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杨辉在详细解释《九章算法汇编》（1261）时，引用了北宋贾贤的乘法法。
这是在已有的开平方算法和开立方算法的基础上，求解正系数三次方程的一种新的数值方法。
该方法不需要记忆新旧方程系数之间繁琐的关系，可以逐步得到结果。
秦九韶将乘法推广到正方和负方，并用它解了《数书》第九章中21道题的26个多项式方程。
正平方和负平方是一般多项式方程的数值解：
a0x?
a1xnn?
1an?
1x?
an?
秦九韶在这方面的主要成就是：
（1）除了规定a0?
0,an?
0以外，方程系数不限于正数。
（2）N不限于3。
《数字手册》第9章第8卷问题2（“偏远的圆形城市”）中等式的次数是n？
10。
（3）扩（缩）根、估根、减根有完整算法程序。
在草文中多次显示出秦氏在运算中总是先经过扩（缩）根，使新方程的根x的整数部分[x]是个位数，然后估计这个[x]；
再根据y＝x－
[x]进行减法根变换相当于今天的综合除法，得到了一个关于y的新方程。
再次展开（收缩）根（10次），估计根
减根，?
如此反复运算，直至达到所需精度。
（4）扩展根变换X1？
10倍后，关于X1的方程式设置为：
nb0x1?
b1x1n?
1bn?
1x1?
bn
秦九韶认为，这个方程式的根源是：
x?
x?
bnb0?
b1bn?
1
中亚和亚洲学者阿卡什（1436）在《算月》（1427）第一章第五节中介绍的发展武断力量的过程与我们的方法相同，但比贾贤晚了近400年，比秦九韶晚了近200年。
在欧洲，对多项式方程数值解的系统研究始于19世纪初。
其中，英国学者W.G.Horner（1789-1837）是著名的，但他没有根展开（收缩）步骤、算法程序和数据处理率无序。
3．一次同余式（组）
《孙子算经》（约400年完成）卷中的第26个问题提出了理解同余组的建议：
2（mod3）?
3（mod5）?
2（mod7）
问题。
《数经》九章第1卷和第2卷中的九个问题，以及第3卷中的问题3（“管理日历和执行纪律”），都需要一次性解决同余组。
秦九韶根据“大研算术”对这10道题提出了具体的解决方案，并在题后的草稿中记录了计算过程。
“大研总数法”855字，简明全面，结合10道算术题，包含15组数学命题，其中重要成果可归纳为以下三项：
（1）《孙子算经》解题方案仅限于数值例子。
大衍总数术则对于一般同余组提出完整解题程序，相当于说，对于同余组：
十、里（莫德米）①
1?
i?
j?
n,（mi,mj）?
1，
先解决MiFi？
1（莫德米）
其中mi?
m/mi，而m?
N惯性矩？
1ni，然后是①是：
mifiri（modm）
我一
这就是著名的中国剩余定理。
（2）同余群中的模①《孙子算经》中所设想的，是彼此的黄金时期。
在实际问题中，例如，在中国古代历法的计算中，模数不是2和2，并且经常出现互质。
在不引入素数概念的情况下，大研全数技术设计了一个计算程序，将非二元互质的模转化为二元互质，等价于问题集同余群。
对于同余群，这个过程的现代表达如下①,比如（MI，MJ）？
D1.根据关系式：
m,m?
mmijij/（mi,mj）把mi一一变换为?
i，使同时满足：
imi，（？
i，？
j）？
1.我m1，m2，？
，mn
i?
1n
那么新的同余群：
x？
ri（mod？
i）②
与①等价。
（3）对同余
ax?
1（modb）③
其中（a，b）=1，提出了一个通解，秦久绍称之为“大研求一法”。
如果a和B的值很小，则可以从B的完全剩余类中猜出x。
在实际问题中，例如在中国古代历法的计算中，a和B的值通常为数万，这只有在大研的帮助下才能有效。
大雁寻一的现代说法是：
对两个数字a和B执行欧几里德算法。
如果商和相应的余数被记录为：
q1,q2,?
qn;
r1,r2,?
rn?
