一元二次方程全章教学设计文档格式.docx

一元二次方程全章教学设计文档格式.docx

《一元二次方程全章教学设计文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元二次方程全章教学设计文档格式.docx（48页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．

学生看投影并思考问题

通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；

产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．

探

究

新

知

1．复习提问

（1）什么叫做方程？

曾学过哪些方程？

（2）什么叫做一元一次方程？

“元”和“次”的含义？

（3）什么叫做分式方程？

2．引例：

剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？

引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．

整式方程：

方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．

一元二次方程：

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．

3．练习：

指出下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；

（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；

（3）

（4）6x2＝x；

（5）2x2＝5y；

（6）-x2＝0

4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．

一元二次方程的一般形式：

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．

一般式中的“a≠0”为什么？

如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．

5．例1 

把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？

教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．

讨论后回答

学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，

独立完成

加深理解

学生试解

问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫

反馈

训练

应用

提高

练习1：

练习2：

下列关于x的方程是否是一元二次方程？

为什么？

若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：

．

（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；

（5）2tx（x-5）＝7-4tx．

教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．

要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价．题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数．

小结

（四）总结、扩展

引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？

从知识内容上学到了什么内容？

分清楚概念的区别和联系？

1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．

2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．

3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．

学生讨论回答

布置

作业

1．

2．思考题：

1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？

”

2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）．

反

思

第2教时

21.2.1配方法

（一）

认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．

培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．

通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．

用直接开平方法解一元二次方程．．

（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．

（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：

（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．

在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．

举一些生活中平移的实例。

1

（1）什么叫整式方程？

举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？

（2）平方根的概念及开平方运算？

解方程x2-4=0．

解：

移项，得x2＝4．

两边开平方，得x＝±

2．

∴ 

x1＝2，x2＝-2．

举例

练习：

教材P6．中1

（1）

（2）

按照要求完成后，相互检查

讨论完成。

学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．

2

例1 

解方程9x2-16＝0．

此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题

例2解方程（x＋3）2＝2．

例3解方程（2-x）2-81＝0．

解法

（一）

解法

（二）

解下列方程：

（1）（1-x）2-18＝0；

（2）（2-x）2＝4；

1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）．

2．平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径．

3．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．

体会

第3教时

21.2.1配方法

（二）

1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程变形为（x＋m）2＝n（n≥0）类型．2．会用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）中的数字系数的一元二次方程．3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用．

培养学生准确、快速的计算能力，严谨的逻辑推理能力以及观察、比较、分析问题的能力．

通过本节课，继续体会由未知向已知转化的思想方法，渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法

教学重、难点：

用配方法解一元二次方程．

正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式——将代数式x2＋ax加上一次项系数一半的平方转化成完全平方式．

学习了直接开平方法解一元二次方程，对形如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）的一元二次方程便会求解．如果给出一元二次方程x2＋2x＝3，那么怎样求解呢？

这就是我们本节课所要研究的问题．

讨论得出：

将x2＋2x＝3转化为（ax＋b）2＝c型是我们本节课一个重要的突破点，攻克此难关，方程的求解问题便迎刃而解了．

1．复习投影：

（1）完全平方公式__________________

（2）填空：

1）x2-2x+（ 

）＝[x＋（ 

）]2

2）x2＋6x＋（ 

）＝[x-（ 

将方程x2-2x-3=0化为（x-m）2=n的形式，指出m，n分别是多少？

讨论一次项系数与所配常数项的关系。

动笔演算

教师注意讲评

把下列方程化为（x＋m）2＝n的形式

独立完成，全班交流。

此述练习，深化配方的过程，为配方法的引入作铺垫．

解方程x2－4x－2＝0．

例2 

解方程：

2x2＋3＝5x．

1．

2．解方程

（1）6x－x2＝63

（2）9x2－6x＋1＝0．

学生练习板演，师生共同评价

1．本节课学习用配方法解一元二次方程，其步骤如下：

（1）化二次项系数为1．

（2）移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项．

（3）配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方．

（4）用直接开平方法求解．

配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的通法．

2．配方法的理论依据是完全平方公式：

a2±

2ab＋b2＝（a±

b）3，配方法以直接开平方法为基础．

4．要学会通过观察、比较、分析去发现新旧知识的联系，以旧引新，学会化未知为已知的转化思想方法，增强学生的创新意识．

第4教时

21.2.1公式法

（一）

掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程

1．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．2．培养学生快速而准确的计算能力．.

