《数列》学案全章docx.docx

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《数列的概念与简单表示法》学案

（1）

一、课前预习新知

（1）预习目标

初步了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意i项；対于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.

（2）预习内容

阅读教材填空：

1.函数）=3",当x依次取1,2,3,…时，其函数值冇什么特点？

2.函数y=7x+9,当兀依次取1,2,3,…时，其函数值有什么特点?

3.集合中元素的性质有：

（1）;

（2）;（3）.

4.用映射的观点定义函数：

・

5.数列的表示方法有：

（1）；

（2）;（3）.

二、课内探究新知

（1）学习目标

1.理解数列及其冇关概念，了解数列和函数Z间的关系；

2.了解数列的通项公式，并会川通项公式写出数列的任意一项；

3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.

（2）学习过程

1.核对预习学案中的答案.

2•思考下列问题

（1）树木生长规律1,1,2,3,5,8,...

（2）慧星每隔83年出现一次1740,1823,1906,1989,2072,...

（3）-尺之極，H取其半，万世不竭1,,...

24816

（4）从2003年开始到2012年（共9年），我国的夏季高考吋间月份一直固定为6,6,6,6,6.

问题1上述例了有何共同特点？

3.例题

例1写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）1,

（2）2,0,2,0

234

例2写出数列1,..…的一个通项公式，并判断它的增减性.

答案：

an=

n

3n-2

471013

例3根据下面数列｛an｝的通项公式，写岀询五项:

（1）；

（2）色=（-l）"“.

7?

+1

答案：

略.

例4.求数列｛-2/?

+%+3｝中的最大项.

答案：

n=2,最大值为13.

例5・已知数列匕｝的通项公式为^=log2（H2+3）-2,求log23是这个数列的第几项？

答案：

第三项.

4.课堂小结

本节课学习了以卞内容：

数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式.

（三）当堂检测

1.以下四个数中，是数列｛«（«+1）｝屮的一项的是（）

A.380B.39C.32D18

2.设数列为迈品2忑屁…则4血是该数列的（）

A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项

3.数列1,-2,3,-4,5的一个通项公式为.

答案：

1、A2、C3、an

三、课后练习巩固新知

1.

⑴

3,5,9,17,33,……:

⑵

2468

3’15'35’63’

10

99,

⑶

0,1,0,1,0,1,……；

⑷

1,3,3,5,5,7,7,9,9,

•

（5）

2,-6,12,一20,30,

_42,

解：

⑴an=2n+\；

（2）an-

2/?

;⑶色严1±少

（2n-l）（2n+1）2

根据下面数列的前儿项的值，写出数列的一个通项公式:

⑷将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1，7+0,8+1,

…Cln—7?

十:

”2

（5）将数列变形为1x2,-2x3,3x4,-4x5,5x6,

・•・色=（一1）叫（〃+1）・

《数列的概念与简单表示法》学案

（2）

一、课前预习新知

（一）预习目标

1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的界同；

2.会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.

（二）预习内容

阅读教材填空：

1）以下四个数屮，是数列{n（n+\）}的一项的是（）

A.380B.39C.32D.18

2）设数列为V2,a/5,2V2,Vh„..则4血是该数列的（）

A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项

3）数列1,-2,3,—4,5的一个通项公式为.

4）图2.1・5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形.在下图4个三角形屮，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系屮画出它的图象.

⑴O）阴

二、课内探究新知

（一）学习目标

1.解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；

2.会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.

（二）学习过程

1.核对预习学案中的答案.

2•思考下列问题:

观察以下数列，并写出其通项公式：

（1）1,3,5,7,9,11,…^,=2n-l

⑵0,-2,-4,-6,-&…an=-2（n-l）

（3）3,9,27,81,.-6=3"

思考：

除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？

（1）6=1,@=3=1+2=®+2,偽=5=勺+2,…，a”=an_{+2

⑵a{=0,an=an_,-2⑶a.=3,an=3g

3.例题

给出，写出这个数列的前五项.

例1己知数列｛色｝的第一•项是1，以后的各项由公式色=1+

变式训练1根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳岀通项公式

（1）4=0,%]=d”+（2n—1）"UN）；

（2）q=l,粘严伞（D；

（3）®=3,%=3a”一2

例2已知a】=2,a”+[=a”一4,求a”.

例3已知a}=2,an+]=2an，求afl.

变式训练2上述变式1用累加、累乘法重新做.

