小学奥数技巧.03.解几何题技巧附答案Word文档格式.docx
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等腰直角△EDF。
其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半,而△EDF的面积加梯形ACFE的面积等于△ADC的面积,即等于△ABC的面积。
所以,乙、丙面积之和等于甲的面积。
2.平移变换
【平移线段】有些几何问题,通过线段的上、下、左、右平移以后,能使问题很快地得到正确的解答。
例如,下面的两个图形(图4.17和图4.18)的周长是否相等?
单凭眼睛观察,似乎图4.18的周长比图4.17的要长一些。
但把有关线段平移以后,图4.18就变成了图4.19,其中的线段,有的上移,有的左移,有的右移,它可移成一个正方形。
于是,不难发现两图周长是相等的。
【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题,采用平移空白部分或平移阴影部分的办法,往往能化难为易,很快使问题求得解答。
例如,计算图4.20中阴影部分的面积。
圆面积”,然后相加,得整个阴影部分的面积。
这显然是很费时费力的。
但认真观察一下就会发现,图4.20左半左上部的空白部分,与右半左上部的阴影部分大小一样,只需将右半左上部的阴影部分,平移到左半左上部的空白部分,所有的阴影部分便构成一个正方形了(如图4.21)。
所以,阴影部分的面积很快就可求得为5×
5=25。
又如,一块长30米,宽24米的草地,中间有两条宽2米的走道,把草地分为四块,求草地的面积(如图4.22)。
这只要把丙向甲平移靠拢,把丁向乙平移靠拢,题目也就很快能解答出来了。
(具体解法略)
3.旋转变换
【旋转成定角】例如下面的题目:
“在图4.23中,半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形,圆内正方形顶点都在圆周上,圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。
“大正方形的面积比小正方形的面积大多少?
”
按一般方法,先求大、小正方形的面积,再求它们的差,显然是有难度的。
若将小正方形围绕圆心旋转45°
,使原图变成图4.24,容易发现,小正方形的面积为大正方形面积的一半。
所以,大正方形面积比小正方形的面积大
(8×
2)×
(8×
2)÷
2
=16×
16÷
=128(平方厘米)
又如,如图4.25,求正方形内阴影部分的面积。
(单位:
厘米)
表面上看,题目也是很难解答的。
但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心,分别按顺时针和逆时针方向旋转90°
,就得到了一个由阴影部分组成的半圆(如图4.26),于是,阴影部分的面积就很容易解答出来了。
(解答略)
【开扇式旋转】有些图形相互交错,增加了解答的难度。
若像打开折扇一样,绕着某个定点作“开扇式”旋转,往往会使人顿开茅塞,使问题很快获得解决。
例如,求图4.27的阴影部分的面积(单位:
厘米)。
若采用正方形面积减空白部分面积的求法,
计算量是很大的。
由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的,我们不妨把右下部的扇形打开,顺时针方向旋转90°
,得到图4.28;
再继续旋转,得到图4.29。
在图4.29中,阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。
所以,阴影部分面积是
42×
3.14÷
2-(4+4)×
4×
=25.12-16
=9.12(平方厘米)
又如,求图4.30阴影部分的面积(单位:
将这个图从中间剪开,以o为旋转中心,将右半部分按顺时针方向转到左半部下方,便变成了图4.31。
于是,阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。
即
(4÷
2)2×
2-2×
2÷
=6.28-2
=4.28(平方厘米)
4.对称变换
【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题:
从A地出发到河边饮马,再到B地(如图4.32所示),走什么样的路最近?
如何确定饮马的地点?
海伦的方法是这样的:
如图4.33,设L为河,作AO⊥L交L于O点,延长AO至A',使A'O=AO。
连结A'B,交L于C,则C点就是所要求的饮马地点。
再连结AC,则路程(AC+CB)为最短的路程。
为什么呢?
