二 圆Word文档下载推荐.docx

二 圆Word文档下载推荐.docx

《二 圆Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二 圆Word文档下载推荐.docx（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

（4）化方程f（x,y）＝0为最简形式，简称化简方程；

（5）证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明。

其中步骤

（1）（3）（4）必不可少。

问题4：

当a>

0时，√f（x）＝a与f（x）=a2是同解方程吗？

当a>

0时f（x）＝a2<

＝>

（√f（x）－a）（√f（x）＋a）＝0<

√f（x）-a=0<

√f（x）=a，故当a>

0时，√f（x）=a与f（x）=a2是同解方程。

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程。

（二）建立圆的标准方程

1.建系设点

由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法。

教师指出：

这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导。

因为C是定点，可设C（a,b）、半径r，且设圆上任一点M坐标为（x,y）。

2.写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}.

3.列方程

由两点间的距离公式得：

√（x－a）2+（y-b）2=r.

4.化简方程

将上式两边平方得：

（x－a）2＋（y－b）2=r2.

方程

（1）就是圆心是C（a,b）、半径是r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

这时，请大家思考下面一个问题。

问题5：

圆的方程形式有什么特点？

当圆心在原点时，圆的方程是什么？

这时二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x,y的系数都是1.点（a,b）、r分别表示圆心的坐标和圆的半径。

当圆心在原点即C（0,0）时，方程为x2+y2=r2。

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r>

0,圆的方程就给定了。

这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件。

注意，确定a、b、r,可以根据条件，利用待定系数法来解决.

（三）圆的标准方程的应用

例1写出下列各圆的方程：

（请四位同学演板）

（1）圆心在原点，半径是3；

（2）圆心在点C（3,4），半径是√5;

（3）经过点P（5,1），圆心在点C（8,-3）；

（4）圆心在点C（1,3），并且和直线3x-4y-7=0相切

教师纠错，分别给出正确答案：

（1）x2+y2=9;

（2）（x-3）2+（y-4）2=5;

（3）（x-8）2+（y+3）2=25;

（4）（x-1）2+（y-3）2=256/25

指出：

要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程。

例2说出下列圆的圆心和半径：

（学生回答）

（1）（ｘ－3）2＋（ｙ－２）2＝5；

（2）（ｘ＋4）2＋（ｙ＋3）2＝７；

（3）（ｘ＋２）2＋ｙ2＝4。

已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆

心和半径。

例3

（1）已知两点Ｐ1（4，9）和Ｐ2（6，3），求以Ｐ1　、Ｐ2　为直径的圆的方程；

（2）试判断点Ｍ（6，9）、Ｎ（3，3）、Ｑ（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外？

解

（1）：

分析一：

从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决。

解法一：

（学生口答）

设圆心C（a,b）、半径ｒ，则由Ｃ为P1P2的中心得：

a＝4+6/2＝5，b＝9+3/2=6

又由两点间的距离公式得：

r=|CP1|=√（4-5）2+（9-6）2=√10。

∴所求圆的方程为：

（x－5）2+（y-6）2=10

分析二：

从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决。

解法二：

（给出板书）

∵直径上的圆周角是直角，

∴对于圆上任一点P（x,y）,有PP1⊥PP2.

Kpp1•kpp2=-1.

即y－9/x-4•y-3/x-6=-1.

化得得：

x2+y2-10x-12y+51=0.

即（x－5）2+（y-6）2=10为所求圆的方程。

解

（2）：

（学生阅读课本）

分别计算点到圆心的距离：

|CM|＝√（6-5）2+（9-6）2=√10

|CN|＝√（3-5）2+（3-6）2＝√13>

√10；

|CQ|＝√（5-5）2+（3-6）2＝3<

√10.

因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。

这时，教师小结本题：

1.求圆的方程的办法

（1）待定系数法，确定a,b,r;

（2）轨迹法，求曲线方程的一般方法。

2.点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d，圆半径为r；

（1）点在圆上d＝r;

（2）点在圆外d>

r;

（3）点在圆内d<

r.