例4已知数列｛an｝的前兄项和为:

（1）S”=2n2-n;

（2）Sn=n2+w+l,求数列S”｝的通项公式

变式训练3已知数列｛a」的前”项和S”=2^2+”（応M）,则

4.课堂小结

用递推公式求通项公式的方法：

观察法、累加法、迭乘法

（3）当堂检测

1.以下四个数中，是数列Ss+l）｝中的一项的是（A）

A.380B.39C.32D.18

2.设数列为V2,V5,2a/2,VH,...则4血是该数列的（C）

A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项

3.数列1,—2,3,-4,5的一个通项公式为％=（-1严

三、课后练习巩固新知

1.根据下面数列的前儿项的值，写出数列的一个通项公式：

（1）3,5,9,17,33,……；

246810

⑵亍TP斎斎莎……；

（3）0,1,0,1,0,1,……:

（4）1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；

（5）2,-6,12,-20,30,一42,

2.已知数列%—%—3=0,则数列｛%｝是（）.

A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列

3.数列｛©｝中，陽=-2宀％+3,则此数列最大项的值是（）•

A.3B.13C.13-D.12

8

4.数列｛。

”｝满足q=l,a“+]=a”+2（n>l）,则该数列的通项碍=

5.己知数列仏”｝满足1）”2%（n>2）,则他二•

2n

答案小⑴y+1;⑵讥（”胳+1）;⑶兀十

⑷将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,

（5）将数列变形为1x2,一2x3,3x4,-4x5,5x6,

・•・绻=（—1）”畑+1）

2.A

3•D；4.2n—1；5.

《等差数列》学案

（1）

一、课前预习新知

（一）预习目标

1.通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；

2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能川冇关知识解决相应的问题；

3.体会等差数列与一次函数的关系.

（二）预习内容

阅读教材填空：

1.找规律

12,4,6,8,10,In.

221,21-,22,22-,23,23-,24,24丄,25,25丄,26.

22222

37500,8000,8500,9000,9500,10000,10500.

4100,99,98,97,2,1.

55,5,5,5,5,...

写出以上数列的规律.

2.填内容

1等差数列的概念：

2写出等差数列项Z间的关系•

3判断等差数列的方法是：

.

4G和等差屮项是.

二、课内探究新知

（一）学习目标

1.通过实例，感受等差数列的含义，体会等差数列的本质属性“差等二

2.理解等差数列的定义，能川观察归纳的方法发现通项公式，还能通过递推，迭加法求得通项公式,感受从不同侧血研究同一问题的多角度分析问题的思维方法.

3.会用通项公式解决简单的问题，体会方程的思想.

4.理解等差数列的通项公式变形，从函数的观点研究等差数列的通项公式.

（二）学习过程

1.观察分析，找出共同特点

背景实例：

学生观察讨论，分析特点

12,4,6,8,10,...»2n.

221,21丄,22,22丄,23,23-,24,24-,25,25-,26.

22222

37500,8000,8500,9000,9500,10000,10500.

4100,99,98,97,2,1

55,5,5,5,5,...

问题：

这些数列的共同特点是什么:

2.深入探究，形成概念

1等差数列的概念：

.

2写出等普数列项之间的关系

3判断等差数列的方法是：

.

提岀问题：

（1）数列1,1,2,3,4,…是不是等差数列？

为什么？

（2）如果数列^=2^-1,也=1,它是等差数列吗？

数列｛色｝是等差数列，公差为d,请分析它的增减性.让学生完成.

（1）d>0,｛%｝为—数列；

（2）dvO,｛%｝为—数列；

（3）J=0,｛«„｝为—数列.结合前面实例，分析这些数列的增减性.

3.探究规律，领悟公式

（1）依据等差数列的特点，尝试推导等差数列的通项公式.

已知q,%-a”.】二d,求％•

（2）分析公式

1公式未知量有个.知三求一.

2°”=亦+（4-d）,（d,®为常数）,此时通项公式关于〃的一次函数.

（3）如果数列满足+为常数），证明｛%｝是等差数列.让学生完成.

（4）例题分析

体会方程思想在数列中应用.

例题1

（1）求等差数列8,5,2,…的第20项.

（2）-401是不是等養数列一5,-9,—13,…的项.如果是，是第几项？

例题2在等差数列中，已知你=10,%=31,求数列的q与公差/

例题3已知在等差数列中｛a”｝中,am=a,+｛in一l）d,求证％=am+（n-m）d.

（三）当堂检测

1.课本对应习题.

2.课本对应练习.

三、课后练习巩固新知

1•在等差数列&“｝中,

已矢廿⑷=2,d=3,/?

=10,求d”=.

已知％=3,atl=21,d=2,求〃=.

已知d]=12,a6=27,求d

D7T

3.2000是等差数列4,6,8…的（）

A73

BV2

A第998项B第999项C第1001项D第1000项

4.在等差数列40,37,34,...中第一个负数项是（）

A第13项B第14项C第15项D第16项

5.在等差数列｛。

”｝中，已知Q]=2卫2+。

3=13,则為+。

5+。

6等于（）

A10B42C43D45

6.等差数列-3,1,5…的第15项的值为.