1,rn?
1?
此外，n是单数。
我们还记得Ji吗？
七夕？
1.吉？
2和J0？
0，吉？
1.那么x呢？
Jn是③.13世纪，秦九韶在同余理论方面的发明具有划时代意义。
印度数学的先驱阿雅巴塔（Aryabhata，476-550）讨论了同余的解③在他的诗集第二章的第32节和第33节中，只有四首押韵诗流传下来，称自己为kuttaka（意思：
磨细），含义模糊。
只有在后人一次又一次地添加注释之后，人们才明白它的目的。
秦始皇的系统论述，如上述成就①和③,比印度好。
贺算（日本古典数学）以中算为老师。
直到关小河（1642-1708）编写了《国耀算法》（1683），秦九韶的成就才在日本写成。
西欧与秦九韶的一次性同余理论水平相当。
它是由三代欧拉、拉格朗日和高斯实现的。
从18世纪到19世纪，三位大师经历了60多年的探索。
特别是在高斯24岁（1801年）时，他发表了著名的著作《算术研究》，其中第一章和第二章全面讨论了一次性同余理论。
篇二：
南宋数学家秦九韶的故事
南宋数学家秦九韶的故事
南宋，数学家秦九韶（公元1202~1261年）在1247年（淳佑七年）着成『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：
大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。
这是一部划时代的巨着，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」z一次同余组解法）和「正负开方术」z高次方程的数值解法）等有十分深入的研究。
其中的”大衍求一术”z一次同余组解法），在世界数学史上占有崇高的地位。
在古代＜孙子算经＞中载有”物不知数”这个问题，举例说明：
有一数，三三数之余二，五五数之余二，七七数之余二，问此数为何？
这一类问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法．奏九韶给出了理论上的证明，并将它定名为”大衍求一术”。
秦九韶（出生和死亡年份不详，活跃于13世纪）是中国南宋的数学家。
他出生于四川，著有18卷《数字图书九章》（1247）。
深入研究了求数的大导数（整数论中一阶同余的解）和“正负开法”（求数字高阶方程正根的方法）。
我国自古以来就采用十进制计数法，一些实用的计量单位也采用十进制，因此很容易产生小数点，即十进制的概念。
魏晋时期的刘晖是第一个用语言表达这个概念的人。
在计算圆周率的过程中，他使用了七个单位：
尺子、英寸、分钟、摄氏度、毫米、秒和小时；
Hu以下较小的单位不再命名，而是统称为“微编号”。
宋元时期，十进制的概念进一步普及，表达更加清晰。
杨辉的日常使用算法（1262）包含两斤的换算公式：
“一、六、五；
二、一、五”，即1/16=00625；
2/16＝0125.此处的“间距”和“退位”具有指示小数点位置的含义。
秦久绍指出，芯片下的单位代表整数部分的位数，例如：
―III―II表示13.12英寸，这是世界上最早的十进制表示法。
在欧洲和伊斯兰国家，古巴巴比伦的十六进制长期以来一直处于主导地位。
一些经典的科学著作使用十六进制，所以十进制的概念还没有形成。
15世纪中亚的阿尔卡西（约1429年）是中国以外第一个使用小数的人。
欧洲数学家直到十六世纪才开始考虑小数，其中荷兰人史提芬（1548～1620）在他的十进制系统（1583）中阐明了这一点。
例如，将5.714记录为：
5◎7.①1.②4.③或5,7'
1“4”。
德国数学家克拉维斯（1537~1612）是当今世界上第一个将小数表示为一种常见形式的人。
在他的星盘（1593）中，他开始使用小数点作为整数部分和小数部分之间的分隔符。