因为A'是A点关于L的对称点,AC与A'C是相等的。
而A'B是一条线段,所以A'B是连结A'、B这两点间的所有线中,最短的一条,所以AC+CB=A'C+CB=A'B也是最短的一条路了。
这就是海伦运用对称变换,找到的一种最巧妙的解题方法。
运用这种办法,可以巧妙地解决许多几何问题。
【划线均分】通过中心对称图形的对称中心,任意画一条直线,都可以把原图形均分成两个大小、形状完全相同的图形。
利用这一性质,可以使某些较复杂的问题迅速地解答出来。
例如
(1)把图形(图4.34)的面积,用一条直线分成相等的两个部分。
解题时,只要把这个图形看成是由两个矩形(长方形)组成的组合图形,而矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形,所以只要找出两个对称中心(对角线交点),利用中心对称图形的上述性质,通过两个对称中心作一条直线,就能把它的面积分成相等的两个部分了。
如前页的三种分法都行(如图4.35所示)。
(2)如图4.36,长方形ABCD内有一个以O点为圆心的圆,请画一条直线,同时将长方形和圆分为面积相等的两个部分。
大家知道,长方形和圆都既是轴对称图形,又是中心对称图形。
长方形的对称中心是对角线的交点,圆的对称中心是它的圆心。
根据中心对称图形的上述性质,先找出这两个对称中心O点和P点(如图4.37),再过O、P作直线L,此直线L即是所画的那根直线。
5.割补、拼接、截割
【割补】在数学中,把图形的某个部分割下,补到某一个新的位置,往往可以使新的图形,更便于发现数量关系,从而较快地解答出数学题目。
例如,在图4.38中,三个圆的面积都是12.56平方厘米,且三个圆两两相交,三个交点都是圆心,求三块阴影部分的面积。
从表面上看,题目是无法解答的。
但只要仔细观察就能发现,根据轴对称性及割补方法,题目可作如下的解答:
如图4.39,将图形1翻折到图形2的位置;
再将图形3和4割下来,合并在一起,补到图形5的位置上。
于是,原来的阴影部分就正好拼成了一个半圆。
所以,三块阴影部分的面积是12.56÷
2=6.28(平方厘米)
【拼接,截割】
(1)平面图形的拼接、截割。
拼接和截割,是两个相反的过程。
平面图形的拼接是把两个或两个以上的图形拼接在一起;
平面图形的截割,是把一个图形截割成两个或两个以上的图形。
平面几何图形拼接或截割以后,面积和周长的变化有以下规律:
①两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形,它的面积等于原来若干个几何图形的面积之和;
而周长却会比原图形周长之和要短。
如果拼接部分的总长度为a,那么拼接后减少的周长就是2a。
②把一个平面几何图形截割以后,各小块图形的面积之和,等于原图形的面积;
但截割后各小块几何图形的周长之和,要比原图形的周长要长。
若所有截割部分长度为a,那么截割后增加的长度就是2a。
依据这一规律,可快速地解答一些几何问题。
例如,如图4.40,正方形被均分为大小、形状完全相同的三个长方形,每个长方形周长都是48厘米,求正方形的周长。
解题时,可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而成的,三个小长方形的拼接部分,都是小长方形的长,长度等于大正方形的“边长”。
拼接以后的图形(大正方形)的周长,比原来的三个小长方形的周长之和,要减少4个“边长”,而这4个“边长”正好相当于大正方形的周长。
这就是说,三个小长方形的周长之和里,刚好包含有两个大正方形的周长。
所以,正方形的周长是
48×
3÷
=144÷
=72(厘米)
(2)立体图形的拼接、截割。
立体几何图形拼接或截割以后,它的体积和表面积的变化,有以下规律:
①两个或两个以上的几何体,拼接成一个新几何体以后,它的体积等于原来若干个几何体体积之和;
但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要小。
如果重叠部分为S,那么减少的面积就是2S。
②把一个几何体截割以后,各部分的体积之和等于原几何体体积;
但截割后的表面积之和,却大于原几何体的表面积。
如果其中的截割面积为S,那么,增加的表而积就是2S。
依据这一规律,可以较快地解答出某些题目。
例如,如图4.41,把一个棱长为5厘米的正方体木块锯成两个形状大小完全相同的长方体(不计损耗),表面积会增加多少平方厘米?
