二次函数中的面积计算问题教师用.docx

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二次函数中的面积计算问题教师用

专题二次函数中的面积计算问题

[典型例题]

例.如图，二次函数y

x2

bxc图象与x轴交于A,B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为M，

MAB为直角三角形,图象的对称轴为直线x

2，点P是抛物线上位于

A,C两点之间的一个动点，则

PAC的面积的最大值为（

C）

y

27

11

27

C．

C

A．

B．

D．3

4

2

8

二次函数中面积问题常见类型：

一、选择填空中简单应用

A

B

O

x

二、不规则三角形面积运用

S=

M

三、运用

四、运用相似三角形

第10题

五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形

例1.如图1，已知：

正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方

形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是

（B）

（D）

图1

例2.解答下列问题：

如图1，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.

（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点

P，使S△PAB＝

9

S△CAB，若存在，

8

求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

y

C

A

铅垂高

B

h

C

D

B

1

水平宽

a

O1

Ax

图2

思路分析

图1

此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一

种计算三角形面积的新方法：

SABC

1ah即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半

.掌握这个公式

2

后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，

答案（

）由已知，可设抛物线的解析式为

y

1＝a（x－1）

2＋

≠

．把

A（3

，

0）

代入解析式求得

a＝－1

，

:

1

4（a0）

∴抛物线的解析式为y1＝－（x－1）

2＋4，即y1＝－x

2＋2x＋3．

设直线AB的解析式为y2＝kx＋b，

由y＝－x2＋2x＋3求得B点的坐标为（0，3）．把A（3，0），B（0，3）代入y

＝kx＋b，解得

1

2

k＝－

1，b＝3．

∴直线AB的解析式为y2＝－x＋3．

（2）∵C（1，4），∴当x＝1时，y1＝4，y2＝2．

∴△CAB的铅垂高CD＝4－2＝2．

1

S△CAB＝×3×2＝3（平方单位）．

2

（3）解：

存在．

设P点的横坐标为

x，△PAB的铅垂高为h．

y

则h＝y1－y2＝（－x2＋2x＋3）－（－x＋3）＝－x2＋3x

C

P

由S△PAB

9S△CAB得：

1

×3×（－x2＋3x）＝9

×3．

＝

8

2

8

B

整理得4x

2

3．

D

－12x＋9＝0，解得x＝

2

1

把x

3代入

y1＝－

x2＋2x＋3，得

y1＝

15．

＝

2

4

O1

A

x

∴P点的坐标为（

3，15

）．

图2

24

例3.

（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，

Rt△AOB的顶点坐标分别为

A（0，2），O（0，0），

B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax

2＋bx

＋c（a≠0）经过C、D、B三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为

P，求△PAB的面积；

（3）抛物线上是否存在点

M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？

若存在，请求出点

M的坐标；若

不存在，请说明理由．

y

5

4

3

A

2

1

B

-3-2-1O

12345x

-1

思路分析:

根据题目所给信息，函数关系式和△PAB的面积很容易求出。

第（3）问是二次函数中常见的动

点问题，由于点M是抛物线上的一个不确定点，点M可以处于不同的位置，是由于点的不确定性

而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。

答案:

（1）由题意知C（－2，0），D（0，4）．

∵抛物线经过B（4，0），C（－2，0）．∴可设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）（x－4）

