焦半径公式的三角形式及其应用Word文件下载.docx
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1,•••0W2
<
1
结合0vev1
Wev1为所求。
定理2:
在圆锥曲线中,准线在焦点右侧时,焦半径
线PF的角,p为焦准距,在椭圆和双曲线中,因p
点左侧时,
PF
ep一,在椭圆和双曲线中,
1ecos
b2
ep
,这里为x轴到直
。
准线在焦
accos
准线在焦点上方
或下方时,只需将视为y轴到直线PF的角即可。
则在圆锥曲线中,有以下几种情形:
1.准线在焦点右侧;
2.准线在焦点左侧;
3.准线在焦点上方;
4.准线在焦点下方;
对于情形1:
准线在焦点右侧,女吓图1,设点P(x0,y0)在圆锥曲线上,F是焦点,QH是准线所在直线,x轴到直线PF的角为,过点P作PQQH于Q,过点F作
FHQH于H,则:
|PFePQ,|PQFH|PFcos,可得
eFH
,这里p为焦准距,在椭圆和双
曲线中,
具体化到椭圆和双曲线中,有公式|PF
抛物线中,有公式
PF—P—
1cos
对于情形2,如下图,准线在焦点左侧,同理可得:
eP——,这里p为焦准距,在椭圆和双曲
线中,
c
fi
具体化到椭圆和双曲线中,有公式PF
,抛物线中,有公式
对于情节形3、4,如下两图,只需将上两种情形中的的几何意义改为y轴到直线PF
的角即可。
F面看角焦半径公式在高考中的应用:
例3.(07、重庆)过双曲线C:
x2y24的右焦点F作倾斜角为105°
的直线,与双曲线
C交于A、B两点,贝U|AF|•|BF|
由题设有:
|AF|=ep—
1,2cos1050
|BF|
1.2cos1050
IAF|•|BF|=
4
20
12cos21050
44
1(1cos2100)cos300
8、3
~3~
例4.(07.重庆理22)如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线I的方程
为:
x=12。
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上任取三个不同点P1,F2,P3,使RFP2
P2FP3
F3FF1,证明
为定值,并求此定值。
(I)
设椭圆方程为笃
a
y_
1.因焦点为
F(3,0),故半焦距
a2
又右准线I的方程为x,从而由已知
12,a36,
因此a6,b.a2
c227
3.3.
x2
故所求椭圆方程为36
(II)记椭圆的右顶点为
A,并设
AFR
(i1,2,3),不失一般性,
又设点
P在I上的射影为
Qi,
因椭圆的离心率
3.
--,从而有
a2
FR
解得
PQie
cFRcosie-(9
FPcosi)(i1,2,3).
FP
1cosi(i1,2,3).
因此
|FR|
FP2
FP3
cos
cos1
21
.3.1
sin1cos1
22
—sin10,
FP「
11
Fp2「FP;
I为定值.
例5.(07•重庆文
21)如右图,倾斜角为a的直线经过抛物线
的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。
(I)求抛物线的焦点F的坐标及准线I的方程;
(H)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。
(I)设抛物线的标准方程为
P4.
因此焦点F(—,0)的坐标为(
又准线方程的一般式为x
从而所求准线I的方程为x
y22px,则2p8,从而
2,0).