3.以A（x1,y1）、B（x2,y2））为直径端点的圆的方程为（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y-y2）=0（证明留作作业）

例4图2-10是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。

该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）。

此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：

（1）先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；

（2）用待定系数法求圆的标准方程；

（3）要注意P2的横坐标x=-2<

0,纵坐标y>

0,所以A2P2的长度只有一解。

（四）本课小结

1.圆的方程的推导步骤；

2.圆的方程的特点：

点（a,b）、r分别表示圆心坐标和圆的半径；

3.求圆的方程的两种方法：

（1）待定系数法；

（2）轨迹法。

五、布置作业

1.求下列条件所决定的圆的方程：

（1）圆心为C（3,-5），并且与直线x-7y+2=0相切；

（2）过点A（3,2），圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切。

2.已知：

一个圆的直径端点是A（x1,y1）、B（x2,y2）.

证明：

圆的方程是（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0.

3.一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是（－4,0）和（4,0），求它的外接圆的方程。

4.赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程。

作业答案：

1.

（1）（x－3）2+（y+5）2=32

（2）（x－2）2+（y-4）2=5或（x-4/5）2+（y-8/5）2=5

2.因为直径的端点为A（x1,y1）、B（x2,y2），则圆心和半径分别为（x1+x2/2,y1+y2/2）•1/2（x1-x2）2+（y1-y2）2）

所以圆的方程为

（x-x1+x2/2）2+（y-y1+y2/2）2=（x1-x2）2+（y1-y2）2/4

化简得：

x2-（x1+x2）x+x1x2+y2-（y1+y2）y+y1y2=0

即（X-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0

3.x2+（y±

9/10）2=（41/10）2

4.如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：

x2+（y+27.88）2＝27.882（－7.2≤y≤0）

六、板书设计

问题1

问题2

问题3

问题4

问题5

（三）方程应用

例1

例2

例3

例4

（四）全课小结

2.6圆的一般方程

使学生掌握圆的一般方程的特点；

能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；

能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

（二）能力熟练点

使深长掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力。

通过对待定系数法的学习为进一步学习教学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础。

1、重点：

（1）能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；

（2）能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

（1）要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；

（2）加强这方面题型训练）

2、难点：

圆的一般方程的特点。

引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆。

3、疑点：

圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F〉0

通过对方程配方分三种讨论易得限制条件）

讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板。

（一）复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2,现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0.请大家思考一下：

形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？

下面我们来深入研究这一方面的问题。

复习引出课题为“圆的一般方程”。

（二）圆的一般方程的定义

1.分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：

（x+D/2）2+（y+E/2）2=D2+E2-4F/4

（1）当D2+E2-4F>

0时，方程

（1）与标准方程比较，可以看出方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以（－D/2,-E/2）为圆心1/2√D2+E2-4F为半径的圆；

（2）当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有实数解x＝－D/2,y=-E/2,所以表示一个点（－D/2,-E/2）；

（3）当D2+E2-4F<

0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形。

这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆点或无轨迹。

特别指出：

在轨迹是圆时，圆心为（－D/2,-E/2），半径为1/2√D2+E2-4F，不要死记结果，要熟悉通过配方求圆心和半径的方法。

2.圆的一般方程的定义

当D2+E2-4F>

0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程。

（三）圆的一般方程的特点

请同学们分析下列问题：

问题：

比较二元二次方程的一般形式

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.

（2）

与圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0,（D2+E2-4F>

0）.（3）

的系数可得出什么结论？

启发学生归纳结论。

当二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：

（1）x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0;

（2）没有xy项，即B=0;

（3）D2+E2-4AF>

0.

