完整版初一数学奥林匹克竞赛题含标准答案doc.docx

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初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）

初一奥数题一

甲多开支

100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？

S的末四位数字的和

是多少？

4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．

5．求和：

6．证明：

质数p除以30所得的余数一定不是合数．

8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：

x和y能被3整除．

9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延

长线与AB边交于P点．求证：

△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．

解答：

所以x=5000（元）．

所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．

3．因为

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a-b≥0，即

a≥b．即当b

≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．

4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则

有

由②有2x+y=20，③

由①有y=12-x．将之代入③得2x+12-x=20．

所以x=8（千米），于是y=4（千米）．

5．第n项为

所以

6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．

7．设

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由①式得（2p-1）（2q-1）=mpq，即

（4-m）pq+1=2（p+q）．

可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．

（1）若m=1时，有

解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．

（2）若m=2时，有

因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．

（3）若m=3时，有

解之得

故p＋q=8．

8．因为x2+xy+y2=（x-y）2+3xy．由题设，9｜（x2+xy＋y2），所以3｜（x2＋xy

＋y2），从而3｜（x-y）2．因为3是质数，故3｜（x-y）．进而9｜（x-y）2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3（x-y），便得3｜

y；若3｜y，同理可得，3｜x．

9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以

3/18

上述两式相加

另一方面，

S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．

因此只需证明

S△AND＝S△CNP＋S△DNP．

由于M，N分别为AC，BD的中点，所以

S△CNP=S△CPM-S△CMN

=S△APM-S△AMN

=S△ANP．

又S△DNP=S△BNP，所以

S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．

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初一奥数题二

1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．

2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用

提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天

就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？

最大利润是

多少元？

3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求

证：

DA⊥AB．

4．已知方程组

的解应为

一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为

求a2＋b2＋c2的值．

5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．

6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？

（一年期定期储蓄年利率为5.22％）

7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？

8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．

9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每

个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且

各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？

解答：

1．原式=2x（3x2-x）+3（3x2-x）-2x+2000=2x×1＋3×1-2x+2000=2003．

2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利（4＋x）元，但每天卖出为（100-10x）件．如果设每天获利为y元，则

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y＝（4＋x）（100-10x）=400＋100x-40x-10x2=-10（x2-6x＋9）＋90＋400=-10（x-3）2＋490．

所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°（图1－104），所以

∠ADC＋∠BCD=180°，

所以AD∥BC．①又因为AB⊥BC，②

由①，②AB⊥AD．

4．依题意有

所以a2+b2+c2=34．

5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜（｜y｜-2）+（｜y｜-2）=2，所以（｜x｜+1）（｜y｜-2）=2．

