高中数学 第三章《圆锥曲线与方程》全部教案 北师大版选修2Word文档格式.docx

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在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）

在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关（为下面离心率概念作铺垫）

2.根据定义推导椭圆标准方程：

取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则，又设M与距离之和等于（）（常数）

，

化简，得

由定义,令代入，得，

两边同除得，此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程其中

注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程

如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程

理解：

所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；

在与这两个标准方程中，都有的要求，如方程

就不能肯定焦点在哪个轴上；

分清两种形式的标准方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上（即看分母的大小）

（三）、探析例题：

例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴两个焦点坐标分别是（-4,0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；

⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（,）

解：

（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为

所以所求椭圆标准方程为

因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为

由椭圆的定义知，＋

　又

所以所求标准方程为

另法：

∵∴可设所求方程，后将点（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程

点评：

题（１）根据定义求若将焦点改为（0,-4）、（0，4）其结果如何；

题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：

其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；

其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程

（四）、课堂练习：

1椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）

A.5B.6C.4D.10

2.椭圆的焦点坐标是（）

A.（±

5，0）B.（0，±

5）C.（0，±

12）D.（±

12，0）

3.已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则其焦距为（）

A.2B.2

C.2D.

4.,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是

5.方程

表示椭圆，则的取值范围是（）

Ａ.Ｂ.

∈Ｚ）

Ｃ.Ｄ.

参考答案：

1.A2.C3.A4.5.Ｂ

（五）、小结：

本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:

①椭圆的定义中,；

②椭圆的标准方程中,焦点的位置看,的分母大小来确定；

③、、的几何意义

（六）、课后作业：

1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出的值

①；

②；

③；

④

答案：

①表示园；

②是椭圆；

③不是椭圆（是双曲线）；

④可以表示为，是椭圆，

2椭圆的焦距是，焦点坐标为；

若CD为过左焦点的弦，则的周长为答案：

3．方程的曲线是焦点在上的椭圆，求的取值范围答案：

4化简方程：

答案：

5椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是答案：

4

6动点P到两定点（-4,0），（4,0）的距离的和是8，则动点P的轨迹为_______

是线段，即

五、教后反思：

第二课时3.1.1椭圆及其标准方程

（二）

熟练掌握椭圆的两个标准方程

两种椭圆标准方程的应用

探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：

1、椭圆定义：

平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

2、椭圆的标准方程

（二）、引入新课

例1、已知B、C是两个定点，∣BC∣=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.

分析：

在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.

在右图中，由△ABC的周长等于16，∣BC∣=6可知，点A到B、C两点的距离之和是常数，即

∣AB∣+∣AC∣=16－6=10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）

如右图，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.

由已知∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=16，∣BC∣=6，有∣AB∣+∣AC∣=10，即点A的轨迹是椭圆，且

2c=6,2a=16－6=10

∴c=3,a=5,b2=52－32=16

但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是

说明：

①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；

②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.

例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点坐标分别是（-3，0），（3，0），椭圆经过点（5，0）.

（2）两个焦点坐标分别是（0，5），（0，-5），椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.

（1）∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：

∵

，2c=6.

∴

∴所求椭圆的方程为：

.

（2）∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为

∴所求椭圆方程为：

例3、已知椭圆经过两点（，求椭圆的标准方程

设椭圆的标准方程

则有

，解得

所以，所求椭圆的标准方程为

例4、已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程

以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10

再根据椭圆定义得

所以顶点A的轨迹方程为（≠0）（特别强调检验）

（三）、课堂练习：

课本P65页1、2、3

补充题：

写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

（口答）

（1）a=4,b=3,焦点在x轴；

（2）a=5,c=2,焦点在y轴上.（答案：

；

）

（2）已知三角形ΔABC的一边∠长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程

以BC边为x轴，BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程为：

若以BC边为y轴，BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，

其方程为：

（四）、小结：

本节课我们学习了椭圆的标准方程的简单应用；

②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.注意待定系数法的运用。

（1）椭圆的定义及其标准方程；

（2）标准方程中的关系；

（3）焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系.