王梓坤的成材故事
王子坤教授是一位对自然科学有着透彻理解的数学家。
因此，无论是讨论历史还是看情况，他引用的例子大多是自然科学史上的典型例子。
然而，“以人为本”的理念促使王子坤教授对科学史上的成败进行了清醒的思考，比如：
有很多科学家研究过引力问题。
为什么牛顿做出了惊人的贡献？
1774年，普里斯特利加热氧化汞以获得一种新的气体——氧气。
然而，他坚持“燃素理论”，曲解了新的气体。
普里斯特利显然明白了真相，他为什么会当面错过呢？
19世纪下半叶，人们对许多化学元素的性质有了很好的了解，但为什么不是其他人，而是俄罗斯的门捷列夫来解读它们与整个自然界中元素结构之间的关系呢？
门捷列夫的化学元素周期定律从理论上预测了一些当时还没有发现的元素？
？
这一系列问题将王子坤教授的思想带入了一个新的领域——寻找人才成长之路和科学研究方法背后的规律。
上卷，王梓坤教授广引博证，从中国古代四大发明，到万有引力、相对论、量子论、生物进化论、元素周期表的卓越发现，从自然科学到人文科学，从宏观到微观，海阔天空，论古道今，纵横驰骋。
从近百位中外名家成败得失中，揭示了成才的规律。
读者为能在王教授指引下畅游知识海洋而快慰，为能领略到王教授诗一般的语言和文采而感到舒适。
第二卷是从探索优生学和良好教育（深度酗酒和频繁酗酒——陶渊明的悲剧）到警察政策，教育应该遵循科学规律，避免过于仓促和鼓励年轻人，让孩子失去金色童年（著名和冷漠的人的故事——神童）；
从优秀人才的成长过程中，“精通一人”的规律逐渐发展为“精通学问”；
从《天才来自勤奋》、《祖冲之师》的学习方式，到《文史评论》对培养通才的呼唤与解读；
从对“科教兴国”方针（傅论教育强国）的理解，到尊师重教（教育之火）的理念，王教授充分表达了对教师职业的热爱和尊重。
王教授"
寻找"
步履中很显眼的脚印是对科研方法的追寻，因为这同成才是相辅相成的。
诸如《齐物以逍遥--论简单明确》、《人与自然的智力角逐--自然科学研究的一般方法》、《精神的浩瀚想象的活跃心灵的勤奋--再论爱因斯坦的科研方法》诸篇都是神来之笔，不仅思想新颖、文字精湛，还处处透射出他所寻找到的"
创新"
亮点。
而对已经"
成才"
的当代领导，则语重心长地写了一篇《领导学第一章--读〈领导人〉》，提出了"
怎样才能成为一位好领导"
的课题，这其实也是人才学研究上的一个"
盲点"
，是相当重要的组成部分。
寻找真理是人类永恒的主题。
没有过时的真理，只有永恒的真理；
人类寻找真理的脚步永远也不会停止，永远也没有止境。
元代数学家杨辉的故事
杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今杭州）人，中国古代数学家和数学教育家，生平履历不详。
由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷。
他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。
与秦九韶、李治、朱世杰并趁称宋元数学四大家。
杨辉一生创作了大量作品。
他的著名数学著作有五种类型和21卷。
它们是：
《九章算法详解》（1261）12卷、《每日算法》（1262）2卷、《乘法除法的起源与终结变化》3卷（1274卷，第3卷，与他人合编）、《天目类比乘法除法》（1275）2卷和《续古拣法》（1275卷，与他人合编）2卷。
后三种算法都是杨辉后期写的，一般称为杨辉算法。
他非常重视数学教育的普及和发展。
杨辉在《算法变化的来龙去脉》中为初学者制定了《数学学习大纲》，这是中国数学教育史上的一篇重要文献。
杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。
