高中物理相遇和追及问题分析Word文档格式.docx
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①
当两者速度相等时,追者位移追者位移仍小于被追者位移,则永远追不上,此时两者之间有最小距离。
②
若两者位移相等,且两者速度相等时,则恰能追上,也是两者避免碰撞的临界条件。
③
若两者位移相等时,追着速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,当速度相等时
两者之间距离有一个最大值。
在具体求解时,可以利用速度相等这一条件求解,也可以利用二次函数的知识求解，还可以利用图象等
1
求解。
第二类：
速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（匀速直线运动）。
当两者速度相等时有最大距离②当两者位移相等时，则追上
具体的求解方法与第一类相似，即利用速度相等进行分析还可利用二次函数图象和图象图象。
（2）相遇问题
①同向运动的两物体追及即相遇②相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体
间的距离时相遇
6.分析追及，相遇问题时要注意
（1）分析问题是，一个条件，两个关系。
一个条件是：
两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的
距离是最大还是最小及是否恰好追上等。
两个关系是：
时间关系和位移关系。
时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；
而位移关系是指两物体
同地运动还是一前一后等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习
中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处。
（2）若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意，追上前该物体是否已停止运动。
仔细审题，注意
抓住题目中的关键字眼，充分挖出题目中的隐含条件，如“刚好”，“恰巧”，最多“，”至少“等。
往往对
应一个临界状态，满足相应的临界条件。
7.追及问题的六种常见情形
（1）匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体：
这种情况定能追上，且只能相遇一次；
两者之间在
追上前有最大距离，其条件是
V
加
匀
（2）匀减速直线运动追匀速直线运动物体：
当
减
匀时两者仍没到达同一位置，则不能追上；
减
匀时两者正在同一位置，则恰能追上，也是两者避免相撞的临界条件；
当两者到达同一位置且
＞
V
匀时，则有两次相遇的机会。
（3）匀速直线运动追匀加速直线运动物体：
当两者到达同一位置前，就有
匀，则不能追上；
当两
者到大同位置时
匀，则只能相遇一次；
当两者到大同一位置时
＜
匀则有两次相遇的机会。
（4）匀速直线运动物体追匀减速直线运动物体：
此种情况一定能追上。
（5）匀加速直线运动的物体追匀减速直线运动的物体：
（6）匀减速直线运动物体追匀加速直线运动物体：
当两者在到达同一位置前
加，则不能追上；
当
加时两者恰到达同一位置，则只能相遇一次；
当地一次相遇时
加，则有两次相遇机会。
（当
然，追及问题还有其他形式，如匀加速追匀加速，匀减速追匀减速等，请同学们独立思考）。
8.典型例题
例
1.A
火车以
v1=20m/s
速度匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距
100m
处有另一列火车
正以
v2=10m/s
速度匀速行驶，A
车立即做加速度大小为
a
的匀减速直线运动。
要使两车不相撞,a
应满足什么条
件？
2
1：
（公式法）两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。
由
速度关系：
v1
-
at
由
位移关系：
v1t
-
2
v2t
+
x0
=
（v1
）2
2x0
（20
-10）2
⨯100
m
/
s2
0.5m
∴
>
s2
2：
（图像法）在同一个
图中画出
车和
车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，
两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当
t=t0
时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部
分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过
100.
⨯
-10）t0
100
∴t0
20s
tan
α
20
-10
20
0.5
物体的
图像的斜率表示加速度,面积表示位移。
3：
（相对运动法）以
车为参照物，A
车的初速度为
v0=10m/s，以加速度大小
减速，行驶
x=100m
后“停下”，末速度为
vt=0。
==m
-0.5m
2x02
备注：
以
为参照物,公式中的各个量都应是相对于
的物理量.注意物理量的正负号。
-10t
+100
0
其图像（抛物线）的顶点纵坐标必为正值,故有
4⨯
⨯100
（-10）2
把
物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。
2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以
3m/s2
的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆
自行车以
6m/s
的速度匀速驶来，从后边超过汽车。
试求：
汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多
长时间两车相距最远？
此时距离是多少？
（公式法）当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。
设经时间
t
两车之间
的距离最大。
则
v汽
v自
∴t
a
6
3
s
2s
∆xm
x自
x汽
v自t
6
2m
3
22
6m
图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，
时矩形与三角形的面积之差最大。
图像的斜率表示物体的加速度
t0
动态分析随着时间的推
移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律.
（相对运动法）选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿
反方向做匀减速运动
v0=-6m/s，a=3m/s2，两车相距最远时
vt=0
对汽车由公式
vt
v0
（由于不涉及位移，所以选用速度公式）
v0
（-6）
t2
：
2as
（由于不涉及“时间”，所以选用速度位移公式。
）
2a
（-6）2
-6m
表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位
移为向后
6m.
4：
（二次函数极值法）设经过时间
汽车和自行车之间的距离
Δx，则
∆x
6t
2s时
，∴
62
思考：
汽车经过多少时间能追上摩托车?
此时汽车的速度是多大?