（五）、课后作业：

习题3-1A组中2、3、4、5

四、教学反思：

第三课时3.1.2椭圆的简单几何性质

（一）

（1）知识与技能：

掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握几何意义以及的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

（2）过程与方法：

利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；

以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。

（3）情感、态度与价值观：

通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；

通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。

二、教学重点、难点：

重点：

从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；

从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。

难点：

椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。

（一）、复习与引入过程：

引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；

②由方程的性质得到椭圆的对称性；

③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；

④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§

2．1．2椭圆的简单几何性质．

（二）、新课探析

（1）、通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．

提问：

研究曲线的几何特征有什么意义？

从哪些方面来研究？

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．

（2）、椭圆的简单几何性质：

①范围：

由椭圆的标准方程可得，，进一步得：

，同理可得：

，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；

②对称性：

由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：

先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率：

椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（），

．

（3）例题讲解与引申、扩展

例1、求椭圆的长轴和短轴的长、离心

率、焦点和顶点的坐标．

由椭圆的方程化为标准方程，容易求出．引导

学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可

求相关量．

扩展：

已知椭圆的离心率为，求的值．

解法剖析：

依题意，，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：

①当焦点在轴上，即时，有

，∴，得；

②当焦点在轴上，即时，有

，∴

．

例2、如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．

建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为，算出的值；

此题应注意两点：

①注意建立直角坐标系的两个原则；

②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

例3、如图，设与定点的距离和它到直线：

的距离的比是常数，求点的轨迹方程．

若设点，则，到直线

：

的距离，则容易得点的轨迹方程．

引申：

（用《几何画板》探究）若点与定点的

距离和它到定直线：

的距离比是常数，则点的轨迹方程是椭圆．其中定点是焦点，定直线：

相应于的准线；

由椭圆的对称性，另一焦点，相应于的准线：

课本P68页中1、2

（四）、反思小结：

（1）、利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程画为标准方程，然后找出相应的。

利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性；

（2）、掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：

①以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；

②由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；

③用曲线将四个顶点连成一个椭圆；

④画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性。

课本习题3-1A组中6、7、8

第四课时3.1.2椭圆的几何性质

（二）

１．熟悉椭圆的几何性质；

2．了解椭圆的简单应用．

椭圆的几何性质的应用

1、椭圆定义、椭圆的标准方程

2、椭圆的几何性质

1．椭圆的第二定义:

一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率

2．椭圆的准线方程

对于，相对于左焦点对应着左准线；

相对于右焦点对应着右准线焦点到准线的距离

（焦参数）

注：

（1）椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

（2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称

（三）例题探析

例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（１）经过点Ｐ（－３，０）、Ｑ（０，－２）；

（２）长轴的长等于２０，离心率等于．

（１）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点Ｐ、Ｑ分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得a=3,b=2.

又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为．

（２）由已知，2a=20,,

由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为

或．

此题要求学生熟悉椭圆的几何性质，并注意区分两种椭圆标准方程．

例2、求下列椭圆的准线方程：

（1）

（2）

解析：

将方程化为标准方程，利用性质可求解。

例3、椭圆上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离

利用椭圆定义。

例4、如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆。

已知它的近地点（离地面最近的点）距地面，远地点（离地面最远的点）距地面，并且、、在同一直线上，地球半径约为，求卫星运行的轨道方程（精确到）．

如图，建立直角坐标系，使点在轴上，为椭圆右焦点（记为左焦点），

设椭圆标准方程为（），

则

解得：

所以，卫星的轨道方程是．

（三）、小结：

本节课我们学习了椭圆的椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）．1、掌握椭圆的几何性质：

范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；

２、掌握椭圆标准方程中a、b、c、e之间的关系。

1、求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．

把已知方程化为标准方程，，，∴，

∴椭圆长轴和短轴长分别为和，离心率，

焦点坐标，，顶点，，，．

2、（06山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）

（A）（B）（C）（D）

3、（xx全国，15）设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是。

（1）不妨设椭圆方程为（a>

b>

0），则有，据此求出e＝，选B。

（2）；

由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为，∴，∴，∴，即e=。

课本习题3-1B组中1、2、3

第五课时3．2.1抛物线及标准方程

（一）

1、知识与技能：

掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线。

2、过程与方法：

通过对抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析和概括的能力，提高建立坐标系的能力，由圆锥曲线的统一定义，形成学生对事物运动变化、对立、统一的辨证唯物主义观点。