因为正方体木块的截割面积为5×
5=25(平方厘米),依据上面的规律可知,表面积会增加
25×
2=50(平方厘米)
又如,把长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块截成形状、大小相同的两个长方体,表面会增加多少平方厘米?
由于此题未交代从何处下手截割,所以要分三种情况来解答题目。
①如图4.42左图的截法,表面积会增加。
5×
6×
2=30×
2=60(平方厘米)
②如图4.42中图的截法,表面积会增加。
10×
2=60×
2=12(平方厘米)
③如图4.42右图的截法,表面积会增加
5×
2=50×
2=100(平方厘米)
6.扩缩图形
【扩图】解题时,将几何图形扩大,有时候能使一时难以解决的问题变得非常简单。
例如,图4.43是一个圆心角为45°
的扇形,其中的直角三角形BOC的直角边为6厘米,求阴影部分的面积。
本来,求阴影部分的面积,只要用扇形面积减去直角三角形面积就行了。
但是同学们暂时还未学求扇形半径R的方法,怎么办呢?
由扇形的圆心角为45°
,我们不妨将其扩大一倍,如图4.44所示。
由此图可以求出三角形DOB的面积为
可知
扩大后的阴影部分面积为
56.52-72÷
25=6.52-36
=20.52(平方厘米)
所以,原图所求的阴影部分的面积为
20.52÷
2=10.26(平方厘米)
这是个将图形整体扩大的例子。
可否只将图形的某一个局部扩大,来求得问题的解答呢?
回答是肯定的。
例如:
如图4.45,图中的扇形半径为8厘米,圆心角为45°
,求阴影部分的面积。
当然,这道题也可以将整个图形扩大一倍,去寻找答案。
不过,解题的关键是求出空白部分(三角形)的面积,我们不妨以8厘米为边长,作一个正方形,这正方形面积便是空白三角形面积的4倍(即只将局部三角形面积扩大4倍)。
于是空白的三角形面积便是
8×
8÷
4=16(平方厘米)
所要求的阴影部分的面积便是
【缩小研究对象】有些图形从整体上研究,由于图形较为复杂,难以一下子解决问题,若根据图形特点,缩小研究范围,往往能较快地找到答案。
例如,图4.46是一块黑白格子布,白色大正方形边长10厘米,白色小正方形边长4厘米。
这块布的白色部分的面积占总面积的百分之几?
图形令人眼花缭乱,增大了解题时的难度。
不过,仔细一看,就可发现它由9块形状大小相同的图形组成,我们只要研究其中一个小图形(如图4.47)的白色图形占整个图形的百分之几,就足以解决问题了,所以,题目的解答可以是
(10×
10+4×
4)÷
[(10+4)×
(10+4)]
=116÷
196
≈0.592=59.2%。
又如,图4.48是一个对称图形。
问:
图中的黑色部分与阴影部分比较,是黑色部分的面积大,还是阴影部分的面积大?
