最新高中数学必修一集合与集合的关系知识点总结与练习优秀名师资料.docx
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最新高中数学必修一集合与集合的关系知识点总结与练习优秀名师资料
高中数学必修一集合与集合的关系知识点总结与练习
1.2子集、全集、补集
一、课本扫描
二、基本概念
1、子集的概念
A与B对于两个集合
（1）如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或说集合B
AB,BA,包含集合A，记作或，这时，集合A叫做集合B的子集。
ABAB,,且
（2）如果，我们就说集合A是集合B的真子集，记作AB。
AB,BA,（3）如果同时，那么AB,。
AB子集的概念是由讨论集合与集合间的关系引出的，两个集合与之间的关系如下:
ABABBA,,,,且,AB,,,ABAB,,,,,
ABØ,
ABØBAÙABBA其中记号（或）表示集合不包含于集合（或者集合不包含集合）。
2、子集具有以下性质:
AA,?
，即任何一个集合都是它本身的子集。
ABBA,,,AB,?
如果，那么。
ABBC,,,AC,?
如果，那么。
ABBC刎,ACØ?
如果，那么。
?
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3、关于有限集合子集个数的讨论。
n2?
个元素的集合有个子集。
n
n21,?
个元素的集合有个真子集。
n
n21,?
个元素的集合有个非空子集。
n
n22,?
个元素的集合有个非空真子集。
n
4、全集与补集
AA设S是一个集合，是S的一个子集，由S中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做S中的子A集的补集，记作用数学式子表示为:
CAs
CAxxSxA,,,且。
,S
SSU如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，我们称集合为全集，记作。
5、全集与补集的性质
（1），
（2），（3）AUCAU,,,CCAA（）,CUCU,,,,,UUUUU
6、关于全集与补集的理解
（1）全集具有相对性，是相对于我们所研究的问题而言的一个概念。
如:
小学数学研究的问题常在有
理数集内，则有理数集是全集。
初中代数研究的问题常在实数集内，则实数集就是全集。
补集是以全集为前提加以定义的，因此它们是相互依存不可分离的两个概念。
如:
UAB,,,1,2,3,4,1,2，则CACB,,2,3,4,1,3,4。
,,,,,,,,,UU
（2）用数学的三种语言互泽表示全集与补集:
三、基本题型
例1、判断下列关系是否正确
aa,1,2,33,2,1,00,,,0
（1）;
（2）;（3）,,0;（4）;（5）;（6）,,,,,,,,,,,,,,
15,,xx,,0,,0,1,2;（7）;（8）,,,,,,,,
aa,解:
（1）任何一个集合是它本身的子集，因此，正确;,,,,
（2）两个集合中的元素相同，故用“=”号正确;
（3）空集是任何非空集合的真子集，正确;
000,（4）中只有一个元素0，正确;,,,,
0（5）,与是两个集合，不能用连接;,,,
0（6）,中没有任何元素，而中有一个元素，二者不相等;,,
（7）空集是任何非空集合的真子集，正确;
15,15,15,？
,？
,xxxx（8）正确。
,,,,,
由以上分析可知:
（1）
（2）（3）（4）（7）（8）正确，（5）（6）错误。
M1,21,2,3,4,5,,MM例2、已知集合满足，则这样的集合有多少个,,,,,
M分析:
由已知集合中至少含有1，2两个元素，至多含有1，2，3，4，5五个元素，故满足条件的
M3,4,5集合的个数是的子集个数。
,
3,4,5,3,4,3,5,4,5,3,4,53,4,5,解:
因集合的子集有，共8个，故满足,,,,,,,,,,,,,,,,
M条件的集合共有8个。
QP3,4,5,评注:
本题易丢掉或两个集合，若集合中有个元素，集合中有个元素，且mn,,
nm,ZP,QPZQ,,，则满足的集合Z共有个。
2BA,例3、设，若，求实数。
AxxxBxax,,,,,,,230,10a,,,,
BA,分析:
，即B是A的子集，表明集合B的元素都是A的元素。
2BA,解:
，?
，?