汽车运动的位移又是多大？
t=
T
4s
aT
12m
s
s汽
2＝24m
3.一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。
桌布的一边与桌的
AB
边重合，如图。
已知盘与桌布间的动摩擦因数为
μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为
μ2。
现突然以恒定加速度
将桌布抽离
桌面，加速度方向是水平的且垂直于
边。
若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度
满足的条件是什么？
（以
g
表示重力加速度）
解：
设圆盘的质量为
m，桌长为
l，在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘的加速度为
a1，有
μ1mg
ma1
桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以
a2
表示加速度的大小，有
μ2mg
ma2
设盘刚离
开桌布时的速度为
v1，移动的距离为
x1，离开桌布后在桌面上再运动距离
x2
后便停下，
2a2
盘没有从桌面上掉下的条件是
x1
≤
l
设桌布从盘下抽出所经历时间为
t，在这段时间内桌布移动的距离为
x，有
x
a1t
而
由以上各式解得
≥
μ1g
4.一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以
a＝3m/s2
的加速度开始行驶，恰在这时一辆
v0＝6
m/s
的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：
（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前
经过多长时间两车相距最远？
最远距离是多大？
（2）当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？
解析：
法一：
用临界条件求解．
v
（1）当汽车的速度为
v＝6
时,二者相距最远，所用时间为
t＝a＝2
s,最
4
远距离为
Δs＝v0t－2at2＝6
m.
（2）两车距离最近时有
v0t＝2at2
解得
t＝4
汽车的速度为
v＝at＝12
m/s.
法二:
用图象法求解．
（1）汽车和自行车的
图象如图所示，由图象可得
t＝2s
时，二者相距最远．最远
距离等于图中阴影部分的面积，即
Δs＝2×
6×
m＝6
（2）两车距离最近时，即两个
图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为
v＝12
法三:
用数学方法求解．
－v0
（1）由题意知自行车与汽车的位移之差为
Δs＝v0t－2at2
因二次项系数小于零，当
t＝
×
－
＝2
时
有最大值，最大值
Δsm＝v0t－2at2＝6×
m－2×
3×
（2）当
Δs＝v0t－2at2＝0
时相遇得
s，汽车的速度为
分析追及、相遇问题的常用方法
1）物理分析法：
抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真
审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景
2）相对运动法：
巧妙地选取参考系,
然后找两物体的运动关系
3）极值法：
设相遇时间为
t,根据条件列方程，得到关于
的一元二次方程，用判别
式进行讨论,若
Δ>
0，即有两个解，说明可以相遇两次；
若
Δ＝0，说明刚好追上或相遇；
Δ<
0,说明追不上或
不能相碰
4）图象法：
将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解.
一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申
两列火车在同一轨道上同向行驶，A
在前，速度为
vA＝10m/s，B
在后，速度为
vB＝30m/s，因
大雾能见度低，B
车在距
车
500m
时，才发现前方有
车，这时
车立即刹车，但要经过
1800mB
车才
能停下，问：
（1）车若要仍按原速前进，两车是否相撞？
试说明理由。
（2）B
在刹车的同时发出信号，A
车司
机在收到信号
1.5s
后加速前进，A
车加速度为多大时，才能避免事故发生？
（不计信号从
传到
的时
间）
第一问的解法如下：
sA
先求
车从刹车到停下来所需时间
tB
2vB30
再求在相同的时间内
车通过的位移
sA,
sA=vA·
tB=10×
120m=1200m
sB
最后比较
sA+s0
和
的大小关系即可判断结果.由于
sA+s0=（1200+500）m=1700m
故
sA+s0＜sB
由位置关
系图可知两车会相撞。
提问
通过上面的计算我们知道两车能相撞，试问它们何时相撞？
车刹车过程中的加速度，根据已知条件很易求出
a＝-0.25m/s2），将
sA、sB
的表达式代入上式解得
t1=31s，
5
t2=129s
为什么有两个解？
t2
是否有意义？
答：
两车相撞两次，第一次是
车追上
车，第二次是
车。
两车只能相撞一次，
没有意义。
车时，哪车的速度大？
30
为
t’＞
t1，故
车的速度大。
两车相遇但不会相撞，A
车又追上
车时，B
车的速度是多大？
从
车开始减速到
两车第二次相遇共需多少时间？
由于
车刹车后经过
120s
后就停下来，故
129s
时它的速度仍为零。
车停止后不能往后倒，
故第二次相遇所需时间为：
vA10
5：
若开始两车相距
700m，试问两车是否会相撞？
sA+s0=1200+700m=1900m，而
sB=1800m，即
sA+s0＞sB，故两车不会相撞。
6：
若用第二种方法，即设
