解直角三角形及其应用0915085718.docx
《解直角三角形及其应用0915085718.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解直角三角形及其应用0915085718.docx（29页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
解直角三角形及其应用0915085718
九年级教学教案（人教版）
解直角三角形及其应用
♦课前热身
1.
ABCD分别表示一楼、二楼
图1是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中
A.
-5/3m
3
B.4m
150°
:
h
c
:
1
C.
4寸3m
D.8m
AB
图1
E
2.如图
2,长方体的长为
15,宽为10,高为20,点B离点
C的距离为
5，一只蚂蚁如果要
沿着长方体的表面从点
A爬到点B,需要爬行的最短距离是（
）
A.
5/21B
25C.1045+5
D.
35
地面的水平线，/ABC=150,BC的长是8m则乘电梯从点
B到点C上升的高度h是（）
CD
20
15
3.如图3，先锋村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那
的坡面距离为
【参考答案】
1.B
1
sin30
，所以h=4m.【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利
2
用已知锐角的正弦关系解答即可.本题还可以利用“直角三角形中，30°所对的直角边等于
斜边的一半”来求解.
2.B
【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形（即表面展开图）来
解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论
5
以AB=」一.【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系.
D【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知/A=30°,/B=60°,对照
数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出AC,然后根据锐角三角函数定义判断
5.A【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在
这里设铅直高度为h米，则有h:
4=0.75，h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离
为J32+42=5m.
【点评】在理解坡度、坡面距离、水平距离等概念的基础上，通过直角三角形的知识来解答
♦考点聚焦
1.掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点.
2.了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转
化为直角三角形问题时，？
怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关
系是本节难点，也是中考的热点.
♦备考兵法
?
工程等实际问题中
正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空,的常用概念是解决这类问题的关键.
注意：
（1）准确理解几个概念：
①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角.
（2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形.
（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，？
从而转化为解直角三角形的问题.
♦考点链接
2•解直角三角形的类型
已知
；已知
3.如图
（1）解直角三角形的公式
4.
♦典例精析
例1（安徽省）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整成60°角（如图所示），
则梯子的顶端沿墙面升高了
【答案】2（爲-⑫（约0.64）.
梯子搭在墙上与地面成45°的角时，梯子的顶端到地面的距离是4Xsin45°=2^2，当梯
子搭在墙上与地面成60°的角时，梯子的顶端到地面的距离是4Xsin60°=2j3.则梯子的
顶端沿墙面升高了2h^-72）（约0.64）m.
【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答即可
例2（山东临沂）如图，A,B是公路I（I为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路I的
距离AC=1kmB村到公路I的距离BD=2kmB村在A村的南偏东45°方向上.
（1）求出A,B两村之间的距离;
P,要求该站到两村的距离相等,
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站
请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）
【分析】
（1）设AB与CD的交点为0,那么三角形A0C和BOD是两个等要直角三角形，根据
AB到公路的距离，利用勾股定理计算AOB0进而计算AB的长度.或者以AB为斜边构造
直角三角形解答.
（2）作AB的垂直平分线，与公路I的交点即为所求.
【答案】解：
（1）方法一：
设AB与CD的交点为0根据题意可得^^Z^45°•/.△ACO和△BDO都是等腰直角三■角形.
/.A0=72,B0=2©•
AB两村的距离为AB=A0+B0=+=（km）•方法二：
过点B作直线丨的平行线交AC的延长线于E•易证四边形CDBE是矩形,
/.CE=BD=2•
在Rt△AEB中，由NA=45。
可得BE=EA=3•
”".AB=+3=3J2.（km）
（2）作图正确，痕迹清晰.
1
作法：
①分别以点A,B为圆心，以大于一AB的长为
2
作直线MN;
②直线MN交丨于点P，点P即为所求.
【点评】
（1）点到线的距离是垂线短的长，所以图形中就包含了直角三角形，然后利用勾股
定理计算便是.本题也可以利用锐角三角函数计算.
（2）“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”把握这个特征是找出确切位置的基础
♦迎考精练
、选择题
1.（山东泰安）在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走
了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达
C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则
A、C两地的距离为
A.^km
3
B.
C.572km
D.
5j3km
2.（山东潍坊）
如图，小明要测量河内小岛
B到河边公路
E
11『T1
l的距离，在A点测得NBAD=30°在C点测得NBCD=60°,
又测得AC=50米，则小岛B到公路I的距离为（
）米.