方程无解或其解为3或,1。
ax,,10Axxx,,,,,,2303,1,,,,
111或或，或或。
？
a0？
a0a,,1,3a,,,1a3a
BA,评注:
因为A是二元素集，而B的元素最多一个，所以由可知，B是A的真子集，所以B
有三种可能，在做题过程中很容易丢掉的情况。
B,,
2MabNab,,2,,,2,2,ab,例4、已知，且，求的值。
MN,,,,,
分析:
由可知，两个集合中的元素应该完全相同，由此，可用集合中元素的性质解题。
MN,
2aa,2,,,ab,,解:
根据集合中元素的无序性，有:
或,,2bbba,,;2.,,
1,a,,,aa,,0,0,,,,4解方程组得或或,,,bb,,0;1;1,,,b,.,,2
1,a,,a,0,,4再根据集合中元素的互异性，得或。
,1b,1,,b,,,2
评注:
集合中元素的互异性在解决此类问题时至关重要，要引起足够的重视。
U（U,,）MNP,,MP例5、设集合以及集合，且，则与的关系MCNCCP,,（）UUU是。
分析:
本题主要考查全集与补集的概念，可选用适当的方法解题。
MP,解法1:
利用补集的性质，，故。
MCNCCPP,,,（）UUU
解法2:
由图2-1可知。
图2-1
评注:
对于较抽象的集合之间的关系，一般用韦恩图比较简单，可达到变抽象为直观的目的。
22Paa,,,2,2Ua,,2,0,3CP,,1例6、已知全集，子集，且，求。
a,,,,,,U
分析:
要注意到。
（）,CPUPU,,U
2,31,,,,a,解:
由补集定义知:
解得:
。
a,2,2aa,,,20,,
四、A级训练
1、列举集合1,2,3的所有子集:
,
2、集合0与空集的关系为:
,,
1,,ac,0,1,,1,,3、若，则，，。
b,a,c,,,,,b,,
4、下列集合中，只有一个子集的集合是（）
23A、B、Axx,,0Bxx,,0,,,,
23C、D、Cxx,,0Dxx,,0,,,,
QU,1,2,0CQ,25、已知全集，且，则集合的真子集共有个。
,,,U
UMN;,6、已知全集是的非空子集，若，则有（）UCMN,U
A、B、C、D、MN,CMCN,MCN,MCN,UUUU五、发散思维
AxxmnmnZ,,，,1228,、BxxkkZ,,,4,AB,例1、已知，，求证。
,,,
xmnmn,，,，12284（37）证明:
（1）任取xA,，则,由mnZ、,知37mnZ，,，
AB,？
xB，即。
xkkk,,,，412
（2）28,,？
2,kZxABA,
（2）任取xB,，则，由kZ,知，即。
AB,由
（1）
（2）可知。
22例2、已知集合，求满足AxxxBxxxxAPB,,，,,，，,,,,340,
（1）（34）0,,,,,
P条件的集合。
22？
,A解:
对于方程无实根，。
xxxx,，,,,,,,,？
，,340,91670,340
2APB,,B,,,4,1,1P，即。
，?
集合为
（1）（34）0,1,1,4xxxx，，,,？
,,,,,,,,,,,,4,1,1,4,1,4,1,1,1,4,1,1。
,,,,,,,,,,,,,
AxxxBxxp,,,,,，,1,2,40或AB,p例3、已知集合，当时，求的范围。
,,,
pp,,AB,解:
，，?
