用空间向量求解二面角二人教A版含答案.docx
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用空间向量求解二面角二人教A版含答案
用空间向量求解二面角
(二)(人教A版)
一、单选题(共8道,每道12分)
1•如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA丄平面ABCD,PA=AD=AG点F为PC中点,则二面角C-BF-D的余弦值为()
答案:
A解题思路:
-BF--VLd-0
设兀与HD交于点0连接OF,则有OF丄平面.掳CD,
以0为坐标原点*建立如图所示的空间直角坐标系,
设PA=AD=AC=2^则QB=0D=^3,
则0(若,0,0〕,F©0,哄u©1,0),d〈-晶a0);
易知平面BFD的一个祛向量为0C=(0,I设平面RFC的怯向量为==(xx2),
由BC^=(诺1,0),济=「品0,1),
不劝取.r=l,则法问量£=(1羽、\/5).
观察图形,可知二面角C-BF-D为锁角,故选H
试题难度:
三颗星知识点:
用空间向量求二面角
2.如图,在直三棱柱-中,D,E分别是BC和'-的中点,已知
答案:
B
解题思路:
以弓为坐标原点,建立如图所示的空间直莆坐标系,
C((X4,0)7
&(0,42),耳(40,4);
设平面厂:
的袪冋量齿g=(和yv可)・
r
:
•£E二斗旳十2右二0由旋^(64.2),A^=(2r2,0;,1#
«-AD=2x^+2”=0
不妨取可=1,则一个法向量彳=(h-1,2);同理'可求出平面乂碣的一个法问量诂=(21,-2”
观察图形!
可知二面角BX-AE-D为銳角,故选B-
试题难度:
三颗星知识点:
用空间向量求二面角
3•如图,四边形ABCD为正方形,PD丄平面ABCD,/DPC=30°,AF丄PC于点F,FE//CD,交
PD于点E,则二面角D-AF-E的余弦值为()
A.-B.
C.D•丁
答案:
D
解题思路:
TFD丄平面ABCD.平面户CO丄平面加CD*
'.'ADLCD.:
.AD丄平面尸CD:
.AD1PC.
\'AF丄尸G,二尸匚丄平面.WF,二尸C■丄DF设正方形的边长为1,则心.吨,施伞迟扌
以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系‘
观察图形,二面角D-AF-E为锐角,敲选D.
试题难度:
三颗星知识点:
用空间向量求二面角
4•如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD//BC,/ABC=/PAD=90°,
PA=AB二BC=-AD
侧面PAD丄底面ABCD,若二,则二面角A-PD-C的正弦值为()
A.B.」
^6&
D.-
答案:
A
解题思路:
'J^PAD=90°,侧面?
JDL底面ABCD,APjI平面MCD,
VZJ£C=9O=?
ADll^C,二胭丄二卫月丄平面PAD,i殳尸*二1,^AB=BC=i.AD=2.
以』为坐标康点,建立如图所示的空间直甬坐标系,
则恥m0)fPgOp1),e(l,0,0),C(1L0LD(Of2P0).由前面的分析*朋丄平面刃d
则平面E3的一个法向量为AB=(y.0,Q”
设平面PCD的祛向量为g三伽y,z)j
由希=(0,2,—1)?
訪=(—h1,0)f
~k-PD-2y—z-0P不妨职尸h得一个袪向量誤仙h2)
2CD三-zc+y=0
令二面角A-PD-C的大小为6,
_.\~n-~AB^|]底
贝U|cos|cosAB半===-—-,
故选扎
试题难度:
三颗星知识点:
用空间向量求二面角
5•如图,四边形ABCD是矩形,
BC丄平面ABEF四边形ABEF是梯形,/EFA=ZFAB=90°
EF=FA=AD=1点M是DF的中点,匕,则二面角B-AC-E的正切值为()
A.B.-'-~
答案:
C
解题思路:
T四边形ABCD是矩形,EC丄平面貝庞只-TD丄平面H归,又ZEF4"朋=9叽:
.AF1AB,
以T为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
^AB=a.贝U虫⑪①0),F(l,0,0),
°|),E(LL0)sUm.