因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以

所以有

6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则

因为y=35000-x，

所以x（1＋0.0711×3）（1＋0.0522）2+（35000-x）（1+0.0786×5）=47761，

所以1.3433x＋48755-1.393x=47761，

所以0.0497x=994，

所以x=20000（元），y=35000-20000=15000（元）．

7．因为（k－1）x＝m-4，①

m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所

以方程组有无穷多组解．

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当k=1，m≠4时，①无解．

所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．

8．由题设方程得

z＝3m-y．

x=19-y-4（3m-y）-m=19+3y-13m．

原方程的通解为其中n，m取任意整数值．

9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则

消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．

代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．

x=20，y=8，z=12．

因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．

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初一奥数三

1．解关于x的方程

2．解方程

其中a＋b＋c≠0．

3．求（8x3-6x2+4x-7）3（2x5-3）2的展开式中各系数之和．

4．液一桶，倒出8升后用水灌，再倒出混合溶液4升，再用水灌，

的度72％，求桶的容量．

5．足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？

里[x]表示不超x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．

6．P是△ABC内一点．求：

P到△ABC三点的距离和与三角形周之比的取

范．

7．甲乙两人同从西两站相向步行，相会，甲比乙多行24千米，甲9

小到站，乙16小到西站，求两站距离．

8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，

下去，最后得到19，1997，1999，原来的三个数能否是2，2，2？

9．有n个数x1，x2，⋯，xn，其中每一个不是+1就是-1，且

求：

n是4的倍数．

解答：

1．化得6（a-1）x=3-6b+4ab，当a≠1，

2．将原方程形

由此可解得x=a＋b+c．

3．当x=1，（8-6+4-7）3（2-1）2=1．即所求展开式中各系数之和1．

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依题意得

去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20）（x-40）=0，

5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋

0.23x]=-2x+[0.23x]．

由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，所以[0.23x]=0．

又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，

共4个．

6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC，①

延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②

由①，②BC＜PB＋PC＜AB+AC，③

同理AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④

AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤

③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2（PA＋PB＋PC）＜2（AB＋BC＋CA）．

所以

7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离

为（9x+16y）千

米．依题意得

由①得16y2=9x2，③

9/18

由②得16y=24＋9x，将之代入③得

即（24＋9x）2=（12x）2．解之得

于是

所以两站距离为9×8＋16×6=168（千米）．

8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数（数值可以改变，但奇偶性不变），所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．

。

又因为

所以，k是偶数，从而n是4的倍数．

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初一奥数四

1．已知a，b，c，d都是正数，并且a＋d＜a，c＋d＜b．

求：

ac＋bd＜ab．

2．已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍．因市化，乙种商品提价

的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍．价后，甲乙两种商品价之和比原

价之和提高了2％，求乙种商品提价的百分数．

3．在角三角形ABC中，三个内角都是数．求三角形的三个内角．

4．某工厂三年划中，每年量增相同，若第三年比原划多生1000台，

那么每年比上一年增的百分数就相同，而且第三年的量恰原划三年

量的一半，求原划每年各生多少台？

z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜，

求z的最大与最小．

8．从1到500的自然数中，有多少个数出

1或5？

9．从19，20，21，⋯，9880个数中，取两个不同的数，使它的和偶

数的法有多少种？

解答：

1．由称性，不妨b≤a，ac＋bd≤ac＋ad=a（c＋d）＜ab．

2．乙种商品原价x元，甲种商品的原价1.5x元．甲商品降

价y％，乙商品提价2y％．依意有1.5x（1-y％）+x（1＋2y％）=（1.5x＋x）（1

＋2％），

化得1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02．所以y=0.1=10％，

所以甲种商品降价10％，乙种商品提价20％．

3．因∠A+∠B＋∠C=180°，所以∠A，∠B，∠C中必有偶数．唯一的偶数2，所以∠C=2°．所以∠A+∠B=178°．由于需∠A，∠B奇数，的解不唯一，如

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4．设每年增产d千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d，a，a

＋d依题意有

解之得

所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台．

不等式组：

所以x＞2；

无解．

6．设原式为S，则

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所以

又

＜0.112-0.001=0.111．

因

所以=0.105．

7．由｜x｜≤1，｜y｜≤1得-1≤x≤1，-1≤y≤1．

所以y＋1≥0，x-2y+4≥-1-2×1+4=1＞0．

所以z=｜x+y｜+（y+1）+（x-2y+4）=｜x+y｜＋x-y＋5．

（1）当x+y+≤0，z=-（x+y）＋x-y+5=5-2y．

由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7，所以，z的最小3、最大7．

（2）当x+y＞0，z=（x＋y）+（x-y+5）=2x+5．

由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7，所以z的最小3、最大7．

由

（1），

（2）知，z的最小3，最大7．

8．百位上数字只是1的数有100，101，⋯，199共100个数；十位上数字

是1或5的（其百位上不1）有2×3×10=60（个）．个位上出1或5的（其百位和十位上都不是1或5）有2×3×8=48（个）．再加上500个数，所以，足意的数共有

