山东大学专升本网络教育《线性代数》模拟题及答案.docx

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山东大学专升本网络教育《线性代数》模拟题及答案

山东大学网络教育线性代数模拟题（A）

一•单选题.

1.下列（A

（A）4321;

2.如果

是4级偶排列.

（B）

4123;（C）1324;

（D）2341.

an

那么D1

）.

（A）

8；

3.设A与B均为

（B）

n矩阵,

（A）AO或B

（C）A0或B

4.设A为n阶方阵

（n

等于（B）.

（A）kA;

5.向量组

1,

2，・・・

（A）

i?

（B）

（C）

2，・・・

（D）

6.已知

为任意常数,

（A）k11

（C）k11

a12a13

4an

2an

3a〔2

a13

a22a23

1,

D1

4a21

2a21

3a?

2

a23

a32a33

4a31

2a31

3a32

a33

12;

（C）

24;

（D）

24

）.

a31

a21

满足

O；

AB

O，则必有（C

（B）AB

（D）AB

3），而A是A的伴随矩阵,

又k为常数，且k

（B）kn1A*;（C）knA*;

s线性相关的充要条件是（C）

s中有一零向量

S中任意两个向量的分量成比例

S中有一个向量是其余向量的线性组合

s中任意一个向量都是其余向量的线性组合

2是非齐次方程组Axb的两个不同解,

则Ax

k2（1

k2（1

0,1，则必有kA

b的通解为（B

2）

（D）k1A*

2是AX0的基础解系，匕，k?

（B）k11k2（1

（D）k11k2（1

2）

（A2/3）

（c）1/2

的一个特征值是（B）

（d）1/4

7.入=2是A的特征值，则

（a）4/3（b）3/4

8.若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,14,1/5

1

，则行列式|B--I|=（B）

（a）0（b）24（c）60（d）120

9.若A是（A）,则A必有AA.

（A）对角矩阵；（B）三角矩阵；（C）可逆矩阵；（D）正交矩阵.

10.若A为可逆矩阵，

下列（

A）恒正确.

（A）2A2A；

1

（B）2A

2A1-

（C）（A1）1

（A）

1

；（D）（A）

111

（A1）1.

二•计算题或证明题

1.设矩阵

3

2

2

A

k

1

k

4

2

3

（1）当k为何值时,

存在可逆矩阵P,

使得P「1AP为对角矩阵?

（2）求出P及相应的对角矩阵。

参考答案：

32-2

解：

〔1）同=-k-Ik=1^0.k为任何值时，押年在町逆矩阵巴使得P_IAP

42-3

为对用矩阵：

—-2x2+2勺-0

卅石二禺=-1时.方程S（Z/-A）X=（}（）rv,=Oai+Orv）=（1■其基础解系为;

一4曲一2心+2心=0

Jl10>

<-l00>

P=

200

L对角矩阵人=

0-10

321丿

o】；

2.设n阶可逆矩阵A的一个特征值为入，A堤A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：

d/入是A*的一个特征值。

证明’设衲"的…个特征值,有w卜冲一丿啊十沽一a

3.

当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？

有解时，求其解.

参考答案:

2时，无解。

4.求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.

14

%%%是一牛扱大无关组.

参考答案:

r1

0

3

2

1]

rl

0

J

0=r

-1

3

0

1

a.

0

0

0

0c

2

1

7

2

0

1

]

0-1

2

14

6

0丿

0

（1

■4—4；

解:

向試矩阵

H二3cr1+a,,

5.若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证：

ABBA是对称矩阵.

参考答案：

证：

由条件=—B1

宥⑷-诃=（abY-（BA/=ffTAT-ATffT^（r-AB-BA.

山东大学网络教育线性代数模拟题（B）

•单选题.

（D）向量组，1,2,....,s线性相关

6.齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是（C）

（A）系数矩阵A的任意两个列向量线性相关

（B）系数矩阵A的任意两个列向量线性无关

（C）必有一列向量是其余向量的线性组合

（D）任一列向量都是其余向量的线性组合

7.设n阶矩阵A的一个特征值为入，则（入Ar）2+I必有特征值（B）

22

（a）入+1（b）入-1（c）2（d）-2

3

2

1

8.已知

A

0

0

a与对角矩阵相似，则a=（A）

0

0

0

⑻

0;

（b）

—1；（c）1;（d）2

9.设A,

B,

C均

为n1

阶方阵，下面（D）不是运算律.

（A）A

B

C（C

B）

A;

（C）（AB

）C

A（BC）；

10.下列矩阵

（

B）不是初等矩阵.

00

1

1

0

0

（A）01

0

；（B）0

0

0；

10

0

0

1

0

参考答案:

参考答案:

证：

设血为八的个thiFtfi,肺-f卜仏U）"IT心’八丄f、因为4足人

的—个特征値，故丨=2・冈血工5故且划二丄二才

ax-!