-■CM=^-,刃=(丄,—希―丄),
222
■*■|CM\=丄十/十丁=-^—,解得(J=2
\442
易知平面.出U的一个法向量为A?
=(L0,0):
设平面4CE的祛向量为;=(兀严勿,
捋=(0,2.I).
不妨取x=l,则一个法问量为b=(b-K2)令二面角B-AC-E的的大/卜为艮
观察圏形,知%(0.专),
则|冃cos<
点护I_1_76
sm6*=
6
故选C
试题难度:
三颗星知识点:
用空间向量求二面角
6•如图,平面ABCD丄平面BCEF且四边形ABCD为矩形,四边形BCEF为直角梯形,
BF//CEBC丄CEDC=CE=4BC=BF=2则平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为()
D.T
答案:
D
解题思路:
■「平面A3CD丄平面BCEFt丘匚丄CE,-\C£1平面ABCD,T四边形肋d为矩形,.WM.
以C为坐标原点,建立如圈所示的空间直角坐标系,
则erg0,0).D(0,0(4),心0,4),Eg40).由前面的分析,3丄平面BCEF,
则平面BCEF的一牛法向量为CD=(^0,4);
i殳平面■的法直量为:
二(石y9e)・
:
-应?
=-2兀=0由荷二(70,0),D^=(0r4,-4),得{
UDE=4尹-4左=0
不妨取尸1,则一卜法问量T=(o,h1).
IM'CD|4J
|7||方「忘旷2
故选D一
试题难度:
三颗星知识点:
用空间向量求二面角
7•如图,四棱锥S-ABCD中,SD丄底面ABCD,AB//DC,AD丄DC,AB=AD=1,DC=SD=2E为棱SB上的一点,平面EDC丄平面SBC则平面ADE与平面DEC所成锐二面角的大小为()
7L71
AJ-B.1'
JI7T
cF
答案:
D
解题思路:
以D为塑标原点*建立如图所示的空间直角坐标系,
设晟二見丽=兄(1,1,-2)=(兄九-2劝.
「•房=雨+啓=(凡召2—2册’对2,Q〕,可解得平面EZM的一个法问量为^=(2-2A0,-丸);同理可解得平面仞C的一个法向量为扇=工h1)?
T平面EDC丄平面期U
•■彳g=0‘即2—2A-J=0f解得丸二牛由D^=(1,ftO)?
D^=(|5|,|),可辭得平面疋加的一个法向量为石二(OP1,-1);
I彳石1-[
■■Icos1=7^11^7=2~^__二=?
1I创为I一忑x忑
3
・■・平面他F与平面DEC所成锐二面角的大小为寻故选D.
试题难度:
三颗星知识点:
用空间向量求二面角
8•如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF//AB,EF丄FB,AB=2EF=2
/BFC=90,°BF=FCH为BC的中点,则平面BDE与平面CDE所成锐二面角的大小为()
7L71aJ-B.''
717T
c—
答案:
D
解题思路:
EFIIab,efLfb,^abLfb,
T四边J^ABCD是正方形,「・*£lBCf:
.AB丄平面阳C■\FHLAB.
TBF=FC*/T为序C的中点,/.FHLBC.二皿丄底面.i£CD-
如图,令且Q与戲)相交于点6连接OQ0H.
TZTP肿…边=1TF・・■•四边形OZTR为姬形,■-'50=2,Z^FC=90\BF=FC,二FH=BH=EC=L以召为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则肌1,0,0),0(-1,-2,0),&(Q,-11),CC-1050).
由肃=(-2・一N0),J/=(-1s-Ll)s
可解得平^BDE的一个法向量为彳=(1,-L0)5
由C^=(0f-2,0),r^=(l,L1),
可解得平面CDF的一个法向量为石=〔1,0,-l)j
平面BDE与平面CDE所威锐二面角的大/卜为£.故选D.
试题难度:
三颗星知识点:
用空间向量求二面角