数学广角文档格式.docx
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活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。
班级至少有几名同学参加的项目完全相同？
4.将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但不超过11张，试证明：
至少有7名同学得到卡片的张数相同。
1\因为任意一个自然数除以6的余数的可能结果有：
0，1，2，3，4，5共6种,而有7个数，这样会产生7个余数，那么在7个余数中至少有两个余数相同，找出这两个数作差，刚好就可以把余数减掉，那么结果就能够被6整除了...
2\在1，2，3，4……49，50中,能被5整除的数共有10个
所以至少要取出50-10+1=41个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除
因为如果取40个，有可能取到的都不是5的倍数
3\四个科目，一共有15个不同的项目,63/15=4余3，所以至少有4个人完全相同.
4\1+2+3+-----+11=66
66*6=396<
400
根据抽屉原理可知：
至少有6+1=7名同学得到卡片的张数相同
23
2006年某街道办事处统计人口显示，本街道直辖区当年共有366名婴儿出生。
统计员断定：
至少有两名婴儿是在同一天出生。
这是为什么？
（写出理由来）我就是不会写理由--！
2：
某次篮球比赛，5名队员共投进了41个球，一定有一名运动员至少投进了9个球，请说明理由。
3：
在任意的37人中，至少有4个人同属相，为什么？
4：
如果两个数之和等于1，那么一定有一个数大于或等于2分之1.试试看是否这样。
5：
如果三个数之和等于1，你能看得出与上面类似的什么结论？
求啦%>
_<
%！
小明有2元和5元共100张，共320元，求2元和5元各多少？
如果全是五元,则应该是:
5*100=500元
比实际多了:
500-320=180
所以,二元的有:
180/（5-2）=60张
五元的有:
100-60=40张.
例1（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
分析如果46只都是兔，一共应有4×
46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？
显然，56÷
2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。
解：
①鸡有多少只？
（4×
6-128）÷
（4-2）
=（184-128）÷
2
=56÷
=28（只）
②免有多少只？
46-28=18（只）
答：
鸡有28只，免有18只。
我们来总结一下这道题的解题思路：
先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；
将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
鸡数=（每只兔脚数×
兔总数-实际脚数）÷
（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
当然，也可以先假设全是鸡。
例2鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
分析这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×
100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷
6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
（2×
100-80）÷
（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
鸡与兔分别有80只和20只。
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|评论（4）
典型应用题之鸡兔同笼
一,基本问题
鸡兔同笼"
是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--"
假设法"
来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.
例1有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只
解:
我们设想,每只鸡都是"
金鸡独立"
一只脚站着;
而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·
也就是
244÷
2=122（只）.
在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数
122-88=34,
有34只兔子.当然鸡就有54只.
答:
有兔子34只,鸡54只.
上面的计算,可以归结为下面算式:
总脚数÷
2-总头数=兔子数.
上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!
能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,"
脚数"
就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子,那么就有4×
88只脚,比244只脚多了
88×
4-244=108（只）.
每只鸡比兔子少（4-2）只脚,所以共有鸡
（88×
4-244）÷
（4-2）=54（只）.
说明我们设想的88只"
兔子"
中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=（兔脚数×
总头数-总脚数）÷
（兔脚数-鸡脚数）.
当然,我们也可以设想88只都是"
鸡"
那么共有脚2×
88=176（只）,比244只脚少了
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚,
68÷
2=34（只）.
说明设想中的"
有34只是兔子,也可以列出公式
兔数=（总脚数-鸡脚数×
总头数）÷
上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.
假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为"
.
现在,拿一个具体问题来试试上面的公式.
例2红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红,蓝铅笔各买几支
以"
分"
作为钱的单位.我们设想,一种"
有11只脚,一种"
有19只脚,它们共有16个头,280只脚.
现在已经把买铅笔问题,转化成"
问题了.利用上面算兔数公式,就有
蓝笔数=（19×
16-280）÷
（19-11）
=24÷
8
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.
买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.
对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"
19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是"
8只是"
根据这一设想,脚数是
8×
（11+19）=240.
比280少40.
40÷
（19-11）=5.
就知道设想中的8只"
应少5只,也就是"
（蓝铅笔）数是3.
30×
8比19×
16或11×
16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.
实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,"
兔数"
为10,"
鸡数"
为6,就有脚数
19×
10+11×
6=256.
比280少24.
24÷
（19-11）=3,
就知道设想6只"
要少3只.
要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.
下面再举四个稍有难度的例子.
例3一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时
我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数）,甲每小时打30÷
6=5（份）,乙每小时打30÷
10=3（份）.
现在把甲打字的时间看成"
兔"
头数,乙打字的时间看成"
头数,总头数是7."
的脚数是5,"
的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"
问题了.
根据前面的公式
数=（30-3×
7）÷
（5-3）
=4.5,
数=7-4.5
=2.5,
也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.
甲打字用了4小时30分.
例4今年是1998年,父母年龄（整数）和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年
4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"
头数,弟的年龄看作"
头数.25是"
总头数"
.86是"
总脚数"
.根据公式,兄的年龄是
（25×
4-86）÷
（4-3）=14（岁）.
