2016年上海市高中数学竞赛试题及答案Word文档格式.docx

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．

解设，则，

从而，于是

3.关于的方程的解是．

解因为，所以，解得，则

4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于，共有种可能．

48．

解四颗骰子乘积等于36，共有四种情形：

（1）两个1，两个6，这种情形共种可能；

（2）两个2，两个3，这种情形共种可能；

（3）两个3，一个1，一个4，这种情形共种可能；

（4），各一个，这种情形共种可能．

综上，共有种可能．

5.已知函数，若存在，使成立，则实数的取值范围为．

答案；

解易知时，只需求的取值范围，使得能取到中的值．

（1）当时，单调递增，因为，故只需，解得

（2）当时，单调递减，因为，故只需，解得

6.如图，有16间小三角形的房间，甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是（用分数表示）．

解法一如图1，将小三角形房间分为三类：

与第一类（红色）房间相邻的房子恰有一间，与第二类（绿色）房间相邻的房间恰有两间，与第三类（白色）房间相邻的房间恰有三间，从而满足条件的安置方法共有种．从而所求概率为

解法二我们从反面考虑问题，如图2，每一对相邻房间对应着一条黄色的邻边，故所求概率为

7.在空间，四个不共线的向量，它们两两的夹角都是，则的大小是

．

解如图，为正四面体，角即为，设分别为和的中点，则，则中心在上，从而为△的垂心，

所以，

8.已知，则的取值范围为．

．

解注意到，及

我们有，所以

二、解答题（本题满分60分，每小题15分）

9.如图，已知五边形内接于边长为1的正五边形．求证：

五边形中至少有一条边的长度不小于

证设的长分别为则

由平均数原理，中必有一个大于，不妨设，则此时

所以，命题得证．

10.设和是素数，且，求的所有可能的值．

解由题设可得，因为

所以，于是为正整数．

记，注意到，则从而

由对称性，不妨设

若，则，矛盾，故

若，则，，矛盾．

若，则，也矛盾．故

最后，由，得

综上，

11.已知数列满足递推关系，求所有的值，使为单调数列，即为递增数列或递减数列．

解由得，，令，则

从而，则

若，注意到，则当时，与同号，但正负交替，从而正负交替，不为单调数列．

当时，为递减数列．

综上，当且仅当时，为单调数列．

12.已知等边三角形的边长为5，延长至点，使得，是线段上一点（包括端点）．直线与△的外接圆交于两点，其中

（1）设，试将表示为关于的函数；

（2）求的最小值．

解

（1）设，则

在△中，由余弦定理，得

在△的外接圆中运用相交弦定理，得

两式相减，得故

（2）设，则

当且仅当时等号成立，此时解得

所以，当时，取到最小值