初高中数学衔接知识点总结.docx
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初高中数学衔接知识点总结
初高中数学衔接读本
数学是一门重要的课程,其地位不容置疑,同学们在初中已经学过很多数学知识,这是远远不够的,而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”:
1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。
2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”
的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多
化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是
高中函数、不等式常用的解题技巧。
4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高
中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、
求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与
常用方法。
5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。
1.1数与式的运算
1.1.1绝对值
1.1.2乘法公式
1.1.3二次根式
1.1.4分式
1.2
分解因式
2.1
一元二次方程
2.1.1
根的判别式
2.1.2
根与系数的关系(韦达定理)
2.2
二次函数
2.2.1
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
2.2.2
二次函数的三种表示方式
2.2.3
二次函数的简单应用
2.3
方程与不等式
2.3.1
一元二次不等式解法
1.1数与式的运算
1.1.1.绝对值
1.绝对值的代数意义:
正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值
仍是零.即
a,a0,
|a|0,a0,
a,a0.
2.绝对值的几何意义:
一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.
3.
:
ab
表示在数轴上,数
a
和数b之间的距离.
两个数的差的绝对值的几何意义
4.两个重要绝对值不等式:
x<a(a>0)a<x<a,x>a(a>0)x<a或x>a
问题导入:
问题1:
化简:
(1):
2x1
(2):
x1x3
问题2:
解含有绝对值的方程
(1)2x46;
(2)32x25
问题3:
至少用两种方法解不等式
知识讲解
x1>4
例1:
化简下列函数,并分别画出它们的图象:
yx;
(2)y2x3.
x1x3>4
例2:
解不等式:
练习
1、若等式a
a
则成立的条件是----------
2、数轴上表示实数
x1,x2
的两点A,B之间的距离为--------
3、已知数轴上的三点
A,B,C
分别表示有理数a,1,-1,那么a
1
表示(
)
A、A,B两点间的距离
B、A,C两点间的距离
C、A,B两点到原点的距离之和
D、A,C两点到原点的距离之和
4、如果有理数
x,y满足x
12
x
2y1
0,则x2
y2
______
5、若x
5,则x=_________;若x
4,则x=_________.
6、如果a
b
5,且a
1,则b=________;若1c
2,则c=________.
7、下列叙述正确的是
(
)
(A)若a
b,则ab
(B)若a
b,则ab
(C)若a
b,则ab
(D)若a
b,则a
b
8.化简:
|x-5|-|2x-13|(x>5).
1、2二次根式与分式
知识清单
二次根式
二次根式的定义
:
形如
a(a≥0)的式子叫二次根式,其中
a叫被开方数,只有当a是一
个非负数时,
a才有意义,
a(a0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不
能够开得尽方的式子称为
无理式.例如
3aa2
b
2b,a2
b2等是无理式,而
2x22x
1,x2
2xy
y2,a2
等是有理式.
2
二次根式的性质:
2
0);
①
a
a(a
a(a
0)
②
a
2
a
0(a
0)
a(a
0)
③abab(a≥0,b≥0)
aa
④bb
a0,b>0
分母有理化:
一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①a与a;
②ab与ab;
③ab与ab;
④manb与manb
分式:
AA
分式的意义:
形如B的式子,若B中含有字母,且B≠0,则称B为分式
分式的通分与约分:
当M≠0时,
综合练习:
例1将下列式子化为最简二次根式:
AAMAAM
BBMBBM
(1)12b;
(2)a2b(a0);(3)4x6y(x0).
x2
1
20<x<1
(5)1
3
(4)
x2
1
3
例2计算:
3(33).
1.1.2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式
(a
b)(a
b)
a
2
b2
;
(2)完全平方公式
(a
b)2
a2
2ab
b2
.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式
(a
b)(a2
ab
b2)
a3
b3
;
(2)立方差公式
(a
b)(a2
ab
b2)
a3
b3
;
(3)三数和平方公式
(a
bc)2
a2
b2
c2
2(abbcac);
(4)两数和立方公式
(a
b)3
a3
3a2b
3ab2
b3
;
(5)两数差立方公式
(a
b)3
a3
3a
2b
3ab2
b3
.
应用:
平方差公式
下列各式:
①(a
1)(
a
1);②(a1)(1
a);③(a1)(a
1);④(a1)(a1)
能利用平方差公式计算的是
完全平方公式
a
1
3
(a
1)2
若
a
,求
a
的值
问题3:
立方和(差)公式
练
习
1.填空:
(1)1a2
1b2
(1b
1a)(
);
9
4
2
3
(2)
(4m
)2
16m2
4m
(
);
(3)
(a
2bc)2
a2
4b2
c2
(
).