参考答案

1.

（1）29；

（2）10；（3）3:

（4）10.

2.A:

3.B；4.C；5.B；6.53.

《等差数列》学案

（2）

一、课前预习新知

（一）预习目标

1.知道等差中项的概念；掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

（二）预习内容

阅读教材填空：

1.等差数列的定义：

-•般地，如果一个数列从起，每-•项与它的询一项的差等于同一

个,那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的,通常用字母〃表示.

2.等差中项：

若三个数a,A,b组成等差数列，那么A叫做。

与b的,

即2A=或A=.

3.等差数列的单调性：

等差数列的公差时，数列为递增数列；时，数列为递减

数列；时，数列为常数列；等差数列不可能是.

4.等差数列的通项公式：

厲=.

5.判断正误:

11,2,3,4,5是等差数列；（）

21,1,2,3,4,5是等差数列；（）

3数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；（）

4数列a,a-l,a-2,a-3是公差为。

-1的等差数列；（）

5数列｛2/2+1｝是等差数列；（）

6若a-b=b-c,贝lja,b,c成等差数列；（）

7若仇一=n（nwNJ,则数列｛an｝成等差数列；（）

8等差数列是相邻两项中后项与前项Z差等于非零常数的数列；（）

9等差数列的公差是该数列屮任何和邻两项的差.（）

二、课内探究新知

（一）学习目标

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式：

2.灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.

（二）学习过程

1.核对预习学案中的答案.

2.思考卜•列问题

性质在等差数列仏｝屮，若m+n=p+qf则

3.例题

例1在等差数列｛%｝中,若«1+a6=9,a4=7,求a3,a9.

变式训练1.在等差数列｛%｝中，若a5=6fig=15求％

例2等差数列｛匕｝中，a,+a3+a5=-12,且a^a3-a5=SO.求通项%・

变式训练2若一个三角形的三内角成等差数列，且已知一•个角为28。

，则其它两角度数为

《等差数列的前n项和》学案

（1）

一、课前预习新知

（一）预习目标

1•领会等差数列前H项和公式及其获取思路；

2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前h项和有关的问题.

（二）预习内容

阅读教材填空：

1.什么是等羌数列？

等差数列的通项公式是什么？

2.等差数列有哪些性质?

3.计算1+2+...+100=.

4.如何求1+2+...+〃=.

二、课内探究新知

（一）学习目标

1.掌握等差数列前几项和公式及其获取思路；

2.会川等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

（二）学习过程

1.核对预习学案中的答案

2•思考下列问题

设等差数列｛务｝的首项为S公差为,，试用两种思路：

求$■业十吗十匕广…

3.例题

例1

（1）已知等差数列｛如中,。

】=4,S8=172,求心和d;

（2）等差数列・10,・6,・2,2,…前多少项的和是54?

变式训练1

课本对应练习.

例22000年11月14LI教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了

实施“校校通''工程的总冃标：

从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通"工程的经费为500万元为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

变式训练2

在等差数列｛禺｝中，已知殆=14,07=20,求S5.

例3等差数列仏｝的前斤项和为S“，若»二84,S”=460,求％.

变式训练3

⑴在等差数列血｝中，已知伽=200,求S］。

】.

（2）在等差数列｛a”｝中,已知。

］5+吗2+他+兔=20,求Sqo.

例4已知等差数列仏｝前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.

变式训练4

—•个凸多边形内角成等差数列，其屮最小的内角为120°,公差为5。

那么这个多边形的边数卅为（）.

A.12B.16C.9D.16或9

（3）当堂检测

1.等差数列S”｝中,Sio=4S5,则牛等于（）

d

A.-B.2C.-D.4

24

【解答】A

2.已知等差数列｛曲中，屍+怎+2如佻=9,且给＜0,则血为（）

A.-9B.-llC.-13D.-15

［解答】D

3.设等差数列｛a“｝的前n项和为S”,若S3=9,S6=36.则衍+血+如等」*（）

A.63B.45C.36D.27

【解答】B

4.在小于100的自然数中,所冇被7除余2的数Z和为（）

A.765B.665C.763D.663

【解答】B

三、课后练习巩固新知

1.在等差数列｛a“｝中，已知d=2,a“=ll,S“=35,求a\和n.

£

2.设｛禺｝为等差数列,S”为数列｛“”｝的前n项和，已知S?

=7,晁=75,Tn为数列亠的前n项和，求Tn.

n

3.等差数列⑺｝的前m项和为30,前2m项和为100,求数列｛如的前3m项的和.

参考答案

q+2（/1-1）=11

1.【解答】由71（/1+1）c”

na,Hx2=35

12

2.【解答】设等差数列他｝的公差为d,则+*咻一1）〃,

7坷+2Id"『严一2

15^+105J=75[d=l

C1I

/.—=a\+—（/?