1．通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．2．通过求根公式的推导，渗透分类的思想。

求根公式的推导及用公式法解一元二次方程。

对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．

关键：

1、推导方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的异同．

2．在求根

的简单延续．

通过作业及练习深刻地体会到由配方法求方程的解有时计算起来很麻烦，每求一个一元二次方程的解，都要实施配方的步骤，进行较复杂的计算，这必然给方程的解的正确求出带来困难．能不能寻求一个快速而准确地求出方程的解是亟待解决的问题。

产生欲望：

能不能寻求一个简单的公式，快速而准确地求出方程的解是亟待解决的问题，公式法的产生极好地解决了这个问题．

1．复习提问：

用配方法解下列方程．

（1）x2－7x＋11＝0，

（2）9x2＝12x＋14．

通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫．

独立完成。

1、用配方法解关于x的方程，x2＋2px＋q＝0．

2、用配方法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．

过程在此略。

你从上面的结论发现了什么？

有什么想法

归纳：

我们把

叫一元二次方程的求根公式。

用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x＝（b2－4ac≥0）中，可求得方程的两个根．

体会出：

可以把它作为公式。

3

例1、解方程x2－3x＋2＝0

教师巡视，注意板演。

例2、解方程：

不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，

1．学生尝试

2．交流

P．16中6

（1）—（7）

P．16中2（8）．

反馈训练应用提高

通过练习，熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力．

注意讲评

1、求根公式。

2、利用公式法求一元二次方程的解的步骤

推导公式过程中你有什么体会。

充分讨论、体会。

教材P．14练习1

教材P．15习题12、1：

4．

参考题：

用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（学有余力的学生做）．

第5教时

21.2.1公式法

（二）

1．熟练地运用公式法解一元二次方程，掌握近似值的求法．

2．能用公式解关于字母系数的一元二次方程．

培养学生快速准确的计算能力．.

1．向学生渗透由一般到特殊，再由特殊到一般的认识问题和解决问题的方法．

2．渗透分类的思想．

用公式法解一元二次方程．

在解关于字母系数的一元二次方程中注意判断b2－4ac的正负．

对于首项系数含有字母的方程的解要注意分类讨论．

公式法是解一元二次方程的通法，利用公式法不仅可以求得方程中x的准确值，也可以求得近似值，不仅可以解关于数字系数的一元二次方程，还可以求解关于字母系数的一元二次方程．

复习提问

（1）写出一元二次方程的一般形式及求根公式．

一般式：

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

（2）说出下列方程中的a、b、c的值．

1x2-6＝9x；

②3x2＋4x＝7；

③x2＝10x-24；

（3）解方程

回顾理解

学生默写。

抽学生上台板演。

例1解方程x2＋x-1＝0（精确到0.01）．

例2解关于x的方程x2-m（3x-2m＋n）-n2＝0．

分析：

解关于字母系数的方程时，一定要把字母看成已知数．

略

用公式法解方程x2＋3x-5＝0（精确到0.01）

学生板演、评价、练习．深刻体会求近拟值的方法和步骤．

1．解关于x的方程2x2-mx-n2＝0．

学生板书、练习、评价，体会过程及步骤的安排．

1．解：

于x的方程abx2-（a4＋b4）x＋a3b3＝0（ab≠0）．

2．解关于x的方程（m＋n）x2＋（4m-2n）x＋n-5m＝0．

通过此题，在加强练习公式法的基础上，渗透分类的思想．

学生练习、板书、评价，注意（a4＋b4）2-4a4b4＝（a4-b4）2的变化过程．注意ab≠0的条件．

1．用公式法解一元二次方程，要先确定a、b、c的值，再确定b2－4ac的符号．

2．求近似值时，要注意精确到多少位？

计算过程中要比运算结果精确的位数多1位．

3．如果含有字母系数的一元二次方程，首先要注意首项系数为不为零，其次如何确定b2－4ac的符号．

讨论、体会。

第6教时

21.2.3因式分解法

（一）

1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．

通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神．.