A.25
B.25/3
C10073
3
D.25+25s/3
二、填空题
1.（四川遂宁）
如图，已知△ABC中,AB=5cmBC=12cmAC=13cm那么
AC边上的中线
BD的长为
cm.
2.（浙江宁波）
如图，在坡屋顶的设计图中，AB=AC，屋顶的宽度
I为10米，坡角a为
35°,则坡屋顶高度h为
米.（结果精确到0.1米）
3.（湖南益阳）如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形
使点B'与C重合，连结A'B，则tanZABC'的值为
5.
cos/AOB的值
（山东济南）如图，/AOB是放置在正方形网格中的一个角，则
是
/
/
/
A
O
第4题图
6.（山东泰安）如图，在Rt△ABC中，/ACB=90，/Av/B,沿△ABC的中线CM将△CMA
折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为
7.（湖南衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为23垢米，则这个坡面的坡度为
8.（湖北孝感）如图，角a的顶点为0,它的一边在x轴的正半轴上，另一边0A上有一点
9.
P（3,4）,贝Usina=
三、解答题
0.05〜0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计
算判断他安装是否比较方便
2.（福建福州）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点
上，请按要求完成下列各题:
线段CD的长为
应的正弦函数值是
若E为BC中点，贝Utan/CAE的值是
3.（山东德州）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:
J3,AO10米.坡顶有一旗杆BC旗
杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米.试求旗杆BC的高度.
4.（浙江台州）如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角NCBD=12，为方便残疾人的轮
椅车通行，现准备把坡角降为5
5.
0,直径AB是河底线，弦CD
（河北省）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为
19是水位线，CD//AB且CD=24m,OELCD于点E已测得sin/DOE=
13
（1）求半径0D
（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干?
6.（江苏省）如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B,
点A到航线丨的距离为2km,点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处.现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点
A的正北方向的D处.
（1）求观测点B到航线丨的距离;
cos760.24,tan76°〜4.01）
7.（湖南娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上
垂挂一长为30米的宣传条幅AE,张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角
为50°,测得条幅底端E的仰角为30°.问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的
~0.64,tan50
地方进行测量？
（精确到整数米）（参考数据：
sin50°~0.77,COS50
〜1.20,sin30°=0.50,cos30°~0.87,tan30°~0.58）
8.（山东烟台）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）
.为了测量雕塑的
高度，小明在二楼找到一点C,利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为
30°,底部B点的俯
角为45°,小华在五楼找到一点D,利用三角板测得A点的俯角为60
（如图②）.若已知
CD为10米，请求出雕塑AB的高度.（结果精确到0.1
米，参考数据73=1.73）•
A
C
①
TfTTTTfTTTTTff
B②
9.（山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图
所放风筝的高度，进行了如下操作:
（1）在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角/CBD
（2）根据手中剩余线的长度算出风筝线BC的长度为70米;
（3）量出测倾器的高度AB=1.5米.
根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为
“.73）
米..（精确到
10.
（山东威海）如图，一巡逻艇航行至海面B处时，得知其正北方向上C处一渔船发生故
障.
已知港口A处在B处的北偏西37方向上，距B处20海里；C处在A处的北偏东65
方向上.求B,C之间的距离（结果精确到0.1海里）.
参考数据：
sin37f*0.60,cos37°£0.80,tan370^0.75,
sin6^^0.91,cos6^7.42,ta门65'止2.14.
C
11.（广东省）如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速
公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30。
和B城市的北偏西45°
的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问计划
修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么?
（参考数据:
y/3〜1.732,〜1.414）
12.（湖北襄樊）
为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海
域执行护航任务.
某天我护航舰正在某小岛A北偏西45。
并距该岛20海里的B处待命•位
于该岛正西方向
C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60。
的方向有我军护
航舰（如图所示）
，便发出紧急求救信号•我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海
里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置
C处？
（结果精确
到个位.参考数据：
迈~1.4,J3~1.7）
13.（湖南长沙）校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动•如图，他们在
河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北
方向行进550米到点C处，测得B在点C的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多
少米？
（结果保留整数，参考数据：
J2〜1.414，J3〜1.732）
【参考答案】
选择题
1.A
【解析】此题考查了锐角三角函数的应用
.由方位角可求得/BAC=30,/ABC=90，所以
AB
由/BAC的余弦定义得COS30°=—
AC
__5_
-AC
=毎，所以AC^gSkm.【点评】根据角度
23
判断三角形的形状，再选择适当的关系式
2.