100+60+48+1=209（个）．

9．从19到98共80个不同的整数，其中有40个奇数，40个偶数．第一

个数可以任，有

80种法．第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他的

39

个偶数中取，有

39种法．同理，第一个数如果是奇数，第二个数也有

39

种法，但第一个数a，第二个b与第一个b，第二个a是同一种法，

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所以总的选法应该折半，即共有

种选法．

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初一奥数五

1．一任，若每天超2件，可提前划3天完工，若每天超4件，

可提前5天完工，求工作的件数和原划完工所用的．

2．已知两列数

2，5，8，11，14，17，⋯，2＋（200-1）×3，

5，9，13，17，21，25，⋯，5＋（200-1）×4，

它都有200，两列数中相同的数有多少？

3．求x3-3px＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的条件．

4．明不等式

5．若两个三角形有一个角相等．求：

两个三角形的面之比等于

此角的两乘之比．

6．已知（x-1）2除多式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1，求a，b

的．

7．今有度分1，2，3，⋯，9的段各一条，可用多少种不同方法，

从中用若干条，使它能成一个正方形？

8．平面上有10条直，其中4条是互相平行的．：

10条直最多能

把平面分成多少部分？

9．整数，周15的三角形有多少个？

解答：

1．每天划完成x件，划完工用的y天，件数xy件．依

意得

解之得

件数xy=8×15=120（件），即划用15天完工，工作的件数120件．

2．第一列数中第n表示2＋（n-1）×3，第二列数中第m表示5＋（m-1）×4．要使2＋（n-1）×3＝5+（m-1）×4．

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所以

因1≤n≤200，所以

所以m=1，4，7，10，⋯，148共50．

3．

x3-3px+2q被x2＋2ax＋a2除的余式3（a2-p）x＋2（q＋a3），

所以所求的条件

4．令

因

所以

5．如1-106（a），（b）所示．△ABC与△FDE中，

∠A=∠D．将△DEF移至△ABC中，使∠A与∠D重合，DE=AE＇，DF=AF＇，F＇B．此，△AE＇F＇的面等于三角形DEF的面．

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①×②得

6．不妨设商式为x2+α·x＋β．由已知有

x4＋ax3-3x2＋bx＋3

=（x-1）2（x2+α·x＋β）+（x＋1）

=（x2-2x＋1）（x2＋α·x＋β）＋x＋1

=x4+（α-2）x3+（1-2α＋β）x2＋（1＋α-2β）x＋β+1．

比较等号两端同次项的系数，应该有

只须解出

所以a=1，b=0即为所求．

7．因为

所以正方形的边长≤11．

下面按正方形边的长度分类枚举：

（1）边长为11：

9＋2=8+3=7＋4=6+5，

可得1种选法．

（2）边长为10：

9＋1=8＋2=7＋3=6+4，

可得1种选法．

（3）边长为9：

9=8+1=7+2=6+3=5+4，

可得5种选法．

（4）边长为8：

8=7+1=6+2=5+3，

可得1种选法．

（5）边长为7：

7=6+1=5＋2=4＋3，

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可得1种选法．

（6）边长≤6时，无法选择．综上所述，共有1+1+5+1+1=9

种选法组成正方形．

8．先看6条不平行的直线，它们最多将平面分成

2+2＋3+4+5＋6=22个部分．

现在加入平行线．加入第1条平行线，它与前面的6条直线最多有6个交点，

它被分成7段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了7个部分．加入第2，

第3和第4条平行线也是如此，即每加入一条平行线，最多增加7个部分．因此，这些直最多将平面分成

22+7×4=50

个部分．

9．不妨设三角形的三边长a，b，c满足a≥b≥c．由b＋c＞a，a＋b＋c=15，a≥b≥c可得，15=a＋（b＋c）＞2a，所以a≤7．又15=a+b＋c≤3a，故a≥5．于

是a=5，6，7．当a=5时，b＋c=10，故b=c=5；当a=b时，b＋c=9．于是b=6，

c=3，或b=5，c=4；当a=7时，b+c=8，于是b=7，c=1，或b=6，c=2，或b=5，

c=3，或b=4，c=4．

所以，满足题意的三角形共有7个．

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