方项系数：

1，1，1。

a13和a31系数的和对应x1x3的系数2

18.二次型

的矩阵为（　）

【答案解析】二次型的矩阵的定义

19.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为（　）

A.r

B.t-r

C.2t-r

D.r-t

【答案解析】A的正惯性指数为t，负惯性指数为r-t，因此符号差等于2t-r。

20.设A的特征值为1，-1，向量α是属于1的特征向量，β是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是（　）

A.α和β线性无关　　　　　

B.α+β是A的特征向量

C.α与β线性相关　　　　　

D.α与β必正交

【答案解析】属于不同特征值的特征向量必线性无关，因此选择A。

1.设

2.二次型

3.二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B（　）

4.已知A是一个三阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是（　）

5.设矩阵

相似.则下列结论错误的是（　）

【答案解析】根据相似矩阵的性质判断B错误.

6.设A，B为正定阵，则（　）

7.n元实二次型正定的充分必要条件是（　）

8.λ1,λ2都是n阶矩阵A的特征值，λ1≠λ2，且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量，当（　）时，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量。

A.k1=0且k2=0　　　

B.k1≠0且k2≠0

C.k1·

k2=0　　　　　

D.k1≠0而k2=0

【答案解析】A的特征向量不能是零向量，所以k1、k2不同时为零，所以A、C不对；

x1、x2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和不再是其中一个方程的解，所以A的特征向量不选B。

选D是因为k2=0，k1≠0，x=k1x1仍然是A的特征向量。

9.

的一个特征值.则下列结论错误的是（　）

【答案解析】根据特征值，特征向量的定义和性质判断A错误.

10.二次型

11.f（x1,x2,x3）=x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是（　）

【答案解析】x1，x2，x3平方项系数对应主对角线元素：

1，0，4。

x1x2系数-2，对应a12和a21系数的和，a12=-1,a21=-1。

12.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=（　）

13.已知

相似，则有（　）

14.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值为（　）

A.3，1，1　　　　　

B.2，-1，-2

C.3，1，-1　　　　　

D.3，0，1

【答案解析】设A的特征值是λ，则f（A）的特征值就是f（λ），把1,0,-1依次代入，得到3，1，1。

15.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CTAC，则下述结论（　）不成立。

16.已知矩阵

有一个特征值为0，则（　）

A.x=2.5　　　　　

B.x=1

C.x=-2.5　　　　　

D.x=0

【答案解析】|A|=5-2x，A有零特征值，得|A|=0，故x=2.5，显然应选A。

17.设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3.则

18.下列矩阵必相似于对角矩阵的是（　）

【答案解析】C是对称阵，必相似于对角阵，故选C。

19.设A为3阶矩阵，且已知

，则A必有一个特征值为（　）

20.设α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量，P为可逆矩阵，则下列向量中（　）是P-1AP对应于λ的特征向量。

A.α

B.Pα

C.P-1αP

D.P-1α

【答案解析】∵设P-1AP=B∴A=PBP-1

又∵Aα=λ0α∴PBP-1α=λ0α

∴B（P-1α）=λ0（P-1α）

1.二次型f（x1,x2,x3）=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是（　）

A.是正定的

B.其矩阵可逆

C.其秩为1

D.其秩为2

【答案解析】二次型的矩阵

所以r（A）=1，故选项C正确，选项A，B，D都不正确。

2.二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B（　）

3.已知矩阵

4.二次型

5.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为（　）

6.下列矩阵必相似于对角矩阵的是（　）

7.设f=XTAX，g=XTBX是两个n元正定二次型，则（　）未必是正定二次型。

A.XT（A+B）X

B.XTA-1X

C.XTB-1X

D.XTABX

【答案解析】因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，

所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零，

|A|＞0，设APj=λjPj，则A-1Pj=

Pj，A-1的n个特征值

，j=1,2,…,n，必都大于零，

这说明A-1为正定阵，XTA-1X为正定二定型，同理，XTB-1X为正定二次型，

对任意n维非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX＞0。

这说明XT（A+B）X为正定二次型，

由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以XTABX未必为正定二次型。

8.已知

9.f（x1,x2,x3）=x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是（　）

10.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CTAC，则下述结论（　）不成立。

11.λ1,λ2都是n阶矩阵A的特征值，λ1≠λ2，且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量，当（　）时，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量。

12.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是（　）

13.设A为3阶矩阵，且已知

14.设

15.设

16.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是（　）

17.设矩阵

18.设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3.则

19.n元实二次型正定的充分必要条件是（　）

20.A为三阶矩阵，

1.已知A是一个三阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是（　）

2.已知

3.二次型f（x1,x2,x3）=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是（　）

4.设A为3阶矩阵，且已知

5.设

6.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是（　）

7.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是（　）

8.设A的特征值为1，-1，向量α是属于1的特征向量，β是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是（　）

9.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=（　）

10.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值为（　）

11.A为三阶矩阵，

12.

13.下列矩阵必相似于对角矩阵的是（　）

14.设f=XTAX，g=XTBX是两个n元正定二次型，则（　）未必是正定二次型。

C.X