由图2-2得40,,xpxBxx，,？
,？
,,,,44,,
p。
,,？
1,4p4
图2-2
评注:
在本书内容中，常使用数轴，韦恩图这两类图形，在与不等式有关问题中，必须画出数轴，有
利于快速解题。
32SxxxAx,，，,,1,3,32,1,21例4、已知全集，如果CA,0，则这样的实数是否x,,,,,,S存在,若存在，求出;若不存在，说明理由。
x
322？
，，,xxx320解:
CAS,？
0,0且。
，则，即0,Axxx（32）0，，,,,S
xxxx
（1）
（2）0,0，，,？
，或，或。
x,,1x,,2
211x,,A当时，，则中有重复元素，故;x,0x,0
213,1,3xAS,,,,当时，;x,,1,,
215,1,5xAS,,,,当时，，故。
x,,2x,,2,,
由以上可知，所求的实数存在，此时，。
x,,1x
六、B级训练
2221、，AxyxxByyxxCxxx,,,，,,,，,,，,21,21,210,,,,,,
222，DxxxExyyxxFxyxxyR,,，,,,,，,,，,,210,（,）21,（,）210,,,,,,,
则下列结论正确的是（）
ABCD,,,A、B、DCBA,,,
EF,ABE,,C、D、
MN,2、设U是全集，NU,且，则下列各式成立的是（）
A、B、CMCN,CMN,UUU
C、D、CMCN,CNM,UUU
URAxaxbCAxxx,,,,,,,,,4,3或3、设，则，b,。
a,,,,,U
24、若集合，且AB,，则实数的取值范围是。
AxxaxB,，，,,10,1,2a,,,,
七、综合应用与提高
2BA,例1、
（1）设，若，求实数组成的集合。
AxxxBxax,,，,,,,8150,10a,,,,
AxxBxmxm,,,,,，,,,25121BA,
（2）设，若，求实数的取值范围。
m,,,,
分析:
以上两题，虽然一个是等式，一个是不等式，但殊途同归，解题方法一样，由于B可能为空集，
BA,且时，仍然有成立，因此，都要分，两种情况讨论。
B,,B,,B,,
2解:
（1），或，，?
时，？
,ABA3,5,x,5B,,xxx,，,？
8150,3？
,
1BA,。
?
时，由知，或。
将，或代入，得，a,0B,,3,B5,Bx,3x,5ax,,10a,3
1或。
5
11,,0,,由?
、?
可知，由组成的集合为。
a,,35,,
m，,,12,,
BA,2）当时，如图2-3所示，由得解得。
（B,,23,,m215,m,,,
mm，,,121,,
图2-3
当时，，解得，由以上可得。
B,,mm，,,121m,2m,3
BA,BA评注:
（1）说明集合的任何一个元素都属于。
B
（2）集合可能为，这一点在解题时常常容易忽视，从而致错，在解题时要特别注意这个“陷阱”。
A,1,2,3例2、已知集合。
,
A
（1）写出的所有子集;
A
（2）求的所有子集的元素之和;
BAB（3）若以这些子集为元素组成集合，判断与的关系。
分析:
第
（1）问可以按子集中元素的个数分别为0个、1个、2个、3个，进行分类讨论，写出所有
子集。
第
（2）问，观察所有子集的结构特点，求出所有元素的和。
BAB第（3）问，用列举法写出集合，则、的关系就会立即显露出来。
A,,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3解:
（1）的所有子集为。
,,,,,,,,,,,,,
（2）?
元素1出现在四个子集中，元素2也分别出现在四个子集中，元素3同样出现在四个子集中。
（123）424，，，,A?
的所有子集的元素之和为。
B,,,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3AAB,？
1,2,3,（3），。
,,,,,,,,,,,,,,,,,
八、C级训练
AxkxkBxxAB,，,,,,,,12,13,1、已知，求实数k的取值范围。
,,,
2AxxByyxaaRxA,,,,,,,,,12,2,,2、已知集合，，CzzxxA,,,,,,,,,,
CB,是否存在实数，使,若存在，求出的范围;若不存在，说明理由。
aa
九、高考零距离
1、（2002?
全国）设集合
A级训练答案及解析:
1、解:
含有0个元素的子集有:
;,
含有1个元素的子集有:
1,2,3;,,,,,,
含有2个元素有子集有:
1,2,2,3,1,3;,,,,,,
含有3个元素的子集有:
1,2,3;?