P
2。
(n)解法一:
如图(21)图作AC丄l,BD丄I,垂足为C、D,则由抛物线的定义知
|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记A、B的横坐标分别为Xxxz,则
|FA|=|AC|=Xxp|FA|cosa号
|FA|cosa
4解得|FA|
1cosa
类似地有|FB|4|FB|cosa,解得|FB|
记直线m与AB的交点为E,则
|FE||FA||AE||FA|
|FA||FB|
2(|FA||FB|)
14
21cosa
4cosa
sin2a
4-2sin2a
.2
sina
所以|FP|近目4r-。
cosasina
故|FP||FP|cos2a—(1cos2a)sina
解法二:
设
A(XA,yA),B(Xb,yB),直线
AB的斜率为ktana,则直线方程为
k(k22)
将此式代入y28x,得k2x24(k22)x4k20,故xAxB
记直线m与AB的交点为E(xE,yE),则
XaXb2(k22)
XE厂
2k2
yEk(XE2)
k
故直线m的方程为y
令y=0,得P的横坐标
|FP|xp2理笃
k2
2k24
Hk^
Xp
1)
从而|FP||FP|cos2a
2k2
—(1
cos2a)
4-2sina
28为定值。
6.(08、安徽)设椭圆C:
冷
Yy1(a>
0)其相应于焦点F(2,0)的准线方程为
b
4•
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知过点£
(—2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A、B
4£
‘2
两点,求证:
|AB|=—;
(3)过点F1(—2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C
2cos
于点A、B和D、E,求|AB|+|DE|的最小值.
⑴椭圆C的方程为—1;
84
(2)F1(—2,0)是椭圆C的左焦点,离心率e于,设l为椭圆的左准线,
则L:
x=—4.作
AAi丄L于Ai,BBi丄L于Bi,L与x轴交于点H.l•点A在椭圆上,
AF1
—|aA^|—(HF1AF1cos
,同理BF1
BF1
■2cos
、:
4「2
2cos2
A
(3)设x轴到直线AB的角为,由于DEAB,由
(2)可得
AB
42
2,
AB|DE
DE
4.2
34时,
例7.(05、全国2)P、Q、
42
2sin2
4迈
12.2
2sin2cos2
12一2
2-sin22
DE取得最小值以2.
3
M、N四点都在椭圆x2
1上,F为椭圆在y轴正半轴上
的焦点•已知PF与FQ共线,MF与FN共线,且
PF•MF=0,求四边形
PMNQ的面
积的最大值和最小值.
y轴到直线PF
的角为(0WBW—).a2
2,b=1,c=1,
P=
丄由公式直接有:
|PQ|=
|1
2二
^cos2|2cos
同理:
|MN|
.2sin
••••PQ!
MN•••Spmqn
1•|PQ|•|MN|
SPMQN
2,2
12
2—(sin2)2
由0WBW—,所以0wsin2
例&
(07、安徽)
切线,求切线方程;
16
1—WSpmqnW2.
9
已知抛物线G:
x2=4y的焦点为F.
(1)过点P(0,-4)
(2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点,且满足
FA•FB=0.延长
AF、BF分别与抛物线G交于点C、D,求四边形ABCD
的面积的最小值.
(1)设切点为Q(x0,jX°
).由y,=仝,知在点Q处的切线斜率k=西•故
作抛物线的
422
所求切线方程为:
y—虫=’(x—X。
).即y=卫x—Xo•因为点P(0,-4)在切线上,
4224
22=4
2cos2|sin2
所以:
-4=号•0-乡,求得X0=±
4.所求切线方程为:
y=±
2x-4.
(2)设y轴到直线AC的角为B.e=1,p=2,由公式有:
|AC|=
|1-1
同理可得:
|BD|=2
1•4
2sin2
FA•FB=0,•••AC丄BD,所以:
SABCD
-•|AC|•|BD|=
s^T‘32.所以Sabcd的最小值为32•
附同类练习题:
32
题1.(2009年高考全国卷n理科题)已知双曲线的右焦点为厂,
过F且斜率为丛的直线交二于—-两点。
若二:
<,则二的离心率为()
选上。
题2.(2010年高考全国卷n理科第12题)已知椭圆f的离心率为
£
一一
-。
过右焦点且斜率为一「的直线于I相交于两点,若-」,贝『:
一()
A18.^2了馆D.2
选吕。
J.