杨辉的故事
说起杨辉的这一成就，还得从偶然的一件小事说起。
一天，台州地区官员杨辉参加了游行。
在路上，锣门在前面开，衙门后面的服务大厅和大轿子在中间升起。
迷人的春天，香气四溢，给生活带来欢乐和幸福。
布谷鸟躲在芒果树的树枝里。
用它圆润、甜美、动人的歌声唤醒人们的希望。
成群的画眉蹲在树枝上，像是在问候他们的亲戚，发出优美的叫声。
印楝树、梨树和栗树似乎被自己的香味所陶醉。
杨辉掀开车帘，看着林间繁花似锦的树木和飞鸟。
春天真的很愉快。
它又轻又厚。
他打电话给这对金莺夫妇，想得到小峰。
这也是一年中的一道好风景。
走啊走，我看到无聊的锣声停了下来，前面有孩子们的大喊，接着是衙门的恶毒责骂。
杨辉连忙问发生了什么事，派人去报告：
“孩子不算完问题就不放他走，或者绕道走。
”杨辉一看有兴趣，就赶紧下车走到前面。
衙役连忙说：
“你把孩子哄走了吗？
”杨辉摸了摸孩子的头说：
“你为什么不让我通过这里？
”孩子回答说：
“不是我不让你通过。
我怕你踩到我的配方，我再也记不起来了。
”“什么公式？
”“这是将数字从1到9排列成三行。
无论是直线、水平还是倾斜相加，结果都是15。
我们的丈夫告诉我们下午要把这道题做好。
我刚说到重点。
”杨辉蹲下来仔细看了看孩子的配方。
他觉得这个数字以前从未见过。
当他仔细思考时，西汉学者戴德所著《大代礼》中的一篇文章提到了这一点。
杨辉和孩子很快一起计算了一下。
直到过了中午，他们才松了一口气。
结果出来了。
他们又检查了一遍，认为结果都是15个，所以他们站了起来。
让我们拿出公式：
（在左边的框中，无论是水平、垂直还是倾斜添加，结果都是15。
请尝试。
）孩子看着善良的当地官员说：
“这是浪费你的时间。
来我家吃饭吧！
”今天下午见，杨辉先生。
孩子含泪看着杨辉。
杨辉想，这里一定有什么奇怪的东西。
他温柔地问：
“发生了什么事？
”孩子详细解释了原因：
原来孩子没有上学。
这家人穷得连饭都吃不饱。
他们怎么会有钱读书呢。
那孩子把牛赶到地主家。
每次学生们去学校，他都会偷偷躲在学生们的窗户下偷听。
今天早上，史密斯先生解决了这个问题。
这孩子努力学习，终于解决了问题。
杨辉听到这件事时深受感动。
对一个小孩子来说，做出如此艰苦的努力是不容易的。
他对孩子说：
“这是10两银子。
把它带回家。
下午去学校，我在那儿等你。
”下午，杨辉带着孩子去找丈夫，告诉他关于孩子的事，拿出银币，为孩子补足了名额。
孩子们非常感激。
从那以后，孩子有了一个真正的丈夫。
老师钦佩杨辉的诚实，所以他们谈论数学。
杨辉说：
“我刚才问孩子的问题似乎在《大戴利》一书中？
”这位先生笑着说：
“是的，虽然《大礼》是一本记录各种礼仪制度的散文集，但它也包含一些数学知识。
你刚才提到的话题是我给孩子们的数学游戏题。
”老师看到杨辉困惑的表情，
又说道：
“南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过：
“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。
”杨辉默念一遍，发现他说的正与上午他和孩童摆的数字一样，便问道：
“你可知道这个九宫图是如何造出来的？
”教书先生也不知出处。
杨辉回到家里，反复思考，一有空就摆弄桌上的数字，最后找到了一条规则。
他将这一规律总结为四句话：
“九个孩子斜排，上下相反，左右相位更多，四个维度突出”。
这就是说：
开始时，九个数字从大到小斜排成三行，然后交换9和1，交换左侧的7和右侧的3，最后四个角的4、2、6和8分别向外移动成三条垂直和水平线，形成九宫地图。
接下来，让我们演示：