X2X3

a3

X1

ax2x3

2

X1、

x2ax3

2

参考答案：

当a

1,2时有唯一解：

X1

a

133

a

X2,X3

2a2a2

x1

2

k1k2

当a

1时，有无穷多解：

x2

k1

x3

k2

当a

2时，

无解。

3.当a取何值时,

F列线性方程组无解、有唯一解、

有无穷多解？

有解时，求其解.

4.求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.

1

1

1

1

2

1

1

0

1

,2

“,3

_,4

0

3

1

2

4

1

1

2

参考答案：

n]1r

100P

2）10

0-101

m向量矩髀

a

2120

0Q1-1

4112

0ft0ft

\ff

极大无关组为：

a?

玄3,玄4，且a?

a3a4

5.若A是对称矩阵，T是正交矩阵，证明T1AT是对称矩阵.

参考答案：

证工由条件知Ar=A.=Tr.=T~lAT为时称矩阵.

山东大学网络教育线性代数模拟题（C）

•单选题.

1.设五阶行列式ajm，依下列次序对aj进行变换后，其结果是（C）•

交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列,

最后用4除第二行各元素.

1

（A）8m；（B）3m；（C）8m；（D）—m.

4

3xkyz0

2.如果方程组

4yz0有非零解，则（D）.

kx5yz0

（A）

k0或k1；（B）k1或k2；（C）k1或k1；（D）k1或

k3.

3.设A,B,C,I为同阶矩阵，若ABCI，则下列各式中总是成立的有（A）.

（A）BCAI;（B）ACBI;（C）BACI;（D）CBAI.

4.设A,B,C为同阶矩阵，且A可逆，下式（A）必成立.

（A）若AB

AC,则BC；

（B）

若AB

CB，则A

C；

（C）若AC

BC,则AB;

（D）

若BC

O，则B

O.

5.若向量组1,

2,....,s的秩为r,

则（

D）

（A）必定r

（B）向量组中任意小于r个向量的部分组线性无关

（C）向量组中任意r个向量线性无关

（D）向量组中任意个r1向量必定线性相关

6.设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是（C）

（A）12,23,31;（B）1,12,321;

（C）12,23,31;（D）12,223,331•

7.设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，I为n阶单位矩阵，则（D）

（a）入I-A=入I-B（b）A与B有相同的特征值和特征向量

（c）A与B都相似于一个对角矩阵（d）kl-A与kl-B相似（k是常数）

8.当（C）时，A为正交矩阵，其中

（a）a=1,b=2,c=3;（b）a=b=c=1;（c）a=1,b=0,c=-1;（d）a=b=1,c=0.

9.已知向量组

172

3,4线性无关，则向量组（

A）

（A）1

27

2

3,

3

4,

4

1线性无关；

（B）1

27

2

3,

3

4,

4

1线性无关；

（C）1

27

2

3,

3

4,

4

1线性无关；

（D）1

2,

2

3,

3

4,

4

1线性无关.

10.当A

（B）

时,

有

a1

a2

a3

a〔3c〔a?

3c?

a3

3c3

A

b1

b2

b3

bi

b2

b3

C1

c2

C3

G

C2

C3

100

1

0

3

0

0

3

（A）

01

0

;

（B）

0

1

0;（C）

0

1

0

；（D）

301

0

0

1

1

0

1

计算题或证明题

1.设A〜B,试证明

（1）Am〜

Bm（m为正整数

）

（2）

如

A可逆，则B也可逆，

且

A一1

〜B-1

参考答案:

证：

（I）111条件轉

An'={PBPy=（FB:

1Pl\Fi8P1^2=P&nP1则f〜図.

⑵A=PBP-},则屮二2计丫“甘严.右〜刃

2.如n阶矩阵A满足A=A证明：

A的特征值只能为0或-1。

参考答案:

证t设的，个特社（ft.AX=AX=A-X=<有乂二才*几=0或几=1.

3•当a、b取何值时，

下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？

有解时，求其解

X1

2x2

2x32x4

1

X2

XX41

x

X2

X33X4

a

%

X2

X35X4

b

参考答案:

I

2-2

2

1

0

0

4

-1”

w；增广矩阵

0

1-I

-1

1

=>

0

1

-1

-1

1

I

1—1

3

0

0

0

0

a

1

-11

5

0

0

0

（1）当"0或号+2工0吋,线性方程组无解:

（2）屮3=0、.H.卄2=0线性力程组有无穷解、畢础解系为=（OJTlT0）r,

q=（-4*1,04/*特解%=（-LlAOy<通解a=人珂十k:

u2+%

1k1k2

ki

k2

8

2

3

5

3

7

5

6

1

“12

小13

7

1

0

3

10

3

2

1

参考答案：

不能被1,213线性表示。

4.判断向量

能否被

1,

2,

3线性表出，若能写出它的一种表示法.

参考答案:

证；川川連■则卜|工0」沪卜山才=制刖・叫斗七）.川川迎：

[a）*=-|j'|（/1'）1=|j'|/I,（J1）'yl*=\a1卜制异1=p1制加=/.（A*）_1=（J_1）*