6-1-2.还原问题.题库教师版Word下载.doc
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没除以2时应是：
没减去16时应是：
没乘以2时应是：
，即（岁）.
【巩固】小智问小康：
“你今年几岁？
”小康回答说：
“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4.请你算一算，我今年几岁？
”
【解析】分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推。
这个数没除以5时应该是多少？
没没加上6时应该是多少？
没乘以7时应该是多少？
没减去8时应该是多少？
如果没除以5，此数是：
如果没加上6，此数是：
如果没乘以7，此数是：
如果没减去8，此数是：
综合算式：
（岁）
答：
小康今年10岁。
【例3】学学做了这样一道题：
某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小朋友，你知道答案吗？
【解析】根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．
，，，综合算式为：
所以这个数为1.
解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．
【巩固】学学做了这样一道题：
一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道答案吗？
【解析】根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果16，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．
综合算式为：
【例4】一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：
“我得了多少分？
”老师说：
“你的得分减去后，缩小倍，再加上后，扩大倍，恰好是分”．小刚这次竞赛得了多少分？
【解析】从最后一个条件“恰好是分”向前推算．扩大倍是分，没有扩大倍之前应是（分），加上后是分，没有加上前应是（分），缩小倍是分，那么没有缩小倍前应是（分），减去后是分，没有减去前应是（分）．
综合列式为：
（分）
所以，小刚这次竞赛得了分．
【例5】在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:
小新爷爷今年多少岁数?
【解析】采用倒推法，（岁）.
【巩固】学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：
“你一定不到100岁吧！
”谁知这位神仙摇摇头说：
“你们算算吧！
把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘以10，恰好是2000岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？
【解析】这就是一个还原问题，可以用倒推法解决．从结果“2000”逐步倒着推，没乘10时是多少？
没减去15时是多少？
没除以时是多少？
没加75时是多少？
这样依次倒推，就可以知道神仙的年龄了．
⑴“乘以10，恰好是2000”，不乘10时，应该是：
⑵“减去15”是200，不减15时，应该是：
⑶“除以5”是215，不除以5，应该是：
⑷现在的年龄加上75是1075，如果不加75，这个数是：
也就是神仙现在的年龄是1000岁．
验算：
按原题顺序进行列式计算，看最后是否等于2000，如果等于2000，则解题正确．
，，，．
【例6】哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？
【解析】被减数十位上的6变成9，使被减数增加，差也增加了30；
减数个位上的9错写成6，使减数减少了，这样又使差增加了3，这道题可以说成：
正确的差加上30后又加上3得577，求正确的差．所以列式得：
．这题的正确答案应该是544．
【巩固】小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的看作，十位上的看作，结果和是，那么正确的结果应该是多少呢？
【解析】我们可以这样理解这道题的意思：
一个数（正确答案），由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数（错误结果），我们知道引起这种变化的原因是：
①把个位上的看作，这就相当于把正确答案减少了
②把十位上的看作，这就相当于把正确答案增加了：
这样原题就变成了“一个数减去，再加上，所得结果是，求这个数．”我们只要把少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果
【巩固】淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?
【解析】或.
【巩固】小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答案是多少？
【解析】倒推法，把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；
把十位上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去．所以正确的和是：
.即：
.
【例7】学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？
【解析】根据题意，画图倒推分析：
（米）
（米）
所以，这根绳子全长60米．
【巩固】一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。
这捆电线原来有多少米？
【解析】为了帮助同学们分析数量关系，
可依照题意画出右图。
从线段图上可以看出：
余下的一半
第一次用去的
3米
图2
10米
第二次用去的
全长的一半
7米
第三次用去的15米
全长？
米
（1）（米），就是第一次用去后余下的一半。
（2）（米），就是余下的电线长度。
（3）（米），就是全长的一半。
（4）（米），就是原来电线的长度。
综合列式计算：
这捆电线原来有54米。
【巩固】甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个，还剩下25个没有加工，问：
这批零件有多少个？
【解析】如右图所示，按照图与题目的条件，
剩下的一半
图3
零件的一半
10个
？
25个
可以有如下算式：
（个）
列综合算式：
这批零件共有160个。
【例8】货场原有煤若干吨。
第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。
货场原有煤多少吨？
【解析】这道题由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容易的，我们先看图4，然后再分析。
第二次运进450吨
现有煤的一半
第一次用去原有煤的一半
图4
1倍
第三次运出的
原有煤？
吨
1200吨
2倍
50吨
结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了然。
根据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求剩余煤的吨数；
根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；
用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少吨。
（1）剩余煤的吨数是：
（吨）
（2）现有煤的一半是：
（3）现有煤的吨数是：
（4）原有煤的一半是：
（5）原有煤的吨数是：
货场原来有煤1700吨。
【例9】食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少千克，第二天吃了余下的一半少千克，最后剩下千克．这批大米共有多少千克？
【解析】列式为：
（千克）
【巩固】山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：
树上原来有多少个桃子？
【解析】（个）.