【解析】过点B作BE垂直于AC,垂足为E,因为NBAD=30°,NBCD=60°，所以/ABC=
BE
/BAD=30，贝UBC=AC=50在Rt△BCE中，sin/BCD=一，所以小岛B到公路I的距离
BC
BE=BC-sin/BCD=50><亠=25^3（米）.【点评】遇到非直角三角形的问题，通常最垂
2
线构造直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答
.由52+122=132
填空题
1.■【解析】知识点：
勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线性质
2
知^ABC是直角三角形，AC是斜边，所以BD=1AC=l3cm.【点评】由数量关系判断三角形
22
的形状，这是数形结合思想的体现.学习时要注意把直角三角形所有的知识都归纳起来，从
a函数关系、计算器的操作.根
而达到综合运用知识的能力
2.3.5【解析】知识点：
等腰三角形三线合一的性质、坡角
据三线合一的性质可知，坡屋顶高度h把等腰三角形分成了两个全等的直角三角形，且有tana=h，所以h约为3.5米.【点评】利用三线合一的性质把等腰三角形转化为直角三
5
角形，利用相应的函数关系时解答.
1
3.1【解析】由题意可知，△ABC平移的距离是等腰直角三角形的斜边长，过点A'作AD
3
丄B'C于点D,设AD为a,根据等腰三角形三线合一的性质则有BC=BC=2a，所以BD=3a,
1
.【点评】准确地构造直角三角形是解答此题的关
3
A'd
在Rt△A'BD中，tanNA'BC'=
BD
3
5.—【解析】本题所考查的知识点有轴对称、直角三角形斜边的中线性质、等边对等角、
3
同角的余角相等、30°的正切函数值.由CM是Rt△ABC斜边的中线可得CM=AM则/A=/
ACM由折叠可知/ACMMDCM又/A+/B=/BCD+ZB=90°,则/A=/BCD所以/A=/ACM=
/DCMMBCD=30，因此tanA=tan30
73
—.【点评】把直角三角形与等腰三角形结合起
3
来，根据折叠的不变性转化角与角之间的关系，求出角的大小，函数值即可跃然纸上
解答题
结合电工身高计算其头顶到天花板的距离在0.05〜0.20m范围内即可判断安装方便；否则,
【答案】解：
过点A作AE丄BC于点E,过点D作DF丄BC于点F.
•/AB=AC,•CE=—BC=0.5.
2
AE
在Rt△ABC和Rt△DFC中，•••tan780=——
EC
•••AE=EC0.5x4.70=2.35.
□•AEDF
ACDC
DC3
DF^——•AE=-xAE是1.007.
AC7
1.007+1.78=2.787
李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为:
头顶与天花板的距离约为：
2.90-2.787俺0.11.
•••0.05<0.11<0.20,•••它安装比较方便.
【点评】将等腰三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题
2.【解析】按要求作图，因图中的三角形是格点三角形，所以线段的计算要用它与网格线
构成的直角三角形，通过勾股定理计算，然后计算有关锐角的函数值
锐角三角函数值的基础
【答案】
（1）如图;
J5
（3）/CAD—（或/ADC
5
（4）-
2
【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、
3.【解析】BC所在的三角形是斜三角形，所以它的高度无法直接求得，我们可以过点
AD的垂线，结合坡比这个条件计算CEAE,再计算BE,从而通过BE、CE的差求BC.
【答案】解：
延长BC交AD于E点，贝yCE1AD.
在Rt△.AEC中，AC=10,由坡比为1：
75可知：
/CAE=30°,
1•••CE=AC-sin30°=10X丄=5,
2
AE=AC-cos30°=10X亜=5翻.
2
在Rt△ABE中,BE=VAB2-AE2=-^妁2=11.
•/BE=BC+CE•-BC=BE—CE=11-5=6（米）.
答：
旗杆的高度为6米.
【点评】过合适的点作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理计算
线段的长
4.【解析】在Rt△BCD中，利用/CBD的正弦计算CD,利用/CBD的余弦计算BD在Rt△
ACD中，禾U用/A的正切计算AD,AD与BD的差则是A、B的距离.
【答案】解：
（1）在RUBCD中，CD=BCsin12。
止10x0.21=2.1（米）.
（2）在RUBCD中，BD=BCcos12°止10x0.98=9.8（米）；
CD21
在RUACD中，AD=止—止23.33（米）,
tan5°0.09
AB=AD-BD俺23.33-9.8=13.53止13.5（米）.
