上海中学2016学年第二学期期中考试高一数学试题含答案word版.doc
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上海中学2016学年第二学期期中考试
（时间90分钟，满分100分）
高一年级数学试卷
2016年3月
一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）
1．若，则与具有相同终边的最小正角为。
2.已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为。
3．已知角的终边经过点，则。
4.函数的定义域为。
5．若，则。
6．若，化简：
。
7.已知，则。
8.在中,,则这个三角形的形状是。
9．在中,已知，则这样的三角形的有_______个。
10．在内，使的成立的的取值范围是。
11．凸函数的性质定理为：
如果函数在区间上是凸函数，则对内的任意
，有.函数在
区间上是凸函数，则在中，的最大值为。
12．方程的解可视为函数的图像与函数的图像的交点的横
坐标，方程的实数解的个数为。
二、选择题（每小题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）
13．“”是“”成立的（）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件。
14．函数的单调递减区间是（）
（A）（B）
（C）（D）
15．下列函数中，周期为的偶函数是（）
（A）（B）（C）（D）
16．设函数的定义域为，值域为，则以下结论中错误的是（）
（A）的最小值为（B）的最大值为
（C）不可能等于，（D）不可能等于，
三、解答题（共5小题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）
17．（本题满分6分）三角比内容丰富，公式很多。
若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘。
请你完成以下问题：
（1）计算：
，。
（2）根据
（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
18.（本题满分10分）定义：
。
已知。
（1）求的值；
（2）求的值。
19.（本题满分10分）请研究与函数相关的下列问题，在表中填写结论.
问题
结论（不需要过程）
分数
求的定义域
求函数的周期
写出的单调区间（指明是增还是减）
写出在区间范围内的值域
写出图像的所有对称中心
20．（本题满分10分）已知扇形的半径为3，圆心角，过弧上的动点作平行于的直线交于点，设。
（1）求的面积关于的函数解析式；
（2）为何值时，有最大值？
并求出该最大值。
21．（本题满分12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出在区间上的图像。
解：
性质
理由
结论
得分
定义域
值域
奇偶性
周期性
单调性
对称性
作图
参考答案
一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）
1．若，则与具有相同终边的最小正角为。
2.已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为。
3．已知角的终边经过点，则
4.函数的定义域为。
5．若，则。
6．若，化简：
。
7.已知，则。
8.在中,,则这个三角形的形状是钝角三角形。
9．在中,已知，则这样的三角形的有____1___个。
10．在内，使的成立的的取值范围是。
11．凸函数的性质定理为：
如果函数在区间上是凸函数，则对内的任意
，有.函数在
区间上是凸函数，则在中，的最大值为。
12．方程的解可视为函数的图像与函数的图像的交点的横
坐标，方程的实数解的个数为。
二、选择题（每小题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）
13．“”是“”成立的（B）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件。
14．函数的单调递减区间是（A）
（A）（B）
（C）（D）
15．下列函数中，周期为的偶函数是（B）
（A）（B）（C）（D）
16．设函数的定义域为，值域为，则以下结论中错误的是（D）
（A）的最小值为（B）的最大值为
（C）不可能等于，（D）不可能等于，
三、解答题（共5小题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）
17．（本题满分6分）三角比内容丰富，公式很多。
若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘。
请你完成以下问题：
（1）计算：
（直接写答案,别忘记把计算器设置成“角度”呦！
）
（2）根据
（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．）
解：
（1）
（2）猜想：
其中
证明：
又，所以等式左边=
18.（本题满分10分）定义：
。
已知。
（1）求的值；
（2）求的值。
解：
（1）……2分，……4分
（2）由知，，又……6分
当时，，
当时，。
……10分
19.（本题满分10分）请研究与函数相关的下列问题，在表中填写结论.
解：
问题
结论
求的定义域
求函数的周期
周期依次为
写出的单调区间（指明是增还是减）
增区间
写出在区间范围内的值域
写出图像的所有对称中心
20．（本题满分10分）已知扇形的半径为3，圆心角，过弧上的动点作平行于的直线交于点，设。
（1）求的面积关于的函数解析式；
（2）为何值时，有最大值？
并求出该最大值。
20．
（1）在中，由正弦定理得：
，
即，∴。
。
（2），
故当，即时，。
21．（本题满分12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出在区间上的图像。
解：
性质
理由
结论
得分
定义域
定义域
1分
值域
值域
2分
奇偶性
偶函数
1分
周期性
周期
2分
单调性
在上递减，
在上递减
2分
对称性
，，……
关于直线对称
2分
作图
2分
8
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