—l）d=—2+—（n—1）,n22

・•・数列W等差数列，其首项为一2,公差为2，・•・几=加一2）+X；=1，一2

［nJ22244

3.【解答】在等差数列^9Sm,S2jn-Sm,S3m-S2m成等差数列.

/.30,70,S3w-100成等差数列.2x70=30+（S3tn-100）,S3w=210.

《等差数列的前n项和》学案

（2）

一、课前预习新知

（一）预习目标

1.掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题：

3.会利用等差数列通项公式与前料项和的公式研究S”的最人（小）值.

（二）预习内容

阅读教材填空：

1.等差数列求和公式：

•

♦•

2.在等差数列｛“｝中

（1）若d5=a,d［（）=b,求ai5；

（3）若05=6,08=15,求014；二、课内探究新知

（-）学习目标

（2）若如+。

8=加,求血+。

6；

（4）若。

］+。

2+・・・+。

5=30，。

6+。

7+・・・+。

10=80，习屯。

11+°12+・・・+。

15・

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前h项和公式；

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；

3.会利用等差数列通项公式与前〃项和的公式研究S“的最大（小）值.

（二）学习过程

1.核对预习学案中的答案.

2.思考下列问题

（1）探究如何求等差数列的前〃项和的最值.

（2）写一些等差数列的有关前八项和的性质.

3.例题

例1已知数列仏｝的前n项和为S“”2+如，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？

如果是，它的首项与公差分别是什么？

变式训练1已知数列仏｝的前斤项和S”=1h2+|h+3,求该数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？

例2数列｛%｝是等差数列，«1=50,J=-0.6.

（1）从第几项开始有an<0：

（2）求此数列的前川项和的最大值.

变式训练2在等差数列g｝中,a4=-15,公差d=3,求数列仏｝的前n项和S”的最小值.

例3已知等差数列5,4扌，3扌，....的前n项的和为S”，求使得S”最大的序号斤的值.

变式训练3首项为正数的等羌数列｛%｝,它的前3项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？

4•课堂小结

①前n项和为S“=pn2+qn+r,怎样求an.

②等并数列前项和的最值问题行两种力法.

（3）当堂检测

1•下列数列是等差数列的是（）・

A.an=nB.S»=2n+\

C.Stl=2«2+1D.=2n2-n

2.等差数列｛a“｝中,已知S]5=90,那么逐=（）.

A.3B.4C.6D.12

3.在小于100的正整数屮共有个数被7除余2,这些数的和为.

4.在等差数列小，公差d=*,S100=145,

贝lj+a54-...+0^=.

答案：

1.B；2.C:

3.14；665；4、60.

三、课后练习巩固新知

1.⑴已知等差数列｛“｝的心=24—3弘则前多少项和最大？

（2）已知等差数列血｝的通项绻=2几・17,则前多少项和最小?

2.数列｛给｝是首项为止数⑷的等差数列，又S9=S17.问数列的前几项和最大？

3.已知等差数列｛给｝,满足给=40如,求前多少项的和最人?

最人值是多少？

4.已知等差数列｛an｝93殆=8%,«i<0,设前料项和为Sn,求Sn取最小值时比的值.

参考答案

1.解：

（1）由dn=24—3n知当吋，aH>0,当"上9吋，an<0,前8项或前7项的和取最人值.

（2）由久=2/?

—17〃知当nS8时，an<0,当斤29时，。

”>0,•••前8项的和収最小值.

2.解:

由Sg=S17得9^5=1709,

/.2°]+25d=0,•"13+014=0,所以相邻两项之和为0.

又Q]>0,.・.山3〉°卫14<0・

•••S]3最尢

说明

%3+坷4=0也可以得岀

517-59=0

=>40+勺|+…・+4?

=°•^>a13+aI4=0

3.解法一:

io1Q2

由alt=40-4n=>Sn=-In2+38«=-2（/?

-y）2+—

」——=15.7,距离x=15.7最近的整数点（16$6）,d

《等比数列》学案

（1）

一、课前预习新知

（一）预习目标

1.了解等比数列的概念；类比等差数列探索等比数列的通项公式、性质；

2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系.

（二）预习内容

阅读教材填空：

1.等差数列的定义.

2.等差数列的通项公式色=・

3.观察：

©1,2,4,8,16,...

21,丄，丄，丄，…

24816

3］,20,202,203,204,...

思考以上四个数列有什么共同特征？

4.等比数列定义：

一般地，如果一个数列从笫—项起，—一项与它的—一项的—等于常

数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的,通常用字母—表示（狞0）,BU：

企=

（狞0）

5.等比数列的通项公式：

a2=:

=a2q=（axq）q=ax；

仇=^刃=（%『加=5一；

・；an=an_