1998年,兄年龄是
14-4=10（岁）.
父年龄是
（25-14）×
4-4=40（岁）.
因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是
（40-10）÷
（3-1）=15（岁）.
这是2003年.
公元2003年时,父年龄是兄年龄的3倍.
例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只
因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成"
8条腿"
与"
6条腿"
两种.利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=（118-6×
18）÷
（8-6）
=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式
蝉数=（13×
2-20）÷
（2-1）=6（只）.
因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.
例6某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人
对2道,3道,4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-1×
7-5×
6=144（道）.
由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷
2=2.5）.这样
兔脚数=4,鸡脚数=2.5,
总脚数=144,总头数=39.
对4道题的有
（144-2.5×
39）÷
（4-1.5）=31（人）.
做对4道题的有31人.
习题一
1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只
2.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副
3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个
4.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,其中2元与5元的张数一样多.那么2元,5元,10元各有多少张
5.一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天
6.摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路（3千米）,一段平路（4千米）,一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的;
有的是由一段上坡路（3千米）,一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段
7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张
二,"
两数之差"
的问题
鸡兔同笼中的总头数是"
两数之和"
如果把条件换成"
又应该怎样去解呢
例7买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张
解一:
如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
（680-8×
40）÷
（8+4）=30（张）,
这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.
因此8分邮票有
40+30=70（张）.
买了8分的邮票70张,4分的邮票30张.
也可以用任意假设一个数的办法.
解二:
譬如,假设有20张4分,根据条件"
8分比4分多40张"
那么应有60张8分.以"
作为计算单位,此时邮票总值是
20+8×
60=560.
比680少,因此还要增加邮票.为了保持"
差"
是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是
（680-4×
20-8×
60）÷
（4+8）=10（张）.
因此4分有20+10=30（张）,8分有60+10=70（张）.
例8一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天
工程要多少天才能完成
类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有
（150-8×
3）÷
（10+8）=7（天）.
雨天是7+3=10天,总共
7+10=17（天）.
这项工程17天完成.
请注意,如果把"
雨天比晴天多3天"
去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.
总脚数是"
例9鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只
假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷
2=14（只）,鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷
2=2（倍）,于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是
（100+28÷
2）÷
（2+1）=38（只）.
鸡是
100-38=62（只）.
鸡62只,兔38只.
当然也可以去掉兔28÷
4=7（只）.兔的只数是
（100-28÷
4）÷
（2+1）+7=38（只）.
假设有50只鸡,就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是
50-2×
50=100,
比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只（千万注意,不是2）.因此要减少的兔数是
（100-28）÷
（4+2）=12（只）.
兔只数是
50-12=38（只）.
另外,还存在下面这样的问题:
总头数换成"
总脚数也换成"
例10古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;
七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.
如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差
13×
5×
4+20=280（字）.
每首字数相差
7×
4-5×
4=8（字）.
因此,七言绝句有
28÷
（28-20）=35（首）.
五言绝句有
35+13=48（首）.
五言绝句48首,七言绝句35首.
假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×
23=460（字）,28×
10=280（字）,五言绝句的字数,反而多了
460-280=180（字）.
与题目中"
少20字"
相差
180+20=200（字）.
说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加
200÷
8=25（首）.
23+25=48（首）.
七言绝句有
10+25=35（首）.
在写出"
公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与"
公式对照一下,就会发现非常有趣的事.
例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是
（8+4）=30（张）.
例9,假设都是兔,鸡的只数是
（100×
4-28）÷
（4+2）=62（只）.
10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是
（20×
13+20）÷
首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与"
公式比较,这三个算式只是有一处"
-"
成了"
+"
.其奥妙何在呢
当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.
例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只
如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是
（400-379.6）÷
（1+0.2）=17（只）.
这次搬运中破损了17只玻璃瓶.
请你想一想,这是"
同一类型的问题吗
例12有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错（包含不答）1题倒扣1分;
第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分
如果小明第一次测验24题全对,得5×
24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是
6-2×
（15-6）=30（分）.
两次相差
120-30=90（分）.
比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6（分）,而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少
6+10=16（分）.
（90-10）÷
（6+10）=5（题）.
因此,第一次答对题数要比假设（全对）减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11（题）.
第一次得分
19-1×
（24-9）=90.
第二次得分
11-2×
（15-11）=80.
第一次得90分,第二次得80分.
答对30题,也就是两次共答错
24+15-30=9（题）.
第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6（分）,第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16（分）.
如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×
9.但两次满分都是120分.比题目中条件"
第一次得分多10分"
要少了6×
9+10.因此,第二次答错题数是
（6×
9+10）÷
（6+10）=4（题）·
第一次答错9-4=5（题）.
第一次得分5×
（24-5）-1×
5=90（分）.
第二次得分8×
（15-4）-2×
4=80（分）.
习题二
1.买语文书30本,数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书和数学书的价格各是多少
2.甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克
3.一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次.一连运了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴天多3天,但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天
4.某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分.小华得了76分.问小华做对了几道题
5.甲,乙二人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;
若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10发,共命中14发.结算分数时,甲比乙多10分.问甲,乙各中几发
6.甲,乙两地相距12
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