【巩固】修建一条下水道，第一周修了全长的一半多米，第二周修了剩下的一半少米，第三周修了
米，最后还剩米，这条下水道长多少米？
【解析】如下图，从图中可知是第一周修后余下的一半，米是下水道全长的一半．
列式为：
所以，这条下水道长米．
画图法的关键：
标好有倍数关系的位置。
【例10】小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：
小丽原有多少钱？
4元
第一次剩下的一半
第二次剩下的一半
1元
【解析】用倒推法，第二次剩下的一半是（元），第二次剩下（元），第一次剩下（元），原来有（元）。
小丽原有24元。
【巩固】有一筐苹果，甲取出一半又1个；
乙取出余下的一半又1个；
丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。
这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？
【解析】
甲取出的
一半
再余下的一半
乙取出的
1个
丙取出的
从上面的线段图可以看出：
最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的就是（个）；
4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是（个）；
10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是（个）。
22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值多少钱？
先求有多少个苹果：
再求每个苹果平均值多少钱：
（角）
每个苹果平均值3角钱。
【例11】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多米，第二天修了余下的一半少米，第三天修了米，此时还剩下米没有修，则这条小路长米。
【分析】如图所示，先根据线段图理清数量关系，可得全长为：
（米）。
【巩固】一个人沿着公园马路走了全长的一半后，又走了剩下路程的一班，还剩下1千米，问：
公园马路全长多少千米？
【解析】如图，
1千米
采取倒推的方法，1千米是第一次剩下的路程的一半，所以第一次剩下路程就是（千米）。
而第一次剩下的路程2千米又是全程长的一半，所以全程长为（千米）。
公园马路全长为4千米。
【例12】思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？
【解析】根据题意，画出线段图，倒推分析．
（米）
（米）
所以这段五彩布原来长米．
【巩固】一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少12克．第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克．问蚂蚁家原有食物多少克?
【解析】采用倒推法，教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是（克）；
这样，第一天运出后剩下的重（克）.那么同理，一半的重量是（克），原有食物（克）.即
（克）.
【巩固】一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？
【解析】由逆推法知，第二次用完还剩下（米），第一次用完还剩下（米），原来电线长（米）.
解：
（米）.
【例13】桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；
第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；
第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了.那么园中原有多少桃？
【解析】第三群猴没吃，相应有桃
第二群猴没吃，相应有桃
第一群猴没吃，相应有桃（即桃园中原有桃）
【巩固】某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水果同样多，已知原有的水果800千克，求原有的蔬菜多少千克？
【解析】可逐步算出：
运进水果（千克），现有水果（千克），原有蔬菜（千克）。
【例14】刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
【解析】最开始瓶子里有矿泉水：
（升）．
【巩固】有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；
剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；
剩下的再四等分又剩一枚.问：
原来至少有多少枚棋子？
【详解】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚.由此逆推，得到
第三次分之前有（枚），
第二次分之前有（枚），
第一次分之前有（枚）.
所以原来至少有85枚棋子.
