高考数学模拟试题及答案.docx
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高考数学模拟试题及答案
高考数学模拟试题
（满分150分，时间150分钟）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.
已知f（x）=
1
，则函数
f[f（x）]的定义域是（
）.
x
1
A.xx
1
B.xx
2C.
xx
1,且x
2
D.xx
1,或x2
2.
已知全集
U=R，则正确表示集合
M
{1,0,1}和N
x|x2
x0关系的图是
（
）
3.
已知函数
yf（x）的图象如图，则以下四个函数
yf（x）,y
f（x）,yf（x），与
y
f（x）
的图象分别和下面四个图的正确对应关系是
（
）
①
A.①②④③
B.①②③④
C.④③②①
D.④③①②
4．已知等比数列｛an｝，首项为a1，公比为q，则｛an｝为递增数列的充要条件是
（
）
A.q
1
B.a1
0且q
0
C.a1
0且q
1
D.a1
0,q
1或a1
0,0
q1
5.设等差数列｛
Sn
2n
，则lim
an
＝
an｝，｛bn｝的前n项的和分别为Sn与Tn，若
Tn
3n
1
n
bn
（
）
A.1
2
6
4
B.
C.
D.
3
3
9
6.已知α、β是平面，m、n是直线，则下列命题不正确
的是
（
）
．．．
A.若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C.若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥β
D.若m∥α，α∩β，=n则m∥n
7.已知a,b是任意两个向量，下列条件：
①
ab；
②|a|
|b|；
③a与b的方向相反；
④a
0或b
0；⑤a与b都是单位向量；其中为向量
a与b共线的充分不必要条件
的个数是
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8.若不等式
x
a
0
的解集是区间[－2，3），那么不等式
x2
的解集是区间
（
）
b
x
+ax－b<0
②
A.（－1，3）
B.（－∞，－1）∪（3，+∞）
C.（－2，－1）
D.（－∞，－2）∪（－1，+∞）
9.已知m∈R，直线l：
（2m－1）x+（m+1）y－3=0，l
：
mx+2y－2=0．则
（
）
1
2
A.m=2时，l1∥l2
B.m≠2时，l1与l2相交
C.m=2时，l1⊥l2
D.对任意m∈R，l1不垂直于l2
10．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当
x
0时，f（x）=x
2，若对任意x[t,t
2]
，不
等式f（x+t）
2f（x）恒成立，则实数
t的取值范围是。
A．[2,
）
B.[2，+）
C.[0，2]
D.[
2,1
][
2,3]
2
y
2
11.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点F恰好是双曲线x2
2
=1的右焦点，且两曲线的公共
a
b
点的连线过F，则该双曲线的离心率为
（
）
A.
2
B.
2－1
C.
5
1
D.
2
1
2
12.若
1满足2x+
2
x=5,
2
满足2x+2log2
（x-1）=5,
则
1+
x
2=（
）
x
x
x
A.5
B.3
C.7
D.4
2
2
二、填空题.本大题共4小题，每小题5分，共
20分，请将答案填在答题纸上
13.已知cos（
4
）=3,
2
3
.则cos（2
）=
.
5
2
4
14.方程x1x2
x3
x4
6的非负整数解有
个。
4
x
2
10x
5
1
15.函数y
（x
）的值域为
。
2
2
4x
12x
6
16.给出下列命题
（1）f（x）是周期函数
T为其周期，则
kT（k为整数，k不为0）也为f（x）的周期。
（2）{an}为等比数列，
sn为其前n项和。
则sn，s2n
sn,
s3n
s2n也是等比数列。
（3）有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的凸多面体是棱柱。
（4）两直线
A1x
B1yC1
0，
A2xB2yC20平行的充要条件是
AB
2
AB
0且
BC2
B
C1
0。
1
2
1
1
2
（5）函数f（a+x）与f（a-x）的图象关于
x=0对称。
其中真命题的序号是
。
③
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
π
3π
12
，sin（α+β）=
3
17.（本题满分
10分）已知
<β<α<
，cos（αβ）=
13
5
，求sin2α的
2
4
值.
18．（本题满分
12分）在一个盒子中，放有标号分别为
1，2，3的三张卡片，现从这个
盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为
x、
y
，记
x2yx
．
．．．
（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（2）求随机变量的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）已知函数f（x）x3ax2x1，aR．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间2，1内是减函数，求a的取值范围．
33
20.（本小题满分12分）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底
面ABCD，AD2，DCSD2，点M在侧棱SC上，
o
∠ABM=60。
（1）证明：
M是侧棱SC的中点；
（2）求二面角SAMB的大小。
x2
y2
3
21.（本小题满分
12分）已知椭圆C:
a2
b2
1（ab0）的离心率为
，过右焦
3
④
点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
2
2
（1）求a，b的值；
（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有
OP=OA+OB成立？
若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。
22．（本小题满分12分）设函数f（x）xxlnx．数列an满足0a11，
an1f（an）．
（1）证明：
函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；
（2）证明：
anan11；
（3）设b
（a1，1），整数k≥a1b．证明：
ak1b．
a1lnb
数学答案
一、选择题：
CBAD..BDCADADC
二、填空题13.