3、情感、态度与价值观：

通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生勇于探索、严密细致的科学态度，通过提问、讨论、思考等教学活动，调动学生积极参与教学，培养良好的学习习惯。

（1）抛物线的定义及焦点、准线；

（2）利用坐标法求出抛物线的四种标准方程；

（3）会根据抛物线的焦点坐标，准线方程求抛物线的标准方程。

教学难点：

（1）抛物线的四种图形及标准方程的区分；

（2）抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。

启发引导法（通过椭圆第二定义引出抛物线）。

依据建构主义教学原理，通过类比、归纳把新知识化归到原有的认知结构中去（二次函数与抛物线方程的对比，移图与建立适当建立坐标系的方法的归纳）。

利用多媒体教学

椭圆的定义。

（二）、探析新课：

1.抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线

2．推导抛物线的标准方程：

如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=（>

0）,那么焦点F的坐标为，准线的方程为，

设抛物线上的点M（x,y），则有

化简方程得方程叫做抛物线的标准方程

（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是

（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：

，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下

3．抛物线的准线方程：

如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=（>

0），则抛物线的标准方程如下：

（1）,焦点:

，准线：

（2）,焦点:

（3）,焦点:

（4）,焦点:

相同点：

（1）抛物线都过原点；

（2）对称轴为坐标轴；

（3）准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即

不同点：

（1）图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；

图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为

（2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；

开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号

（1）建立坐标系是坐标法的思想基础，但不同的建立方式使所得的方程繁简不同，布置学生自己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力，提高教学效果，进一步明确抛物线上的点的几何意义

（2）猜想是数学问题解决中的一类重要方法，请同学们根据推导出的

（1）的标准方程猜想其它几个结论，非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力，帮助他们形成良好的直觉思维—数学思维的一种基本形式另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式，也比老师直接写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好

（3）对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结，让学生通过对比分析全面深刻地理解和掌握它们

例1、

（1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程

（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程

（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可；

（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。

（1）p＝3，焦点坐标是（，0）准线方程是x＝－．

（2）焦点在y轴负半轴上，＝2，

所以所求抛物线的标准议程是．

例2、已知抛物线的标准方程是

（1）y2＝12x，

（2）y＝12x2，求它的焦点坐标和准线方程．

这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是

（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，

（2）求出参数p的值．

（1）p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是x＝－3．

（2）先化为标准方程，，焦点坐标是（0，），准线方程是y＝－.

例3、求满足下列条件的抛物线的标准方程：

（1）焦点坐标是F（－5，0）；

（2）经过点A（2，－3）

抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况（如第

（2）小题）.

（1）焦点在x轴负半轴上，＝5，所以所求抛物线的标准议程是．

（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：

y2＝2px或x2＝－2py．点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝

点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y

1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程

（1）y2＝8x

（2）x2＝4y（3）2y2＋3x＝0（4）

2．根据下列条件写出抛物线的标准方程

（1）焦点是F（－2，0）

（2）准线方程是

（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上（4）经过点A（6，－2）

3．抛物线x2＝4y上的点p到焦点的距离是10，求p点坐标

课堂练习答案：

1．

（1）F（2，0），x＝－2

（2）（0，1），y＝－1（3）（，0），x＝（4）（0，），y＝2．

（1）y2＝－8x

（2）x2＝－y（3）x2＝8y或x2＝－8y

（4）　或　3．（±

6，9）

练习时注意

（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；

（2）p表示焦点到准