小学奥数数阵图.docx

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小学奥数数阵图

第十七周数阵图

把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。

 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

【解题技巧】

数阵的分类：

封闭型：

封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。

为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。

（1—6）

辐射型：

辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。

具体方法是：

通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。

复合型：

复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。

数阵的特点：

每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：

1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

【铜牌例题】

将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，小明已经填了5个数，请将其余4个数填入。

【答案】

【解析】

先根据最左边一列求出幻和，然后根据这个和和给出的数字逐步推算。

3+8+7=18；

第二行中间的数是：

18-8-4=6；

第三行中间的数是：

18-7-9=2；

第一行第一个数是：

18-4-9=5；

第一行中间的数是：

18-3-5=10；

【举一反三1】

（第十届走美杯初赛）小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入了2，3，6三个数，那当小华的乘积魔方构造完毕后，x等于______。

【银牌例题】

（第十四届中环杯初赛真题）将0～9填入下图圆圈中，每个数字只能使用一次，使得，每条线段上的数字和都是13。

【答案】

【解析】

如右图，a-h被算了3次，x被算了4次，y被算了2次

则10×13=3×（0+1+2+……+9）+x-y→y-x=5

由于a+g+b=c+x+y=h+e+d=13→f=6

所以c+d=a+h=b+x=7→f=6

所以，a,b,c,d,x,h分别为0、2、3、4、5、7

所以e,g,y分别为1、8、9

又y-x=5，所以y=8或9

若y=8，则x=3→b=4→e=1→g=9→a=0→d=10矛盾

所以y=9→x=4→b=3→e=1→g=8→a=2→d=7→c=0→h=5

【举一反三2】

在下图的七个圆圈中各填一个数，要求每一条边上的三个数中，当中的数是两边数的平均数。

现在已经填好了两个数，那么x是。

【金牌例题】

（第十一届“走美杯”初赛）将0～5这6个数字中的4个数字填入如图的圆圈中，每条线段两端的数字作差（大减小），可以得到5个差，这5个差恰好为1-5，在所有满足条件的填法中，四位数的最大值是。

【答案】5034

【解析】

因为四位数ABCD的值最大，因此A=5，并且B和C中有一个为0，B作为百位数字应尽量大。

若B=4，则C=0，但此时D无法填出，

因此B最大为3，B=3时，C=0，此时D=4。

因此，最大值为5034．

故答案为：

5034。

【举一反三3】

（第十一届希望杯真题）将1，2，3，4，5，6随意填入图中的小圆圈内，将相邻两数相乘，再将所得的6个乘积相加，则得到的和最小是。

．

【王牌例题】

（第十届走美杯真题）请将1、2、3、4、5、6、8、9、10、12这10个数填入右图圆圈中，每个数用一次，使得每条线上4个数的和都相等。

【答案】

【解析】

每条线上的和是：

（1+2+3+4+5+6+8+9+10+12）×2÷5=24；

假设，5个顶点数是较小的，即1，2，3，4，5；

又因为1+3+8+12=24，1+4+9+10=24；那么5个顶点，1与3在一条线上，1与4在一条线上；那么2与5在一条线上；

因为每条线上的和是24，是一个偶数，根据奇数+奇数=偶数，也就是每条线上要么有2个奇数，要么没有奇数；那么3与5一条线上，2与4在一条线上；

可以确定5个顶点的数是：

；

还有一个奇数9，只能在1、4与2、5相交的点上，即：

；

又因为1+9+4+10=24，5+9+2+8=24；那么1、9、4线上最后一个圆圈填10；5、9、2线上最后一个圆圈填8，即：

；

又因为1+8+3+12=24；确定1、8、3线上最后一个圆圈填12；5+10+3+6=24，确定5、10、3线上最后一个圆圈填6；即：

【举一反三4】

将2011至2019这九个自然数填入图中的圆圈中，使得每个以圆圈为顶点的正方形四个顶点上的数字之和相等，那么中心圆圈内填的数字是。

【大显身手】

1.（第十三届华杯初赛）如图的4×4网格里，横、竖、对角线上的四个数之和均等于“2008”，则a+b+c+d=。

2.如图，“好、伙、伴、助、手、参、谋”这7个汉字代表1～7这7个数字．已知3条直线上的3个数相加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等．图中间的“好”代表。

3.根据图中的数字关系，算一算，“？

”=。

4.自然数1～12中有一些已经填入图中的○内，请将剩下的分别填入空○内，使图中每个三角形（共四个）周边上的数字之和都相等。

5.在图中的空格中填入四个数，使每个横行，每个竖行的三个数的积都相等．

6.把1-10这十个自然数分别填入图中的○中，使每个圆圈中的六个数之和都是36。

7.在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图1）．现在请你调整一部分数的位置，但保留1、10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和，画在另一个圆上（图2）。

8.把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图中的5个方格中，使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和．则中间方格中能填的数是。

9.请你从1～40中选出10个各不相同的整数填入图中的圆圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公约数或最小公倍数。

10.如图，在每个小圆圈里填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和。

11.据说美国有一位铁路职工花了50余年的业余时间，研究得到了一个六角形幻方，如图所示的每一个圆中分别填写了1、2、…、19中的一个数字（不同的圆中填写的数字各不相同），使得图中每一个横或斜方向的线段上几个圆内的数之和都相等，现在已知该图中七个圆内的数字，则图中的x=。