第二章刚体的位置和姿态学习资料Word文档格式.docx
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示为：
（2-1-1）
其中
、
和
分别为该矢径在x、y、z轴的三个分
量。
我们已经知道，矢径
的矩阵表示为：
（2-1-2）图2-1-1
（二）点的速度和加速度
1．点的速度
根据速度的定义，点A的速度是其位置对时间的一次微分，即：
（2-1-3）
式中，考虑到惯性参考系是固定坐标系，不随时间变化，因此，三个坐标轴的单位矢量对时间的微分等于零。
上式同样可以用矩阵表示为：
（2-1-4）
或者记为：
（2-1-5）
2．点的加速度
将速度对时间再次微分可以得到点A的加速度：
（2-1-6）
写作矩阵形式为：
（2-1-7）
（2-1-8）
上面各式中，惯性系坐标轴的单位矢量对时间的微分同样为零。
[例2-1-1]细杆O1A绕O1轴以
的规律运动，ω为常量，该细杆上套有一小环M，小环同时又套在半径为r的固定圆环上，如图2-1-2，求小环的速度和加速度。
[解]：
如图，以O为原点建立惯性坐标系，M点的
位置为
（1）
M点的速度用矩阵表示为：
（2）图2-1-2
其中，M点的速度沿x轴和y轴的分量分别为：
（3）
因此，M点的速度大小为：
（4）
M点的加速度用矩阵表示为：
（5）
这里，由于
常量，
。
M点的加速度沿x轴和y轴的分量分别为：
（6）
因此，M点的加速度大小为：
（7）
此时，如果将M点的加速度分别向M点在圆周的切向和法向投影，可得：
（8）
第二节广义坐标和自由度
（一）广义坐标的概念
为了进一步讨论物体的位置和姿态的描述，需要引进广义坐标的概念。
我们已经习惯于用直角坐标描写一个点的位置，如图2-2-1（a），点M在xoy坐标平面内（也称基平面）的位置由其坐标值x和y唯一确定。
但是，这种描述是否就是唯一的呢？
显然不是，比如，可以采用极坐标描述，见图（b）。
实际上还可以由其他的描述，图（c）中用面积A和角度ϕ确定点的位置等等。
由此可见，确定一个点的位置的一组参数不是唯一的。
为此，我们引入广义坐标的概念：
如果存在一组相互独立的参数q1，q2，…，qn，只要他们能够确定点的位置，不管这些参数的几何意义如何，这一组参数就称为这个点的广义坐标。
比如上面的例子中，（x，y），（r，ϕ）和（A，ϕ）等都是M点的广义坐标。
一个点是如此，一个物体也是如此。
图2-2-1
因此，广义坐标可以写作下面的通式：
（2-1-1）
上式中，q1，q2，…，qn，为i点的广义坐标，时间t为参变量。
将上式对时间求导，即得到i点的速度为：
（2-2-2）
其中，
相应地称为广义速度。
如果i点的位置描述函数中不显含时间t，则上式右边第二项应等于零。
[例2-2-1]空间一动点M，若选取参数r，θ，ϕ为广义坐标，如图2-2-2所示，求动点M的速度。
依题意，有：
由几何关系可得：
（2）
在笛卡尔直角坐标系中，M点的速度坐标阵为：
图2-2-2
（3）
由
（2）式，有
即
最后可得M点的速度大小用广义坐标表示为：
（二）完整系统的概念
多个质点的集合可以组成一个质点系统，根据系统的运动是否受到预先规定的几何及运动条件制约的情况，可以将该质点系统分为自由系统和非自由系统。
图2-2-3中，（a）为空中自由飘动的气球，因而是
一自由系统，图（b）中，物体B只能限
制在环形轨道内运动，因而是一非自由系
统。
对于非自由系统，那些预先规定的、
与初始条件及受力条件无关的、限制系统
的几何位置或（和）速度的运动学条件称为约束。
图2-2-3
在多种约束类型中，我们只介绍完整约束。
仅仅限制系统的几何位置和形态的约束称为完整约束，如果用xi、yi、zi表示系统第i个质点的笛卡尔直角坐标，那麽由N个质点组成的系统的完整约束的约束方程可以写作下面的通式：
（2-2-3）
完整约束又称为几何约束。
换句话说，这种约束只有位置和姿态的约束而没有速度和加速度的限制。
[例2-2-2]一个半径为R的轮子沿斜面向下滚动而不滑动，如图2-2-4所示，分析轮子所受的约束。
如果沿斜面向下为x轴建立平面