共有8个子集。
,
2、解:
由于空集是任何非空集事的真子集，因此。
,0,,
c,0,a,,1,,1,,3、解:
由已知即,1b,1,,b,,c,0,a,,1,,
ABCD,,,,,0,,,非正数负数4、C，解:
,,,,,
Q,1,01,0,,5、解:
，因此有共3个真子集。
,,,,,6、解:
若，则;若，则;所以:
，选A。
NCM,CNM,NCM,MCN,MCN,UUUUU
B级训练解析及答案:
221、解析:
的含义是:
符合关系的的值的集合，显然，可yxx,,，21Axyxx,,,，21xx,,
AR,取任意实数，所以;
222的含义是:
符合的y的集合，则yxxx,,，,,,21
（1）0Byyxx,,,，21,,
Byy,,,0非负实数;,,,,
22xx,，,210C,1的含义是:
方程的根的集合，解得x,1，所以;Cxxx,,，,210,,,,
22xx,，,210的含义是:
不等式的解集，而Dxxx,,，,210,,
22D,,，这样的不存在，所以;xxx,，,,,21
（1）0x
22的含义是:
抛物线上的所有点;yxx,,，21Exyyxx,,,，（,）21,,
222xx,，,210的含义是:
，即，
（1）0,1xx,,？
FxyxxyR,,，,,（,）210,,,
xyR,,1（）表示直线上的点。
答案:
B
2、解析:
作韦恩图如图2-4所示，可知答案为A。
图2-4
答案:
A
CCAxx（）34,,,3、解析:
，而。
ACCAab,？
,（）,3,4,,UUUU
答案:
3，4
2xax，，,104、解析:
BAB,,1,2,，？
A可以为,,1,2;当时，方程无解，A,,,,,,,,
22,,,,a40xax，，,10则，解得;当A,1时，是方程式的根，代入，,,,22ax,1,,
得;a,,2
52xax，，,10当A,2时，是方程式的根，代入，得。
x,2a,,,,2
522xax，，,10又?
方程有且仅有一个实根时，舍去，仅,,,,？
,aa40,2,？
,a2取，由以上可知。
a,,2,,,22a
2,,,bac4评注:
遇到一元二次方程的根的问题时，要注意明确判别式的正负情况，即审清题意，
先看方程是否有实根。
答案:
,,22a
C级训练答案及解析
k，,11,,
AB,1、解:
，？
,A时，如图2-5所示，有1123,，,,kk，即21,kk,，,
23,k,,
图2-5
k,0,
化简得k,1,,
3,k,.,2
3由图2-6知，使得不等式组同时成立的的范围是。
k1,,k2
图2-6
（3）相离:
直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.3AB,当时，有，解得。
由以上可知，当，或时，都有。
A,,kk，,12k,1k,11,,k2
3由图2-7可见，这两部分在数轴上能连接起来，因此。
k,2
③d>r<===>直线L和⊙O相离.图2-7
22、解:
。
,,？
,,,,,,,12,224,04xaxaax
ByyxaaRxAyaya,,,,,,,,,,,2,,24即;,,,,
2CB,，，?
由图2-8得CzzxxAzz,,,,,,,04,,,,
1、第二单元“观察物体”。
学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。
图2-8
,,20,aa,,2,,,aaa,,,,20CB,即。
即存在实数，当时，。
a？
,,20a,,,,44,,,aa,0.,,
评注:
（1）明确集合都是数集，是一定范围内的数组成的集合。
ABC、、
AA
（2）集合都与集合有联系，都受集合影响。
BC、
yxay,,2,B（3）以整体的观点来处理问题，集合是由元素y组成的，而就是一个整体，即视
2x2xa,为一个整体，同理，视为一个整体，就是z。
y
1、第二单元“观察物体”。
学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。
2x（4）由于集合BC、中都有xA,，因此，就间接地给出了2xa,和的取值范围。
（5）集合BC、都是实数的范围问题，因此，可以画数轴，在同一个数轴上找出二者的联系，列出不等式组，取使得两个不等式同时成立的的范围。
a
33.12—3.18加与减
（一）3P13-17九、高考零距离
9、向40分钟要质量，提高课堂效率。
,,,k1k11、（2002?
全国）设集合M,xx,，,N,xx,，，则（）,,,,2442,,,,
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
M,NM:
N,,M,NM,NA、B、C、D、
分析:
本题涉及集合的相等及集合之间的关系，解题的关键是理解奇偶数的概念，整数的整除及运算性质。
,,,2k，1k，2解:
M,xx,,N,xx,，2k，1和2k，2分别表示所有奇数和所有整,,,,44,,,,
周次日期教学内容M,N数，故有，选B。
（二）教学难点2,,,,U,,,2,3,a，2a,3,A,2a,1,2,C:
A,52、（2005?
黑龙江）设全集，求实数的值。
a
分析:
解决本题的关键是理解全集、补集的概念，同时注意元素的互异性。
（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
2a，2a,3,52a,1,3a,2解:
，故必有且，解得。
,？
C:
A,5
答案:
a,2
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