小学奥数16数阵图Word格式文档下载.doc

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解：

已给出的五个数字和是：

1＋2＋3＋4＋5＝15

题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。

20－15＝5，怎样才能增加5呢？

因为中心的一个数是个重复使用数。

只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。

确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。

例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

设中心数为a，则a被重复使用了2次。

即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。

（28＋2a）÷

3＝28÷

3＋2a÷

3

其中28÷

3＝9…余1，所以2a÷

3应余2。

由此，便可推得a只能是1、4、7三数。

当a＝1时，28＋2a＝3030÷

3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。

同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。

例3将从1开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等。

图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

设中心数为a，a被重复使用了两次，即：

1＋2＋3＋……＋10＋2a＝55＋2a，55＋2a应能被3整除。

（55＋2a）÷

3＝55÷

其中，55÷

3＝18余1，所以2a÷

由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。

在a＝1时，55＋2a＝57，57÷

3＝19，即中心数若填1，各条线上的数字和应为19。

但是除掉中心数1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：

9＋7＋2＝18，8＋6＋4＝18，7＋5＋3＝15所以，a不能填1。

经试验，a＝7时，余下的数组合为12（19－7＝12），也不能满足条件。

因此，确定a只能填4。

例4将1～9九个数字，填入下图各○中，使纵、横两条线上的数字和相等。

1～9九个数字和是：

1＋2＋3＋……＋9＝5×

9＝45，把45平分成两份：

45÷

2＝22余1。

这就是说，若使每行数字和为23，则需把1重复加一次，即中心数填1；

若使数字和为24，中心数应填3……。

总之，因45÷

2余数是1，只能使1、3、5、7、9各个奇数重复使用，才有可能使横、竖行的数字和相等。

因而，此题可有多种解法。

但中心数必须是9以内的奇数。

例5将1～11十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。

图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数，每条线上的数字和才能相等。

1～11十一个数字和为66，66÷

5＝13余1，必须再增加4，可使各线上数字和为14。

共五条线，中心数重复使用4次，填1恰符合条件。

此题的基本解法是：

中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数1，所得的和必须是5的倍数。

据此，中心数填6、11均可得解。

1.10.5.3封闭型数阵

例1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12。

要使三角形每边上的数字和都是12，则三条边的数字和便是12×

3＝36，而2＋3＋4＋5＋6＋7＝27，36与27相差9。

三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9，才能符合条件。

确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！

这题还可有许多解法，上图只是其中一种。

例2把1～9九个数字，分别填入下图○中，使每边上四个数的和都是21。

要使三角形每条边上的数字和是21，则三条边的数字和便是：

21×

3＝63。

而1～9九个数字的和只有45。

45比63少18，只有使三角形三个顶角的数字和为18，重复使用两次，才能使总和增加18。

所以应确定顶点的三个数。

下面是填法中的一种。

确定了顶角的数后，其他各数便容易了。

例3下图是四个互相联系的三角形。

把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数字的和都是15。

每个三角形数字和都是15，四个三角形的数字和便是：

15×

4＝60，而1～9九个数字和只有45。

45比60少15。

怎样才能使它增加15呢？

靠数字重复使用才能解决。

中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字都被重复使用两次。

因此，只要使中间的一个三角形数字和为15，便可以符合条件。

因此，它的三个顶角数字，可以分别为：

1、9、52、8、52、7、64、6、5及2、9、43、8、43、7、58、6、1。

把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。

前页下图是其中的一种。

例4把2～10九个数字，分别填入下图○中，使每条直线上的三个数和为15。

2～10九个数字的和为：

2＋3＋4＋……＋10＝6×

9＝54

若排成每个三角形每边的数字和都是15，图中含有每边都三个数字的三角形有两个，共六条边，数字总和应是15×

6＝90。

54比90少36。

在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两个三角形。

所以，每个三角形三个顶角的数和应为：

36÷

2＝18。

这样，便可以先填外三角形三个顶角的数。

三个数和为18的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一组。

填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角的数已知，其他各数便容易填写了。

上面是填法中的一种。

例5把1～10十个数字，分别填入下图○中，使每个三角形三个顶角的三个数字和相等。

图中有三个三角形，顶角数字互不联系，中心的一个数独立于各个三角形之外。

因此，要使各三角形顶角的数字和相等。

去掉中心数后，数字总和应是3的倍数，而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。

如：

以10为中心数，可填为如上图样。

例6将1～12分别填入下图○中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。

图中共有四个三角形，共有六个边。

1～12的数字和是78。

每条边上的数字和应为：

78÷

6＝13。

这样，我们可以推想：

因为内部的三条边都被重复计算两次，只要每个数增加1，十二个数的总和便增加6，它们同样可以填出来，因而，本题的解法是很多的。

7、把九个数分别填入下图○中，使每条直线上的三个数的和都相等。

九个分数排成方阵，使纵、横、对角线的三个数和相等，这已经符合幻方的要求了，因此，可以按幻方的制作方法求解。

这十二个分数，按从小到大的顺序排列是：

把它们按序排列为斜方形：

将上、下两数，左、右两数对调，再把中间四数向外拉出，这样重新组成的数阵，便是求得的解了。

例8将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个小三角形顶点上三数之和为12。

图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都是12，数字总和便是12×

4＝48，可是1～8八个数字总和只有36。

36比48少12。

只有靠共用顶角上数的重复使用，才能解决。

因此，必须把四个公用顶角的数字和填成12。

把1～8八个数四个一组，和为12的有：

6＋3＋2＋1

5＋4＋2＋1

上述两组中，经验证，只有6＋3＋2＋1可以作公用顶点的数字。

例9在下图五个○内，各填入一个自然数，使图中八个三角形中顶点的数字和各不相同。

求能满足这个条件的自然数中最小的五个数。

能满足使八个三角形顶点数字和各不相同的任意自然数有很多组，但自然数中能满足这个条件的最小自然数却只有一组。

最小的一组自然数中的五个数，若有两个相同的，其中三个数的和可以多到有7个不同值，因此，五个数互不相同。

如果这五个数是1，2，3，4，5，则其中三个数的和有如下组合方式：

1＋2＋3＝62＋3＋4＝93＋4＋5＝12

1＋2＋4＝71＋3＋4＝82＋3＋5＝10

2＋4＋5＝11

这样，总共只有七种不同的和，而图中共八个三角形，可知1，2，3，4，5五个自然数不能满足条件。

例10在下列图中三个正方形中，每个正方形的四个顶点上，只填入1，2，3，4四数，使图中八个三角形顶点数字和互不相同。

图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形共用，只有正方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形顶点数字的和应等于：

（1＋2＋3＋4）×

3＝30

30不是4的倍数，因而，外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。

同理，里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。

题中要求，每个三角形顶点数字和不相同，1～4四个数之和最小值是1＋1＋2＝4，最大值是4＋4＋3＝11，这样共可组成八组数，将八组数分别填入各个三角形顶点，便可符合条件。

例11将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个面的四个数和相等。

数字图是个正立方体，共有六个面。

每个面四个顶点上的数都是三个面重复使用的。

1～8八个数的数字总和是：

1＋2＋3＋……＋8＝36

因为每个顶点的数都被重复使用三次，所以六个面的数字总和是：

36×

3＝108

每个面的数字和便是：

108÷

6＝18

这样，便可填为下图或其他形式。