参考基，如图，由于轮子只能在斜面
上运动，所以其形心C的位置到斜面
的距离不会改变，即存在几何位置的
约束：
图2-2-4
（1）
另一方面，轮子沿x轴的坐标位置就是轮子滚过的轨迹：
（b）
其中，ϕ是轮子转过的角度，C0是质心沿斜面的初始位置，假设轮子开始时形心C在y轴上，则C0=0。
可见，该轮子受到完整约束，共有两个约束方程。
（三）自由度的概念
一个由N个质点组成的系统，在笛卡尔直角坐标空间中，共有3N个坐标，如果该系统是自由的，则需要3N个坐标参数来确定其空间位置。
如果受到完整约束，即受到预先给定的几何位置的限制，显然该系统就不再需要3N个坐标参数来确定其空间位置了，如果存在l个完整约束，即有l个完整约束方程，则该系统仅需要n=3N－l个坐标参数就可以确定该系统的几何位置，当然，这n个坐标参数必须相互独立。
我们将n称为该完整系统的自由度。
前面已经介绍过广义坐标的概念，一个物体或一个系统可以用广义坐标描述其位置和姿态，而一个物体或一个系统的广义坐标不是唯一的，但是每一组广义坐标的各个参数必须是相互独立的。
对于完整系统，任一组广义坐标中坐标参数的个数应该等于该系统的自由度。
也就是说，一个完整系统的自由度为n，则确定该系统的广义坐标数也为n。
如例2-2-2，轮子在xy基平面上的形态需要3个坐标描述，
第三节刚体位置和姿态的描述
（一）单个刚体的自由度
一个自由刚体，不受任何限制在笛卡尔直角坐标空间中运动，它具有6个自由度，包括沿3个基矢量方向的移动和绕3个基矢量的转动。
比如一条船在水中航行，要确定这条船在水中的位置和姿态，需要确定它的前进后退、左右移动、上浮下沉这3个整体的移动情况，还要知道该船体绕由船头到船尾这条轴线的转动（称为横摇）、船头相对船尾的俯仰运动（称为纵摇）以及该船航向的改变运动（称为偏航）。
这些运动状态需要6个相互独立的参数加以描写，所以船在水中航行一共有6个自由度。
前3个称为移动自由度，用以确定船体的位置；
后3个称为转动自由度，用以确定船体的姿态，参见图2-3-1。
如果刚体不是自由的，受到预先给定的几何位置的限制，它的自由度将减少。
比如将物体限制在某个基平面内运动，如图2-3-2，将杆AB限制在xoy基平面内运动，此时，杆AB的几何位置受到的限制包括：
1杆AB上任一点的z坐标值都等于零；
2绕x轴不能产生转动；
3
绕y轴不能产生转动。
图2-3-1船在水中的自由度图2-3-2做平面运动杆的自由度
于是，杆AB还剩下3个自由度，即沿x轴和y轴的移动和绕z轴（垂直纸面）的转动。
杆AB的自由度还可以这样确定，该杆的位置和姿态取决于A和B两点的位置，A和B两点各有两个坐标参数（xA，yA）和（xB，yB）共4个坐标参数，而该杆存在一个完整约束，即杆AB的长度不变且等于L：
所以杆AB的自由度为n=4－1=3。
（二）齐次坐标与齐次变换的概念
1．惯性参考基和刚体连体基
物体的大小不一、形状各异，我们将刚体在空间的位置和姿态统称为刚体的位形。
为了采用广义坐标描述刚体的位置和姿态，需要建立两个矢量参照基，一个是惯性参考基，一般认为，惯性参考基与地球固定，我们称之为参考基，也称定基；
另一个是固定在刚体上的矢量基，该矢量基将随物体一起运动，我们称之为动基。
一旦建立了这两个矢量基，我们就可以利用两个矢量基的空间关系来确定刚体的位形。
我们将矢量基的原点称之为基点，将矢量基3个坐标轴的单位向量称为基矢量。
为了描述矢量基之间的关系，需要介绍有关齐次坐标及其变换的概念。
2．齐次坐标
我们把不同时等于零的四个数组成的列向量
称为三维空间里点的齐次坐标。
点的齐次坐标与该点笛卡尔直角坐标
的关系为：
（2-3-1）
显然，一个点的齐次坐标不是唯一的，或者说，一个点的齐次坐标具有多值性。
例如，设P点的齐次坐标为
（2-3-2）
根据（2-3-1）式，λ≠0时有
（2-3-3）
说明（2-3-2）和（2-3-3）都是P点的齐次坐标。
3．
齐次变换
一个点可以用齐次坐标表示，一个物体
如何用齐次坐标描述呢？
如图2-3-3，o-xyz
为惯性参考基，ob-xbybzb为物体的连体基，