因它是个对称图形,可如图中虚线那样画两条直线,将它平分为四个部分。
解题时,我们不必研究整个图形,只要研究它的四分之一就行了。
角扇形的面积。
再由对称关系可知,图形中两个空白部分的大小是相等的,故用图中的上半部分减黑色部分所得的空白部分,等于下面半圆面积减“卵叶形”阴影部分所得的空白部分。
在这一等式中,既然被减数和差都相等,那么减数(黑色部分和叶形阴影部分)也必定是相等的。
于是可推出,整个图形的黑色部分和阴影部分的面积,也必定是相等的。
7.附录:
等积变换
【用等积变换作图】根据等积关系,可以使某些作图题较快地得到解答。
用三种方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。
形,不论其形状是否相同,只要它们的底、高分别相等,则面积也一定是相等的。
所以,将任意三角形平均分成四个面积相等的三角形,作图方法如下:
(1)把三角形底边平均分为四份,再把每个分点与顶点连结(如图4.50甲所示),所得的四个三角形——△ABD、
△ADE、△AEF和△AFC,是等底同高的,所以面积一定是相等的。
(证明略)
(2)如图4.50乙所示,先找出一条边BC的中点D,连结AD,再找出AD的中心E,连结BE和CE,所得到的四个三角形——△ABE、△BDE、△ACE和△CDE,面积也一定是相等的。
再三等分AD得AF=FE=ED;
然后,连结BF和BE。
这样得到的四个三角形——△ACD、△BAF、△BFE和△BED,面积也一定是相等的。
【用等积变换比大小】比较两个图形的面积大小,常常以求一个图形的面积占另一个图形面积的几分之几的形式出现。
如图4.51,在平行四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点。
求△AEF是平行四边形的几分之几?
解题时,可取AD的中点G连结G、E,则有
△ABE的面积=平行四边形ABEG面积的一半=平行四边形ABCD面积
再取AB中点H,连结H、F,则有
从而还可以推出
这时,所有空白部分占整个平行四边形面积的分数都已经求出来了,于是,阴影部分△AEF的面积所占的分数便是
这样,一个本来很难解答的问题,经过等积变换,便较快地找到答案了。
再看下面的一个例子:
形ABCD的面积=?
解题时,可先连结E、D和B、D,易知
进而便得
即四边形EFGH的面积∶四边形ABCD的面积
=5∶9
【用等积变换求面积】用等积变换求图形的面积,是常用的技巧之一。
它能使分散的图形集中,使生疏、麻烦的题目转化为熟悉、简单的题目。
如图4.53,这是个直角梯形。
求阴影部分的面积(单位:
厘米)。
图中的阴影部分由两个同高的三角形组成。
它们的面积是:
这道题的解答,也可以把两个阴影部分集中,连结A、C,因为AB平行于DC,所以△DAE的面积=△CAE的面积(同底等高),两个阴影部分的面积就换成一个三角形CAB的面积了。
所以,阴影部分的面积就是8×
4÷
2=16(平方厘米)。
又如,如图4.54,这是大小两个正方形组成的图形。
大正方形边长为8厘米,小正方形边长为5厘米,求阴影部分的面积。
用一般解法解答此题,是比较麻烦的。
我们可作如下巧解。
连结B、E。
经观察,会发现△BEC与△ABE等积,因为它们都是以小正方形的边长为底,以大正方形的边长为高。
从这两个三角形中,分别减去△BEF的面积,就得到△ABF和△FEC为等积的三角形。
因此
△ABC的面积=AFC的面积+△ABF的面积
=△AFC的面积+△FEC的面积
=△AEC的面积
=12.5(平方厘米)
【用等积变换证题】用等积关系证明几何问题,例如
如图4.55,在△ABC中,AB=AC,D为BC的边上任意一点,DE⊥AB,DF⊥AC,CG是AB边上的高。
证明:
CG=DE+DF。
证明时,可连结A、D,使△ABC分成△ABD和△ADC两个三角形。
于是,有
因AB=AC,故可用AB代替AC。
所以,①+②得
即CG=DE+DF
8.运用图形间的等量关系
【应用弦图解题】我国古代有种图形叫做“弦图”(如图4.56所示),有的数学家应用它成功地证明了“勾股定理”。
我国宋代著名数学家杨辉,在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中,提出了这样一个问题:
有一块长方形田,面积为864平方步(“步”是古代长度单位,1里=300步,1步=5尺),已知长比宽少12步,问:
它的长、宽共是多少步?
杨辉在该书上出示了一个弦图(如图4.57),他是用四个面积为864
共是60步。
显然,这样运用弦图来解答题目,是十分高明和十分巧妙的!
有些竞赛题也可以用弦图来巧解。
第一届“华罗庚金杯赛”中,就两次出现了应用弦图来解答的题目。
尤其是那一道决赛题:
平方米。
锯下的木条面积是多少平方米?
