数学复习让我们一起领略反比例函数的神奇Word格式文档下载.docx

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如图，的顶点（，），双曲线经过点、，当以、、为顶点的三角形与的相似时，则

.1.常规性解法：

通过设元，例如设（，），则（，），再根据条列方程：

（1）利用、、或列方程；

（2）利用列方程；

（3）利用“一线三等角”模型、和列方程.实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具

备了一定的技巧性.

但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！

2.挖掘隐含性质，巧解此题

（1）实际上，此图中含有一些很重要的性质：

过点作轴于，连接，直线分别交坐标轴于点、.

则有①∥；

②，；

③，.基于以上这些性质，有如下解法.

（2）我的第一种解法（整体思想）：

由，可得，，即，于是，，……（3）我一个同事的解法（斜边转直比）：

由，可得，，转为横比，，因此，……（4）我一个学生的解法（斜等转直等）：

由得，则，……（5）我的第二种解法（平行导角度）：

由∥得，，于是，……（6）下面我们要着重解决两事：

①上述性质是否永远成立？

证明？

②解题技巧除上述方法：

整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将

一、一介绍.

三、探究性质

1.如图，双曲线与矩形边交于点、，直线交坐标轴于点、.

①如图1，若，则

；

②如图2，若，则；

③如图3，若，则，直线与的位置关系是，与的大小关系.

图1

图2

图32.①如图1，双曲线与直线交于点、，轴于点，轴于点，请探究直线与的位置关系，线段与的大小关系.②如图2，双曲线与直线交于点、，轴于，轴于，

轴于，轴于，请探究直线与、的位置关系，以及

线段与的大小关系.

图2四、最常见思想方法（斜转直）：

斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长

1.如图，直线反比例函数（）图象交直线

于点、，且，

则的值为

.

（1）常规方法（斜长转直长）：

，则，可设（，），则（，），列方程解决；

（2）口算巧解（斜边转直比）：

由，得，，转为横比得，，则，，……2.同类变式题：

如图，直线交坐标轴于点、，

双曲线交直线于点、.

若，则的值为

3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，20XX/3/29）

如图，点（，），，在双曲线上，，分别交，轴于，，分别交，轴于，.

（1）求的面积；

（2）求证：

.4.原创清新小题和近年的中考题：

（1）如图1，，的面积为，则的值为.

（2）如图2，点，在双曲线上运动，轴，.①在运动过程中，的面积是不是定值？

答：

②若，且是正三角形，则点的坐标为.（3）如图3，□中，，，双曲线经过点和中点，则该双曲线的解析式为.（4）如图4，直线与分别与双曲线交于点、，，则的值为

.图1图2

图3

图4（5）（十堰）如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且，

.（6）如图6，双曲线与直线交于点、.①（原创、铺垫②）若、，且，则

②（常州模拟·

改编）若，且，则；

③（杭州模拟·

改编）若，且，则.（7）（据上题改编）如图7，为双曲线上的动点，过点作矩形，直线的解析式为，交矩形边于，，则.图5

图6

图7

五、面积比、边比互转

1.①（原创、铺垫）如图1①，直线与双曲线交于点，为双曲线上一点，

射线交轴于点，若的面积为，则点坐标为

②（成都）如图1②，直线与双曲线交于点、，为双曲线上一点，

.2.（无锡）如图2，轴，∥轴，双曲线过点、，且，

已知的面积为，则的值为

.图1①

图1②

图33.（宁波）如图3，正的顶点在双曲线上，双曲线与边交于点，连接，则的面积为.4.（丽水）如图4，双曲线与直线交于点、，轴，设点的

横坐标为.

①用含的式子表示

②若与四边形的面积和为，则.5.如图5，双曲线与直线交于点、.

①（常州模拟）若，且，则；

②（改编自①）若、，且，则

.图3

图4

图56.如图6，轴，为中点，延长到，延长到，若双曲线恰好经过点，，且，则.7.如图7，双曲线过点，，过点，，若，均与轴平行，，，且它们之间的距离长为，则.8.如图8，直线交双曲线于点，，若，则.图6

图89.如图，点在双曲线上，轴，，延长线交轴于，若的面积为，则的值为.10.如图，点、在双曲线上，轴，轴，垂足、分别在轴的

正半轴和负半轴上，，，是的中点，若面积是

的倍，则的值为

.六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例

1.如图1，中，，，双曲线经过点、，且点的

纵坐标为，则的值为.

（1）剖析：

对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“”形全等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图2，得.

（2）后感：

我们可以发现，矩形恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧合，还是一种必然的存在呢？

这有待于我们进一步探究…（3）探究（20XX临沭模拟）：

如图3，双曲线与矩形的边交于点，，若设点的坐标为（，），且有，，则.图1

图32.类似题：

①（20XX临海模拟·

填空压轴题）如图，，，双曲线经过点，双曲线经过点，已知点的纵坐标为，则，点的坐标为.②（个人原创）如图2，中，，，双曲线经过点，双曲线经过点，且点的纵坐标为，则的值为.3.难题展示（常州·

于新华老师原创题）

（1）如图1，点（，），均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴垂线，两垂线交于点，垂足分别为，，将沿翻折，点恰好落在轴上的点处.求点的坐标.

（2）如图2，点（，），均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴垂线，两垂线交于点，垂足分别为，，将沿翻折，点恰好落在轴上的点处.求点的坐标.图1

图24.如图，矩形的边的解析式为，顶点，在双曲线上.①若，则点的坐标为；

②连接，，若是等边三角形，则.后感：

若能发现，本题将更简单！

拓展：

如图，正方形的顶点、在双曲

线上，、在双曲线上，

则正方形的面积为

.5.（20XX湖州模拟）如图1，矩形的顶点、在

双曲线上，若点（，），则点的坐标为

.6.如图2，矩形中，，点（，），点，在双曲线上，若为中点，则的值为.图1

图27.①如图1，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰直角，则点也在一条双曲线上运动，则该双曲线的解析式为；

②如图2，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰，则点也在一条双曲线上运动，若，则该双曲线解析式为；

③如图3，点，在双曲线上运动，以为底作等腰，点在另一双曲线上运动，若，请用，表示.图1

图3七、平行导角度，角度导比例

1.如图，点，在双曲线上，经过原点，过点作∥轴，连接

并延长，交双曲线于点.

①求证：

②求的值.根据本题的发现，改编了一个清新小题：

如图，点，在双曲线上，经过原点，过点的直线交该双曲线于点，分别交轴，轴于点，，若，.求的值.2.如图，直线交在双曲线于点、，经过原点，过作

交轴于点，连接并延长，交双曲线于点.

求的值.

3.如图，双曲线与过原点的直线交于点、，点在双曲线上，直线、分别交轴于点、.

若设，，则

.4.如图，，双曲线经过点、、，求证：

.

八、纯面积推导

1.

如图，点（，），，在双曲线上，，分别交，轴于，，

分别交，轴于，.求证：

.（此方法感谢江苏·

于新华老师的指导！

）2.（20XX菏泽）如图，，均是等腰直角三角形，双曲线经过点，交线段与点，求与的面积之差.后感：

①题中条“，均是等腰直角三角形”可改变？

②写出，，的关系：

.3.（十堰）如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且，

.4.（常州）如图1，，双曲线经过点、，且，求的值；

5.如图2，，双曲线经过点、、，求证：

.图1

图2