（九个次斜行）（顶部和底部相反，左侧和右侧更多）（四维突出）根据类似的规律，杨辉得到了“花16图”，即1到16的数字排列成四行四列，这样每个水平、垂直和斜行数之和为34。
后来，杨辉整理了散见于以往作品中并流传于民间的问题，得到了许多类似的图片，如《五五图》、《六六图》、《导数图》、《易数图》、《99图》、《百子图》等。
杨辉将这些图称为纵图和横图，并于1275年将它们写进了他的数学著作《古代采摘怪算法的延续》，这本书被传给了后代。
垂直图和水平图，也称为幻方图，要求在N2格中放置从1到N2的连续自然数。
但很长一段时间以来，人们一直认为这是一个纯粹的数学游戏，没有给予应有的重视。
随着现代组合数学的发展，纵横图显示出越来越强大的生命力，在图论、组合分析、博弈论、计算机科学等领域有着广泛的应用。
杨辉可以说是世界上第一位给出如此丰富的纵横图并讨论其组成规律的数学家。
杨辉除此成就之外，还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”。
有一次，杨辉得到一本《黄帝九章算法细草》，这是北宋数家贾宪写的。
这里面有不少了不起的成就，如贾宪描画了一张图，叫作“开方作法本源图”。
图中的数字排列成一个大三角形，位于两腰上的数字均是1，其余数字则等于它上面两数字之和。
从第二行开始，这个大三角形的每行数字，都对应于一组二项展开式的系数，下面试举例说明：
在第三行中，1、3、3、1，这4个数字恰好是对应于（x+1）3=x3+3x2+3x+1；
再如第四行对应于（x+1）4=x4+4x3+6x2+4x+1。
以此类推。
杨辉把贾宪的这张画忠实地记录下来，并保存在自己的《详解九章算术》一书中。
后来发现，这个大三角形不仅可以用来解正方形和方程，而且与组合、高阶等差级数和插值等数学知识有着密切的关系。
在西方，直到16世纪才有人在书的封面上画类似的人物。
法国数学家巴西加在1654年的论文中详细讨论了这个数字的性质，因此在西方也被称为“巴西加三角形”。
杨辉除上述成就外，还分别写了《日用算法》、《乘除通变本末》和《田亩比类乘除捷法》等书，这为后世的人们了解当时的数学面貌提供了极为重要的资料。
杨辉的几部著作极大地丰富了我国古代数学宝库，为数学科学的发展做出了卓越的贡献，他不愧为“宋元四大家”之一。
中国数学家华罗庚的故事
华罗庚同志是当代自学成才的科学巨匠，是萤声中外的数学家。
他是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数论与多复变函数论等很多方面研究的创始人与开拓者。
1910年11月12日出生于江苏省金坛县一个小商人家庭，身高1.65米，父亲华瑞栋，开一爿小杂货铺，母亲是一位贤惠的家庭妇女。
他12岁从县城仁劬小学毕业后，进入金坛县立初级中学学习。
1925年初中毕业后，因家境贫寒，无力进入高中学习，只好到黄炎培在上海创办的中华职业学校学习会计。
不到一年，由于生活费用昂贵，被迫中途辍学，回到金坛帮助父亲料理杂货铺。
在柜台单调的生活中，他开始自学数学。
1927年秋天，他嫁给了吴晓芝。
1929年，华罗庚受雇于金坛中学，开始在上海的《科学》等杂志上发表论文。
1929年冬天，他患了严重的伤寒。
经过近半年的治疗，虽然他已康复，但左腿关节严重受损，终身残疾。
他不得不用手杖走路。
其实华罗庚读初中时，一度功课并不好，有时数学还考不及格。
时在金坛中学任教的华罗庚的数学老师，我国著名教育家、翻译家王维克（1900年出生，金坛人）发现华罗庚虽贪玩，但思维敏捷，数学习题往往改了又改，解题方法十分独特别致。
一次，金坛中学的老师感叹学校“差生”多，没有“人才”时，王维克道：
“不见得吧，依我看，华罗庚同学就是一个!