仿杨辉的解法,可假定剩下4块长方形木块,并利用它拼成了一个“弦图”,如图4.58。
于是可知,大正方形的面积为
【解纵横交错的复杂题】把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在一起,常常需要根据长、宽关系,找出等量关系来解答题目。
如图4.59,这是由同样大小的纸片摆成的图形,小纸片宽12厘米,求阴影部分的总面积。
由图可知,5个纸片的长=3个纸片的长+3个纸片的宽,所以
2个纸片长=3个纸片宽
1个纸片长=12×
=18(厘米)
进而可知,每个阴影部分的小正方形的边长为18-12=6(厘米)
阴影部分的总面积便是
6×
3=108(平方厘米)
又如,“有9个长方形,它们的长、宽分别相等,用它们拼成的大长方形(如图4.60)的面积是45平方厘米,求大长方形的周长。
解题的关键,是求出一个小长方形的长和宽。
由5个小长方形的宽等于
形重新分割为5个小正方形,小正方形的边长,正好是小长方形的宽(如图4.61)。
所以,5个小正方形面积之和,就是四个小正方形的面积之和,即5个小正方形面积为
45÷
9×
4=20(平方厘米)
每个小正方形的面积为
20÷
5=4(平方厘米)
显然,每个小正方形的边长(即小长方形的宽)为2厘米,小长方形的长便是
进而便可求得大长方形的周长为
[2.5×
4+(2.5+2)]×
2=29(厘米)。
此外,题目还可这样解答:
因为小长方形宽的5倍等于长的4倍,所以,可用(4与5的最小公倍数)20个小长方形拼成一个大的正方形(如图4.62)。
大正方形面积是
它的边长便是10厘米,则小正方形的长为
10÷
4=2.5(厘米)
小正方形的宽为
5=2(厘米)
于是,原来的大长方形的周长就是
(2.5×
4+2.5+2)×
【用面积线段比的关系解题】利用面积比与线段比之间的等量关系,常常能使复杂问题简单化。
为什么成立?
由图中可以看出,△PBC和△ABC是同底的两个三角形,所以
又如,第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目:
“如图4.64,一个长方形地面被两条直线分成四个长方形,其中三个的面积是20公亩、25公亩和30公亩,另一个(图中阴影部分)长方形的面积是多少公亩?
图中可见,右边两个长方形是长相同的长方形,它们的面积比等于它们宽的比;
同样,左边两个长方形也是长相同的长方形,它们的面积比,也等于它们宽的比。
设阴影部分面积为x公亩,由于左右两组长方形面积之比,都等于相同的宽之比,所以
即另一个(阴影部分)长方形面积为37.5公亩。
9.利用间接条件
【利用隐含的间接条件】发现和利用隐含的间接条件来解答题目,往往能克服所学知识不够所造成的困难,大大减少计算的时间。
如图4.65,已知正方形面积为18平方厘米,求阴影部分的面积。
一般解法是用正方形面积,减去圆的面积。
但在小学阶段,大家还不会求圆的半径或直径怎么办呢?
因为圆面积公式是
刃而解。
至于能否求出r或d这样的直接条件,是并不重要的。
所以,可以用下面的方法来解答:
便是
18-14.3=3.87(平方厘米)
阴影部分的面积便是
18-14.13=3.87(平方厘米)
(3)若把正方形面积扩大2倍,则面积为36平方厘米,新正方形的边长就是6厘米,即随之也扩大了2倍的新圆的直径为6厘米,半径为3厘米。
所以随之而扩大了2倍的阴影部分的面积是
=7.74(平方厘米)
原来的阴影部分的面积便是
7.74÷
2=3.87(平方厘米)
又如,如图4.66,ABCD为矩形,里面有一个最大的半圆,OC=10厘米,求阴影部分的面积。
解题时,可将矩形分割为两个小正方形,并连结O、D。
因为△DO