连体基的基点ob在惯性参考基中的位置用
向径
表示，A为刚体上的任意点，假设A图2-3-3
相对其连体基用向径
表示，其在连体基上的分量分别为Qxb、Qyb和Qzb，如何确定A在惯性参考基中的位置？
这个问题的解决并不难，只要将Qx、Qy和Qz分别投影到惯性参考基三个基矢量上就可以的得到，当然，此时还需要知道连体基和惯性参考基基矢量之间的夹角。
现将两个矢量基的基矢量之间夹角的余弦值列于表2-3-1中，于是可以得到如下关系：
虽然调查显示我们的创意计划有很大的发展空间，但是各种如“漂亮女生”和“碧芝”等连锁饰品店在不久的将来将对我们的创意小屋会产生很大的威胁。
（2-3-4）
其中，r1、r2、r3分别表示连体基基点在惯性参考基中的位置。
5、就业机会和问题分析
表2-3-1动参考系与定参考系坐标轴间夹角的余弦值
xb
关于DIY手工艺制品的消费调查yb
zb
x
我们大学生没有固定的经济来源，但我们也不乏缺少潮流时尚的理念，没有哪个女生是不喜欢琳琅满目的小饰品，珠光宝气、穿金戴银便是时尚的时代早已被推出轨道，简洁、个性化的饰品成为现代时尚女性的钟爱。
因此饰品这一行总是吸引很多投资者的目光。
然而我们女生更注重的是感性消费，我们的消费欲望往往建立在潮流、时尚和产品的新颖性上，所以要想在饰品行业有立足之地，又尚未具备雄厚的资金条件的话，就有必要与传统首饰区别开来，自制饰品就是近一两年来沿海城市最新流行的一种。
我们熟练的掌握计算机应用，我们可以在网上搜索一些流行因素，还可以把自己小店里的商品拿到网上去卖，为我们小店提供了多种经营方式。
十字绣□编制类□银饰制品类□串珠首饰类□y
z
据调查，大学生对此类消费的态度是：
手工艺制品消费比“负债”消费更得人心。
据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中，发现有50%人选择了价格便宜些，有28%人选择服务热情些，有30%人选择店面装潢有个性，只有14%人选择新颖多样。
如图（1-5）所示
（一）上海的经济环境对饰品消费的影响
标题：
大学生究竟难在哪？
—创业要迈五道坎2004年3月23日
如果采用齐次坐标表示A点的位置，对于连体基和惯性参考基分别设为：
和
上个轴就可以的得到。
用向径
利用齐次坐标与笛卡尔直角坐标间的关系、即（2-3-1）式，（2-3-4）式可以改写为：
（2-3-5）
根据齐次坐标的多值性，可以令
，代入上式，将上式进一步改写为：
（2-3-6）
上是采用矩阵描述则为：
（2-3-7）
简记为：
（2-3-8）
其中，T称为齐次变换矩阵，即
（2-3-9）
值得关注的是，（2-3-8）式带有普遍的意义，X可以看作用惯性参考基表示的任意矢量，而X′则是该矢量的动参考基表示。
当然，在（2-3-8）式中，X和X′均为矢量的齐次坐标形式，齐次变换矩阵T中的元素参见表2-3-1。
（三）刚体位置和姿态的齐次坐标描述
正如前面分析的，如果我们将固定于刚体上的矢量基称为连体基，该连体基将同刚体一起运动，因此，刚体相对惯性参考基的位置和形态就可以利用附体坐标系来表示，这具有普遍的意义，因为此时可以不计刚体的大小和形状。
由（2-3-8）式的推导过程可以知道，变换矩阵T实际上反映了动参考基与定参考基的空间关系，刚体的连体基也是动参考基，因此，变换矩阵T也描述了刚体相对惯性参考基的空间关系。
进一步考察变换矩阵T，可以将其写作下面的分解形式：
（2-3-10）
这里，Tr称为移动变换，它表示连体基与惯性基平行，仅仅连体基基点发生移动，并且沿惯性基的x、y、z轴分别移动了r1、r2、r3；
Tα称为转动变换，它表示连体基与惯性基基点重合，但基矢量间的夹角发生变化，也就是说连体基相对惯性基仅仅产生转动。
因此，我们也可以说，Tr描述了刚体的位置变化关系，而Tα描述了刚体的姿态变化关系，同时由（2-3-10）式也可以看出，移动变换与转动变换是相互独立的，换句话说，刚体相对惯性基的位置变化与姿态的变化是相互独立的。
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