【例15】从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花气力就能发财的窍门．一天，有一位老人突然来到樵夫面前，对他说：
“你不是想见到神仙吗？
”樵夫苦苦哀求：
“我在山里砍了三天柴，累的要死要活，才卖的这么几个钱．您老人家神通广大，恳求您指点，使我可以不费力气就能得到钱吧！
”老人指着东边的一座石头桥说：
“好吧！
从现在开始，你只要从那座桥上每走一个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬．”樵夫高兴的在桥上走了一个来回，他数一数口袋里的钱，果然增长了一倍．他拿出24个钱交给神仙，然后又向桥上走去，等到他第三次回来，把24个钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都没有了．正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：
“年轻人，不劳而获可不行啊！
”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？
【解析】这个故事里包含的算题是：
樵夫每次在桥上走一个来回，口袋里面的钱会增长1倍，樵夫第三次回来，交付24个钱给神仙后，他的口袋里就一无所有了．问樵夫原来有多少钱？
我们可以倒着想，最后樵夫从桥上回来后，口袋里面只有24个钱，第二次交给神仙后有（个）钱，从桥上回来后有：
（个）钱，也就是第一次交给神仙后还剩：
（个）钱，第一次从桥上回来后有：
（个）钱，所以樵夫一开始有：
（个）钱．
【例16】学学和思思见到一种神奇的虫子，它每小时就长一倍，1天能长到20厘米，聪明的小朋友，你知道小虫长到5厘米时需要多少小时吗？
【解析】小虫每小时长一倍的意思是：
第二个小时的身长是第一个小时的2倍，第三个小时的身长是第二个小时的2倍，第四个小时的身长是第三个小时的2倍，……1天是24个小时，从24小时能长到20厘米开始，往前倒推，当长到（厘米）时，就是第23个小时，以此倒推．
（方法一）用倒推法解：
（厘米），（小时）
（方法二）用列表倒推法解：
出生天数
小虫身长（厘米）
24
20
23
10
22
5
【例17】有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：
“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：
财迷身上原有多少个铜板？
【解析】第五次回来时有32个铜板，表明第五次走时有16个铜板（因为走到桥对面钱数要增加一倍），又表明第四次回来时有48个铜板（因为要给老人32个铜板）……依次类推即可．推算过程可列表如下：
所以原来有个铜板．
【巩固】某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；
当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；
这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？
箱子里有多少元？
【解析】已知这个人和钱箱里最后都有64元，采用倒推法解题，列表如下：
往返次数
第三次
第二次
第一次
从魔道走回来前身上钱数
96
88
86
从魔道走回来前箱中钱数
32
40
42
从魔道走过去前身上钱数
48
44
43
从魔道走过去前箱中钱数
80
84
85
所以最开始这个人身上有43元，箱子里有85元．
板块二、多个变量的还原问题
【例18】三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？
【解析】甲：
（元）；
乙：
丙：
．
【例19】小巧、小亚、小红共有个玻璃球，小巧给小亚个，小亚给小红个，小红给小巧个，他们的玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？
【解析】由已知条件可知，小巧比原来多了个，小亚比原来多了个，小红少了个，三人一样多时，都是（个），所以小巧原来有（个），小亚原来有（个），小红原来有（个）．
【例20】三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟?
【解析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是（只），第一棵树上的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；
第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；
第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．
列式：
现在一样多的：
（只）
第一棵树上的小鸟只数：
（只）或（只）
第二棵树上的小鸟只数：
（只）或（只）
第三棵树上的小鸟只数：
原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟．
【例21】三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？
【解析】三棵树上的鸟同样多的只数：
第一棵数上鸟的只数：
第二棵数上鸟的只数：
第三棵数上鸟的只数：
第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟．
【例22】甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？
【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树（棵），乙班有（棵），如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树（棵），甲班原有树（棵）．列表倒推如下:
甲班
乙班
35
21
14
28
【巩固】一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；
然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；
接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三个班的图书数目都是48本．求三个班原来各有图书多少本？
【解析】我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理．在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目．依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班．其余各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：
一班
二班
三班
结果
48
第三次
24
96
第二次
12
84
第一次
78
42
【例23】解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？
【解析】由条件“后来又调进人”和“这时第一队还有人”，可知不调进人有（人）．由“又抽调剩下的一半支援第四队”后还有人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有（人）；
由“抽调人支援第三队”后还有人，可知之前有（人）；
由“从第一队抽调一半人支援第二队”后还有人，可知第一队原有（人）．
（人）
还原问题有一个基本方法：
列表法，教师可以再用列表法重新
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