刹车后经过时间
两车相撞，方程是否有解呢？
的判别式为△=1602-4×
5600=3200＞0，故该方程有解，即相撞，并且有相遇两次的可能。
原来先是
超
过
A，后来
又超过
B，我们不能认为开始时
在
的前面，后来
仍在
的前面，就得出两车不相撞
的结论。
由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。
7：
试问：
若要使两车不相撞，开始时两车间的距离
至少为多少？
整理得
t2-160t+8s0=0
要使两车不相撞，即要使该方程无解，即△＜０即 1602-4×
8s0＜0
s0＞800m，即
开始时两车间的距离至少为
800m。
8：
若两车刚好能相撞，相撞时两车的速度有何关系？
应该刚好相等，刚开始时
车的速度比
车的速度大，两车之间的距离减小，当两车的速度达到
相等时，距离最小，之后两车之间的距离将变大，若速度相等时还没有相遇，则两车不会再相遇。
若
s0=800m
时，解得
t=80s，此时
车的速度为
v
B’
=v
+at=30+（-025）×
80m/s=10m/s=v
A。
规律总结：
求追及、相遇或相撞问题时，若问两物体能否相撞，一般是设经过时间
后两物体相撞，
根据位移关系列出方程，它一般是关于
的二次方程，然后根据判别式的正、负或零来判断，若△≥０，
则二者能相撞，若△＜０，则不能相撞；
若问二者何时相撞，解法同上，但要注意解是否合理，是否是实
际问题；
若问能相遇几次，解出相遇所需的时间，有几个解，就能相遇几次，同样要注意解是否合理；
求两者之间的最大或最小距离，通常求出两物体速度达到相等时各自的位移，两位移之差即为两物体之间
的最大或最小距离；
也可设经过时间
后两者相距△
，根据位置关系写出S
的表达式，然后根据二次函
数求极值的方法可以求出（一般用配方的方法来求）。
这样，该题第二问的解法很易得出：
设
ts
两车刚好相撞，则应有：
B=
A+s0
8
（t-1.5）2+500
刚好相撞，
⎩aA
<
aB
会发生二次追击
则
，解得
=0.16m/s2
9.总结
一.物理模型：
同一直线，同向（反向）运动。
二.时间关系
1.同时出发，在俩者运动中追及，
。
2.同时
出发，在一个运动中，一个静止追及，
∆t
3.根据物体运动的特点，核对其运动的时间：
确定有
无运动的多过程问题。
三.出发地点关系
1.同地追及，同一地点出发，最后追及相遇
xA
xB
2.异地追及，不在同一地点，最后追及相遇
∆x
四.位移关系：
为汽车
为自行车，俩物体的相距
，追上时
走过的位移
，
，
五.追及过程的距离极值问题：
在追及过程中，当
vA
vB
，A，B
俩物体之间达到距离的极值，可能为最
大或最小，具体问题具体分析。
六.追及过程中的恰好不相碰问题
1.追上的瞬间位移关系：
2.追上的瞬间速度关系：
vB
七.追上的瞬间比较加速度，分析二次追及问题
⎧aA
不会发生二次追击
3.追上时的加速度关系：
⎨
八.讨论有无二次追及的可能:
已知
A，B
俩物体相距
，A
追及
B，讨论追及可能发生的相关问题。
1.当
的瞬时速度
vA1
与
vB1
相等时，即
的位移为
，B
，则
xB
7
2.讨论
的关系，
⎧⎧aA
≤
AB不会发生追击问题。
⎪∆x
⎪
AB
⎩
九.会使用图像法解决追及相遇问题
1.找到
相等的时刻
2.比较面积发现
xA与xB
的关系
3.根据斜率比较加速度
aA与aB
4.确定解题
方法
十.追及问题的解题步骤
1.分析两物体运动过程及规律，画出两物体运动的示意图
2.核实运动的时间关系，以及出发的地点关系
3.要
注意两点，一是速度相等两者的位置关系,二是位置相同（即相遇）时两者的速度关系,及加速度关
4.由运
动示意图找出两物体位移间关系的方程，或画出运动图像，这是关键
5.联立方程求解，并对结果进行简单
分析．
关于图象问题
1.直线运动的
s-t
图象
（1）意义：
反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律．
（2）图
线上某点切线的斜率的意义①斜率大小：
表示物体速度的大小②斜率的正负：
表示物体速度
的方向．
（3）两种特殊的
图象①若
图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状
态（如图甲所示）②若
图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动（如图乙所示）
2.直线运动的
反映了直线运动的物体速度随时间
变化的规律
（2）图线上某点切线的斜率的意义①斜率的大小：
表示物体加
速度的大小②斜率的正负：
表示物体加速度的方向（3）两种特殊的
v-t
图
象①匀速直线运动的
图象是与横轴平行的直线（如图甲所示）②匀变速
直线运动的
图象是一条倾斜的直线．（如图乙所示）（4）图线与坐标轴围成的“面
积”的意义①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移②若此面积在时间轴的上方，表示这段
时间内的位移方向为正；
若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负．
温馨提示：
（1）s-t
图象、v-t
图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值是
s、v
一一对
应
（2）s-t
图象的形状由
t、v
的函数关系决定（3）无论是
图象还是
图象，所描
述的运动情况都是直线运动．
3.运动学图象“五看”
一看“线”Error!
二看“斜率”Error!
三看“面积”Error!
四看“纵截距”Error!
五看“特殊点”Error!
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