答：
坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米.
【点评】这是一道锐角三角函数的应用题，结合图形和已知条件，选择合适的函数关系式计
算线段的长度.
5.【解析】根据垂径定理可知DE的长度，在Rt△DOE中，利用/DOE的正弦求半径
OD再
利用勾股定理计算OE然后结合水面下降的速度得时间
【答案】解：
（1）vOELCD于点E,CD=24
1
•-ED=—CD=12.
2
在Rt△DOE中,
•••sin/DOE=ED』,
OD13
•••OD=13（m）.
（2）OE=Jod2—ED2
=山32—122=5.
•••将水排干需:
5-0.5=10（小时）.
【点评】在直角三角形中，已知一边和与它相关的函数关系式时用函数关系计算另一边,
知道两条边长时，则用勾股定理计算第三边
6.【解析】在Rt△OAD中，利用/A的余弦关系求OA便知OB的长度，然后在
Rt△BOE
中利用/OBE的余弦关系求BE;在Rt△OAD和Rt△BOE利用60。
的正切关系求出ODOE,
便得DE,利用路程和时间求速度
【答案】解：
（1）设AB与丨交于点0.
AD
在Rt△AOD中，NOAD=60°AD=2,OA==4.
cos60
又AB=10,,OB=AB-OA=6.
在Rt△BOE中，NOBE=NOAD=60°,BE=OBLcos60°=3（km）.
二观测点B到航线丨的距离为3km.
（2）在Rt△AOD中，OD=ADLJtan60°=2^3.
在Rt△BOE中，OE=BELjan60°=3/3.
二DE=OD+OE=573.
在Rt△CBE中,
NCBE=76°BE=3,CE=BELJtanNCBE=3tan76°.
二CD=CE-DE=3tan76。
-5^3宀3.38.
1CD
5min=—h,—=12CD=12x3.38心40.6（km/h）.
121
12
答：
该轮船航行的速度约为40.6km/h
【点评】根据已知的边和角，在相应的直角三角形中选择三角函数关系式计算线段的长度即
7.【解析】过D点作DF丄AB于F点，DF的长度便是张明同学是在离该单位办公楼水平距
【答案】解：
方法一：
过D点作DF丄AB于F点
在Rt△DEF中，设EF=x，贝UDF=73x
在Rt△ADF中，tan50°=30+x〜1.204分
烏x
30+x=J3XX1.20
x~27.8
■-DF=/3x48
答：
张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的.
方法二：
过点D作DF丄AB于F点
•/ae+ef=af
•••FD^48
答：
张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的.
【点评】作垂线构造直角三角形，根据锐角三角函数直接或间接计算所要求的距离
计算即可.
【答案】解：
过点C作CE丄AB于E.
「NBCE=45。
，二BE=CELtan45°-启,2
”AB=AE+BE=5+273=5（亦+1）〜6.8（米）
222
所以，雕塑AB的高度约为6.8米.
角三角函数关系把未知转化为已知，步步为营，水到渠成
9.【解析】首先利用三角函数关系计算DC的长度，加上侧倾器的高度AB便得风筝的高
度CE.
【答案】解：
在Rt△CBD中，sin60
BC702
•••CD=3573〜60.55
•••CE=CD+DE=CD+ABB2.1（米）
答：
风筝的高度CE约为62.1米.
【点评】把实际问题转化为数学问题一一直角三角形，这是锐角三角函数的应用
10.【解析】过点A作ADXBC于D,在Rt△ABD中利用正弦、余弦函数计算BDAD在Rt
/.BC=BD+CD〜5.61+16=21.61〜21.6（海里）答：
B,C之间的距离约为21.6海里.
【点评】把斜三角形转化为直角三角形，灵活利用锐角三角函数间接计算两点之间的距离
11.【解析】根据
“垂线段最短”的道理，利用解直角三角形的知识计算
P到公路AB的垂
直距离，再与半径
50km作比较.
【答案】解：
过点
P作PC丄AB,C是垂足,
则NAPC=30°,
NBPC=45°,
AC=PC・tan30°BC=PE・tan45°,
:
AC+BC=AB,
”PC・tan30°PC・tan45°=100,
［逅+1〕PC=100,
I3丿
/.PC=50（3-船严50x（3-1.732）〜63.4>50
答：
森林保护区的中心与直线AB的距离大于
升级会员 