”“华罗庚？
”一位老师笑道：
“你看看他那两个像蟹爬的字吧，他能算个‘人才’吗？
”王维克有些激动地说：
“当然，他成为大书法家的希望很小，可他在数学上的才能你怎么能从他的字上看出来呢？
要知道金子被埋在沙里的时候，粗看起来和沙子并没有什么两样，我们当教书匠的一双眼睛，最需要有沙里淘金的本领，否则就会埋没人才啊！
”1930年春，他的论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立的理由》在上海《科学》杂志上发表。
当时在清华大学数学系任主任的熊庆来教授看到后，即多方打听并推荐他到清华大学数学系当图书馆助理员。
1931年秋冬之交，华罗庚进了清华园。
华罗庚在清华大学学习。
他花了两年时间完成了一条普通人需要八年才能完成的道路。
他于1933年被特别提拔为助教，1935年被提拔为讲师。
1936年，他被清华大学推荐到剑桥大学学习。
在剑桥的两年里，他把全部精力都投入到数学理论难题的研究上，不愿浪费时间申请学位。
他的研究成果引起了国际数学界的关注。
1938年，他回到中国，受雇于西南联合大学（southwestUnitedUniversity）担任教授。
从1939年到1941年，在极其困难的条件下，他写了20多篇论文，完成了他的第一部数学专著《堆栈基数素数理论》。
在闻一多先生的影响下，他还积极参加了当时全面展开的抗日民主爱国运动。
后来，堆叠基本元素的理论成为数学的经典。
1947年，该书在苏联以俄语出版，并在多个国家以德语、英语、匈牙利语和汉语翻译出版。
1946年2月至5月，他应邀赴苏联访问。
1946年，当时的国民政府也想搞原子弹，于是选派华罗庚、吴大猷、曾昭抡三位大名鼎鼎的科学家赴美考察。
9月和李政道，朱光亚等离开上海前往美国，先在普林斯顿高等研究所担任访问教授，后又被伊利诺大学聘为终身教授。
第三章：
中国古代著名数学著作介绍
中国古代数学，和天文学以及其他许多科学技术一样，也取得了极其辉煌的成就。
可以毫不夸张地说，直到明代中叶以前，在数学的许多分支领域里，中国一直处于遥遥领先的地位。
中国古代的许多数学家曾经写下了不少著名的数学著作。
许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算书而得以流传下来。
这些中国古代数学名著是了解古代数学成就的丰富宝库。
例如，已知的最早的数学著作《周笔算经》和《九章算术》都是公元前后的著作，已有大约2000年的历史。
能够将2000年前的数学书籍传播到现在，这是一项伟大的成就。
开始，人们是用抄写的方法进行学习并且把数学知识传给下一代的。
直到北宋，随着印刷术的发展，开始出现印刷本的数学书籍，这恐怕是世界上印刷本数学著作的最早出现。
现在收藏于北京图书馆、上海图书馆、北京大学图书馆的传世南宋本《周髀算经》、《九章算术》等五种数学书籍，更是值得珍重的宝贵文物。
从汉唐到宋元，历代都出现了著名的算术书籍：
或用传统的中国方法注释现有的算术书籍，并在注释过程中提出自己的新算法；
或者再写一本新书，创新，创新。
在这些传世的算术古籍中，浓缩了历代数学家的劳动成果，是历代数学家留下的宝贵遗产。
《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时候国子监算学科（国家所设学校的数学科）的教科书。
十部算书的名字是：
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》。
在十本算术书中，《周笔算经》是最早的一本。
我不知道它的作者是谁。
据研究，它最晚写于西汉末年（公元前一世纪）。
《周笔算经》不仅是一部数学著作，也是一部关于当时天文学“遮天”理论的天文学著作。
至于数学内容，这本书记录了毕达哥拉斯定理的天文计算和更复杂的分数计算。
当然，不能说这两种算法直到公元前一世纪才被掌握。
仅表明《周笔算经》是已知资料中一个相对较早的记录。
对古代数学的各个方面全面完整地进行叙述的是《九章算术》，它是十部算书
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