题3.(08高考江西卷理科第15题)过抛物线的焦点戸作倾斜角为三厂的
直线,与抛物线交于川』两点(点丄在卩轴左侧),则有『引
\AF\1
题4.(2010年高考全国卷I理科第16题)已知F是椭圆二的一个焦点,石是短轴的一个
端点,线段衣因的延长线交0于点Q,且丽二2FD,则口的离心率为
s=—解:
-;
C:
题5(自编题)已知双曲线
=l(d>
0^>
0)
的离心率为
-,过左焦点F且
斜率为fc>
0的直线交C的两支于出月两点。
若|皿卜引肪I,则疋=
解:
k¥
卑MW]),则有
推论:
已知点F和直线■是离心率为扌的圆锥曲线匚的焦点和对应准线,焦准距(焦点到
对应准线的距离)为d。
过点F的弦止三与曲线二的焦点所在的轴的夹角为
设点丄二厂在准线上的射影分别为:
「,过点F作轴一匸^的垂线交直线宀<
AF|貯|
"
二宕二Fj
于点M,交直线0对于点时。
由圆锥曲线的统一定义得,血1淬d,所以
…’T■■:
一。
(1)当焦点田内分弦血时。
如图4,国如4鋼+阙“+|肿|沖9,
I硼=風州-\NB\=p-\BF\cos&
o\AF\=e(p^\AF\c^&
l\BF\=e{p-|5F|cos^
AF\=—空—阿=—乂—
所以较长焦半径1-处Z,较短焦半径1十它wB。
|如朋曲=矽+矽=学
所以1-^COS^?
l+f?
COS^\-GCOSdo
(2)当焦点F外分弦口三时(此时曲线为双曲线)。
图5
如图5|逊|=|如国站卜|胭J-]阳卜卩恥険把
所以冷:
I■■■・•;
-「
所以较长焦半径
AF\=
^cos^-1
较短焦半径
所以
epep_2ej?
1—-
■?
'
一・.:
丿一:
匸.'
.■■■JI.<
■…■'
■J一。
综合
(1)
(2)知,较长焦半径
.■L'
_..-J。
特别地,当曲线为无心曲线即为抛物线时,焦准距
7就是通径之半,较长焦半径
|曲|=—艺—
-「-;
」,较短焦半径
-L八匸,焦点弦的弦长公式为
AB\=^-
sm&
当曲
线为有心曲线即为椭圆或双曲线时,焦准距为
112112cos^
b——,—注由上可得,当焦点尸内分弦血时,有商I阳吋阿眄P
112_丄1_皿日
当焦点F外分弦曲时,有阿则吋|吗阳P。
例1.(2009年高考福建卷理科第13题)过抛物线-'
-的焦点F作倾斜角为二丁
的直线,交抛物线于丿,丑两点,若线段/月的长为8,则戸二
解•由抛物焦点弦的弦长公式为
\AB\=
sin245
^+^-=1(^>
b>
0)_
例2.(2010年高考辽宁卷理科第20题)已知椭圆一/的右焦点为广,
经过F且倾斜角为的直线■与椭圆相交于不同两点丄'
,已知一"
-o
^51=—
(1)求椭圆的离心率;
(2)若4,求椭圆方程。
(1)这里匸二,〔一:
,
由定理1的公式得
^cos60*=
2-1
2+1
e=—
解得二O
ff=-re=6(T,\AB\=—1-(-)acosa604
(2)将匚「,代入焦点弦的弦长公式得,-,解
_5__5_c_2
得;
-1,即_--「二,所以甘—小①,又"
_、1,设’'
_—]代入①得杆"
,所以-:
所以JL「:
故所求椭圆方程为*:
'
O
例3.(由2007年重庆卷第16题改编)过双曲线的右焦点歹作倾斜角为-1:
:
的
直线,交双曲线于巴。
两点,则"
F口的值为
因为’’'
V,离心率-■/,点准距「「’一,因倾斜角为--'
=,所
以m=。
注意到.二分别在双曲线的两支上,由焦半径公式得,
\FP[\FQ\=—聖艺—=<
—=———=8
。