2.选择题:
(1)若x21mx
k是一个完全平方式,则
k等于
(
)
2
(B)1m2
(C)1m2
(D)1m2
(A)m2
4
3
16
(2)不论a,b为何实数,a2
b2
2a
4b
8的值
(
)
(A)总是正数
(B)总是负数
(C)可以是零
(D)可以是正数也可以是负数
1.1.2分解因式
因式分解的定义:
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)
因式分解的主要方法有:
十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法
1.十字相乘法
例1分解因式:
(1)x2-3x+2;
(2)x2+4x-12;
(3)2x2-x+6(4)2x2-(a+2)x+a
(5)x23x2(6)6x27x2
2.提取公因式法
例2分解因式:
(1)x2-5x;
(2)2a2b4ab2
(2)
a2(b5)a(5b)
3.公式法分解因式
(1)x2
x
1
()
2
-4
4
2
x
2.1一元二次方程
知识清单
1、一元二次方程式是指只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的整式方程,该
方程式的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a≠0),其中,ax2是二次项,bx是一次项,c是常数项,
a、b是常数。
其中a≠0是一个重要条件,否则就不能保证该方程未知数的最高次是二次。
2、一元二次方程最常规的解法是公式法,其次有因式分解和配方等方法。
3、能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。
一元二次方程的解
也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫作这个方程的根)
(1)当b2-4ac>0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
x1,2=b
b2
4ac;
2a
(2)当b2-4ac=0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根
x=x=-b
;
1
2
2a
(3)当b2-4ac<0
时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边(x
b
)2一定大于或
2a
等于零,因此,原方程没有实数根.
由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由b2-4ac来判定,我22
示.
2
(1)当>0时,方程有两个不相等的实数根
x1,2=
b
b2
4ac
;
2a
(2)当
=0时,方程有两个相等的实数根
x1=x2=-b;
2a
(3)当<0时,方程没有实数根.
知识讲解
例1:
用适当的方法解方程:
(1)2(x+2)2-8=0
(2)x(x-3)=x
例2:
判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根。
(1)x2-3x+3=0;
(2)x2-ax-1=0
1.选择题:
(1)方程x2-2
3kx+3k2=0的根的情况是(
)
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
(2)若关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数
m的取值范
围是(
)
A.m<1
B、m>-
1
4
4
C、m<1,且m0
D、m>1,且m0
4
4
2.填空:
(1)若a为方程x2+x-5=0的解,则a2+a+1的值为_____。
(2)方程mx2+x-2m=0(m0)的根的情况是_____。
3.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程m2x2-(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根?
有两个相等的实数根?
没有实数根?
4.用适当的方法解下列一元二次方程;
(1)x2-5x+1=0;
(2)3(x-2)2=x(x-2);
(3)2x2-22x-5=0;(4)(y+2)2=(3y-1)2
2.1.2根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
x1
bb2
4ac
,x2
bb2
4ac
2a
2a
,
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是
x1,x2,那么x1+x2=
b,x1·x2=c.这
a
a
一关系也被称为韦达定理.
例已知方程5x2kx60的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
练习
1.选择题:
(1)方程
2
2
kx
k
2
x
(
)
3
30的根的情况是
(A)有一个实数根
(B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根
(D)没有实数根
(2)若关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数
m的取值范围
是
(
)
1
1
(A)m<
(B)m>-
4
4
(C)m<1,且m≠0
(D)m>-1,且m≠0
4
4
2.填空:
(1)方程mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是.
(2)以-3和1为根的一元二次方程是.
习题2.1
A组
1.选择题:
(1)已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是
1,则它的另一个根是(
)
(A)-3
(B)3
(C)-2
(D)2
(2)下列四个说法:
①方程x
2+2x-7=0的两根之和为-
2,两根之积为-
7;
②方程x2-2x+7=0的两根之和为-
2,两根之积为
7;
③方程3x2-7=0的两根之和为
0,两根之积为
7
;
3
④方程3x2+2x=0的两根之和为-
2,两根之积为0.
其中正确说法的个数是
(
)
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个(3)关于x
的一元二次方程
ax2-5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是(
)
(A)0
(B)1
(C)-1
(D)0,或-1
2.填空:
(1)方程kx2+4x-1=0的两根之和为-
2,则k=
.
2
2
2
.
(2)方程2x-x-4=0的两根为α,β,则α+β=
(3)已知关于x的方程x2-ax-3a=0的一个根是-
2,则它的另一个根是
.
3.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程
2
2
-(2m+1)
x+1=0有两个不相等的
mx
实数根?
有两个相等的实数根?
没有实数根?