将D（0，4）代入上式，解得a＝－1．2

∴该抛物线的解析式为y＝－1（x＋2）（x－4）

2

即y＝－1x2＋x＋4．2

（2）∵y＝－1x2＋x＋4＝－1（x－1）2＋9．

222

y

5P

E

4

3

2A

1

B

∴抛物线的顶点P的坐标为（1，9）．

-3-2-1O12345x

2

-1

过点P作PE⊥y轴于点E，如图．

则S△PAB＝S四边形PEOB－S△AOB－S△PEA

＝1×（1＋4）×9－1×4×2－1×（9－2）×1＝6．

22222

（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）．

则S△MBC＝1|y|×6＝S△PAB＝62

即1|y|×6＝6，∴y＝±2．2

当y＝2时，－1

（x－1）2＋9

＝2，解得x＝15

；

2

2

当y＝－2时，－1

（x－1）

2＋9

＝－2，解得x＝1

13．

2

2

∴存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，其坐标为：

M1（1＋5，2），M2（1－5，2），M3（1＋13，－2），M4（1－13，－2）．

例4．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其

2

的两个根．

中x1，x2是方程x－2x－8＝0

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大

时，求点P的坐标；

（3）探究：

若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点

Q，使△QBC成为等腰三角形，若存

在，请直接写出所有符合条件的点

Q的坐标；若不存在，请说明理由．

y

C

E

B

OP

Ax

解：

（1）解方程x2－2x－8＝0，得x1＝－2，x2＝4．

∴A（4，0），B（－2，0）．∵抛物线与x轴交于A，B两点，∴可设抛物线的解析式为y＝

a（x＋2）（x－4）（a≠0）

1

又∵抛物线与y轴交于点C（0，4），∴a×2×（－4）＝4，∴a＝－．

∴抛物线的解析式为

y＝－

1

（x＋2）（x－4），即y＝－

1

2

＋x＋4

2

2

x

（2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图．

y

∵A（4，0），B（－2，0），∴AB＝6，BP＝m＋2．

C

∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC．

∴EG＝

BP

，∴EG

＝m＋2，∴EG＝2m＋4

E

CO

AB

4

6

3

∴S△CPE＝S△CBP－S△BPE

＝1

2

＝1

2

＝－

1

BGOP

A

x

BP2CO－BP2EG

2

2m＋4

（m＋2）（4－）

3

1（m－1）2＋3

3

又∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CPE有最大值3．

此时点P的坐标为（1，0）

（3）存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，点

Q的坐标为：

－

Q1（1，1），Q2（1，11），Q3（1，－11），Q4（1，4＋19），Q5（1，419）

设点Q的坐标为（1，n）．

y

Q4

∵B（－2，0），C（0，4），∴BC2＝（－2）2＋42＝20．

①当QB＝QC时，则QB2＝QC2．

2222

即（－2－1）＋y＝（－1）＋（4－y），∴y＝1．

∴Q1（1，1）

C

Q2

②当BC＝BQ时，则BQ2＝BC2．

即（－2－1）2＋y2＝20，∴y＝11．

Q1

－

∴Q2（1，11），Q3（1，11）．

BOQ5

Ax

2

2

③当QC＝BC时，则QC＝BC．

即12＋（4－y）2＝20，∴y＝4

19．

Q3

∴Q4（1，4＋19），Q5（1，4－19）．

例5．如图1，抛物线

2

为解

y＝x－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图2、图3

答备用图）

（1）k＝_____________，点A的坐标为_____________，点B的坐标为_____________；

2

（2）设抛物线y＝x

－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？

若存在，请求出点D的坐标；

若不存在，请说明理由；

2

（4）在抛物线y＝x－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

yyy

AOBxAOBxAOBx

CCC

图1

解：

（1）－3，（－1，0），（3，0）；

（2）连结OM，如图1．

2

∵y＝x－2x＋k＝（x－1）

图2图3

2

－4

y

∴抛物线的顶点M的坐标为（1，－4）．

S四边形ABMC＝S△AOC＋S△COM＋S△MOB

＝1×1×3＋1×3×1＋1×3×4

222

AOBx

C

M

＝9

图1

说明：

也可过点

M作抛物线的对称轴，将四边形

ABMC的面积转化为求

一个梯形与两个直角三角形面积的和．

y

2

（3）设D（m，m－2m－3），连结OD，如图2．

则0＜m＜3，m2

2m3＜0．

－－

S四边形ABDC＝S△AOC＋S△COD＋S△DOB

A

OBx

（m－2m

－3）]

＝－3

m＋9

m＋6

C

＝1×1×3＋1×3

×m＋1×3×[－

2

2

2

2

2

2

2

D

＝－

3

（m－

3

2

75

．

2

2

）＋

8

图

当m＝3时，四边形ABDC的面积最大．

Q1

y

2

3

3

15

E

2

2

－3＝－

．

此时m－2m－3＝（

2

）－2×

2

4

∴存在点D（

3

，－

15

），使四边形ABDC的面积最大．

AO

2

4

（4）有两种情况：

C

如图3，过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点

Q1、交y轴于点E，连接Q1C．

图

∵在Rt△COB中，OB＝OC＝3，∴∠CBO＝45°，∴∠EBO＝45°，OB＝OE＝3．

∴点E的坐标为（0，3）．

∴直线BE的解析式为y＝－x＋3．

2

3，解得

x1

＝－2

x2＝3

令－x＋3＝x－2x－

，

y2＝0

y1＝5

2

Bx

3

∴点Q1的坐标为（－2，5）．

y

如图4，过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．

∵∠CBO＝45°，∴∠CFB＝45°，∴OF＝OC＝3．

∴点F的坐标为（－3，0）．

F

AOBx

∴直线CF的解析式为y＝－x－3．

C

令

x

3＝x2

2x3，解得

x1＝1

，x2＝0

Q2

－－

－

－

y1＝－4

y2＝－3

图4

∴点Q2的坐标为（1，－4）．

2

综上所述，在抛物线y＝x－2x－3上，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形的点Q有两个，分别是：

Q1（－2，5）和Q2（1，－4）．

[精选练习]

1.如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为

t，分别以AP于PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为（）

2．如图，已知A、B是反比例函数y

k

（k＞0，x＜0）图象上

x

∥x轴，交y轴于点C。

动点P从坐标原点O出发，沿O→A

中“→”所示路线）匀速运动，终点为

C。

过P作PM⊥x轴，

足分别为M、N。

设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间

于t的函数图象大致为

S

S

S

S

y

的两点，BC

C

B

→B→C（图

A

PN⊥y轴，垂

N

为t，则S关

P

O

M

x

（第2题图）

OtOtOtOt

A．B．C．D．

3.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，

设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是

B

A

D

C

（第3题）

4.如图，两条抛物线y1=-1χ2+1、y2=1χ2-1与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行

22

线围成的阴影部分的面积为

5．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；

若不存在，请说明理由．

（4）如果点P是

（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？

若有，

求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

y

B

AOx

2

6.如图，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A（1，0），B（－3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线交

y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点

Q，使得△QAC的周长最

小？

若存在，求出点

Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在

（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点

P，使△PBC的面积最大？

，若存在，求出点P

的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

y

C

BA

O

x

7．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为－1和4．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜5＋1）与抛物线交于点点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）．

（3）在

（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△

m的值，若不存在，请说明理由．

M，与直线y＝x交于点N，交x轴于

BOM的面积S最大？

若存在，请求出

y

x＝my＝x

B

N

OP

A

x

M

8．已知二次函数

y＝x

2＋ax＋a－2．

（1）求证：

不论

a为何实数，此函数图象与

x轴总有两个交点；

（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式；

（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点

P，使得△PAB的面积为

313？

2

若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

9．已知：

t1，t2是方程t2＋2t－24＝0，的两个实数根，且

t1＜t2，抛物线y＝2

x

2＋bx＋c的图象经过点A

3

（t1，0），B（0，t2）．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，

求□OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量

x的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，当□OPAQ的面积为

24时，是否存在这样的点

P，使□OPAQ为正方形？

若存在