通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想．

用因式分解法解一元二次方程．

正确理解

解方程：

（x－2）（x＋3）＝0，

你有其它的解法没有？

独立作。

观察、讨论

1、类比：

（x－2）（x＋3）＝0，

2、例1 

解方程x2＋2x＝0．

原方程可变形x（x＋2）＝0……第一步

x＝0或x＋2＝0……第二步

x1=0，x2=-2．

注意：

“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法

例2、因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．

教师板演。

总结因式分解的步骤：

（一）方程化为一般形式；

（二）方程左边因式分解；

（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；

（四）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

例3、方程3（x-2）-x（x-2）＝0．

教师引导，强化．此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤要具体情况具体分析．

讨论这个方程该怎么解？

教师提问、板书，学生回答．

体会这种思想方法。

讨论总结因式分解的步骤：

P．22中1、2．

体会步骤及每一步的依据．

练习P．22中3．

（3x＋2）2=4（x-3）2.

学生练习、板演、评价

巩固提高

1。

解下列关于x的方程

学生练习、板演．教师强化，引导，训练其运算的速度．

1．谈谈你对这种解法的体会

2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：

3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．

第7教时

因式分解法

（二）

能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法．

通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．

通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法．

熟练掌握用公式法解一元二次方程．

对“选择恰当的方法解一元二次方程”中“恰当”二字的理解．

回顾：

（1）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．

（1）3x2＝x＋4；

（2）（2x＋1）（4x-2）＝（2x-1）2＋2；

（3）（x＋3）（x-4）＝-6；

（4）（x＋1）2-2（x-1）＝6x-5．

（2）解一元二次方程都学过哪些方法？

说明这几种方法的联系及其特点．

此组练习尽量让学生眼看、心算、口答，使学生练习眼、心、口的配合．

回顾四种方法，小组议论与交流。

巩

固

训

练

练习1．用直接开平方法解方程．

（1）（x-5）2＝36；

（2）（x-a）2＝（a＋b）2；

练习2．用配方法解方程．

（1）x2-10x-11=0；

（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

练习3．用公式法解一元二次方程

（1）

（2）

练习4．用因式分解法解一元二次方程

（1）x2-3x＋2＝0；

（2）3x（x-1）＋2x＝2；

练习5．x取什么数时，3x2+6x-8的值和2x2-1的值相等．

练习6．选择恰当的方法解下列方程

（2）

此组练习，学生板演、笔答、评价．

此2题学生板演、练习、评价，教师引导，渗透．

此2题学生板演、练习、评价，

自主选择方法。

学生笔答、板演、老师渗透，点拨．

（1）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法．因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法．在解一元二次方程时，应据方程的结构特点，选择恰当的方法去解．

（2）直接开平方法与因式分解法中都蕴含着由二次方程向一次方程转化的思想方法．由高次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法．

2．解关于x的方程．

（1）x2-2ax＋a2-b2＝0，

（2）x2＋2（p-q）x-4pq＝0．

3．解方程

①（3x＋2）2＝3（x＋2）；

4．方程（m2-3m＋2）x2＋（m-2）x＋7＝0，m为何值时①是一元二次方程；

②是一元一次方程．

第8教时

掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．

培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．

1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；

2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．

根与系数的关系及其推导．

正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．

（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．

（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．

观察、思考两根和、两根积与系数的关系．

提问：

所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？

在教师的引