312
14.84
15.（,1]（1,）
16.（5）
50
2
三、解答题：
本大题共
6小题，共
70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
π
α
3π
π
3π
2
4
3π
β<α
πα+β
17解:
由于
，可得到
π
3π
，
2
4
β
2
2
4
πα3π
2
3π
4
π
π
π
β
αβ
π
4
2
4
40<αβ．5分
αβ>0
4
βα
4
5
∴cos（αβ）
，sin（αβ）．
5
13
又2α=（α+β）+（α－β）
⑤
∴sin2α=sin[（α+β）+（α－β）]=sin（α+β）cos（α－β）+cos（α+β）sin（α－β）
（3）12（4）
5
56.
10分
5
13
5
13
65
18．（本题满分
12分）
（1）
x、y可能的取值为
1、2、3，
x21，yx2，
3，且当x1,y
3
或x
3,y
1
时，
3．因此，随机变量
的最大值为3．
有放回抽两张卡片的所有情况有
3
39
种，
P（
2
．
6分
3）
9
（2）
的所有取值为0,1,2,3．
0时，只有x
2,y
2这一种情况，
1时，有x
1,y
1或x
2,y
1或x
2,y
3或x
3,y
3四种情况，
2时，有x
1,y
2或x
3,y
2两种情况．
P（
0）
1
1）
4
2）
2
，P（
，P（
．
9
9
9
则随机变量
的分布列为：
0
1
2
3
P
1
4
2
2
9
9
9
9
因此，数学期望
E
0
1
1
4
2
2
3
2
14
．12分
9
9
9
9
9
19.解：
（1）f（x）
x3
ax2
x
1求导：
f（x）3x2
2ax
1
当a2
≤3时，
≤0
，f
（x）≥0，f（x）在R上递增
当a2
3，f
（x）
0求得两根为x
a
a2
3
3
即f（x）在
，a
a2
3
递增，
a
a2
3，a
a2
3递减，
3
3
3
a
a2
3，
递增6分
3
⑥
a
a2
3≤
2
（2）
3
3，且a2
3解得：
a2
12分
a
a2
3≥
1
3
3
20.（本小题满分12分）.解法一：
（1）作ME//CD交于点E，则ME//AB,ME平面SAD
连接AE,则四边形ABME为直角梯形
作MF
AB,垂足为F，则AFME为矩形
设ME
x,则SE
x,AE
ED2
AD2
2
2
2
x
MF
AE
2
2
2,FB
2
x
x
由MF
FB
tan60，得
2-x
2
2
32x
解得：
x1
即ME
1,从而ME
1DC
2
所以M为侧棱SC的中点6分
（II）MB
BC2
MC2
2,又ABM
60，AB
2,所以ABM为等边三角形
又由（I）知M为SC中点
SM
2,SA
6,AM
2,故SA2
SM2
AM2,
SMA
90
取AM中点G，连接BG，取SA中点H，连接GH，则BG
AM,GHAM
由此知为
BGH二面角S-AM-B
的平面角
连接BH，在BGH中，
BG
3AM
3,GH
1SM
2,BH
AB2
AH222
2
2
2
2
所以cos
BGH
BG2GH2
BH2
6
2BGGH
3
二面角S-AM-B的大小为arccos
6
3
12分
解法二：
以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz
⑦
设A2,0,0
则B
2,2,0
S
0,0,2
uuur
uuuur
0），则
（I）设SM
MC（
M0,2
2
uuur
2,
2,
2
MB
1
1
1
1
uuur
uuur
uuur
又AB（0,2,0）,MB,AB60
uuuruuur
uuur
uuur
故MB,AB
MB
ABcos60
2
2
2
4=
2
+
2
即
2+
1
1
1
uuur
uuuur
解得
1，即SM
MC
所以M为侧棱SC的中点。
（II）由M0,1,1,A
2
1
1
2,0,0,得AM的中点G
，，
2
2
2
uuur
3,3,
1
uuur
0,
uuuur
2,1,1
又GB
MS
1,1,AM
2
2
2
uuur
uuuur
uuur
uuuur
GB
AM
0,MS
AM
0
uuur
uuuuruuur
uuuur
所以GB
AM,MS
AM
uuur
uuur
因此
GB,MS等于三角形S-AM-B
的平面角
uuuruuur
uuur
uuur
6
cos
GB
MS
GB,MS
uuur
uuur
3
GB
MS
21（本小题满分
12分）
解:
（I）设F（c,0），直线l:
x
y
c
0，由坐标原点
2
O到l的距离为
2
则|0
0c|
2，解得c
1.又e
c
3,a
3,b2.4分
2
2
a
3
（II）由（I）知椭圆的方程为
C:
x2
y2
1.设A（x1,y1）、B（x2,y2）
3
2
由题意知l
的斜率为一定不为
0，故不妨设
l:
x
my1
⑧
代入椭圆的方程中整理得
（2m2
3）y2
4my
4
0，显然
0。
由韦达定理有：
y1
y2
4m
y1y2
4
．．．．．．．．①
2m2
2m2
3
3
uuur
uuur
uuur
.假设存在点P，使OP
OA
OB成立，则其充要条件为：
点P的坐标为（x1
x2,y1
y2），点P在椭圆上，即
（x1
x2）2
（y1
y2）2
1。
3
2
整理得
2x12
3y1
2
2x2
2
3y2
2
4x1x26y1y2
6
。
又A、B在椭圆上，即
2x12
3y1
2
6,2x2
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