它才表示圆。

条件（3）通过将方程同除以A或C配方不难得出。

教师还要强调指出：

（1）条件

（1）、

（2）是二元二次方程

（2）表示圆的必要条件，但不是充分条件；

（2）条件

（1）、

（2）和（3）合起来是二元二次方程

（2）表示圆的充要条件。

（四）应用与举例

同圆的标准方程（x－a）2+（y-b）2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆。

下面看一看它们的应用。

例1求下列圆的半径和圆心坐标：

（1）x2+y2-8x+6y=0,

（2）x2+y2+2by=0.

此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：

（1）圆心为（4,-3），半径为5;

（2）圆心为（0,-b），半径为|b|，注意半径不为b.

同时强调：

由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握。

例2求过三点0（0,0）、A（1,1）、B（4,2）的圆的方程。

解：

设所求圆的方程为X2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、A、B在圆上，则有

F=0

D+E+F+2=0

4D+2E+F+20=0

解得：

D=-8,E=6,F=0,

故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0.

例2小结：

1.用待定系数法求圆的方程的步骤：

（1）根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；

（2）根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

（3）解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程。

2.关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：

一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；

如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程。

再看下例：

例3求圆心在直线l：

x+y=0上，且过两圆C1:

x2+y2-2x+10y-24=0和C2:

x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程。

解方程组x2+y2-2x+10y-24=0

得两圆交点为

x2+y2+2x+2y-8=0

（－4,0），（0,2）。

设所求圆的方程为（x－2）2+（y-b）2=r2,因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为

（－4-a）2+b2=r2

a2＋（2-b）2=r2

a+b=0

a＝－3,b=3,r=√10

故所求圆的方程为：

（x+3）2+（y-3）2=10。

这时，教师指出：

（1）由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程。

（2）此题也可以用圆系方程来解：

设所求圆的方程为：

x2+y2-2x+10y-24+λ（x2+y2+2x+2y-8）=0（λ≠-1）

整理并配方得：

[x-（1-λ）/（1+λ）]2+（y+（5+λ）/（1+λ））2＝（24+8λ）/（1+λ）+[（1-λ）/（1+λ）]2+[（5+λ）/（1+λ）]2

∴圆心为〔（1-λ）/（1+λ）,（5+λ）/（1+λ）.

由圆心在直线l上得λ＝－2。

将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念。

例4已知一曲线是与两定点0（0,0）、A（3,0）距离的比为1/2的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线。

此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：

（1）由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲

线方程，设曲线上任一点M（x,y），由求曲线方程的一般步骤可求得：

（2）应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形。

（五）小结

1.圆的一般方程的定义及特点；

2.用配方法求出圆的圆心坐标和半径；

3.用待定系数法，导出圆的方程。

1.求下列各圆的一般方程：

（1）过点A（5,1），圆心在点C（8,-3）;

（2）过三点A（-1,5）、B（5,5）、C（6,-2）

2.求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程。

3.等腰三角形的顶点是A（4,2），底边一个端点是B（3,5），求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么。

4.A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使<

APB=<

BPC，求动点P的轨迹。

1.

（1）x2+y2-16x+6y+48=0

（2）x2+y2-4x-2y-20=0

2.x2+y2-x+7y-32=0

3.所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0（x≠3，x≠5），轨迹是以A为圆心、√10为半径的圆，但除去两点

4、以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A（-a，0），C（C，O）（a>

0，c>

0），P（x，y），可得方程为：

（a2-c2）x2+（a2-c2）y2-2ac（a+c）x=0

当a=c时，则得x=0（y≠0），即y轴去掉原点；

当a≠c时，则得（x-ac/a-c）2+y=（ac/a-c）2，即以（ac/a-c）为半径的圆去掉它与x轴的两个交点。

（一）圆的一般方程的定义

1、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

表示的轨迹

2、定义

（二）圆的一般方程的特点

（三）应用与举例

小结

（四）小结

1.

2.

3.

2.7点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系

使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；

过圆上一点的圆的切线方程，判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法；

两圆位置关系的几何特征和代数特征。

通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学，培养学生综合运用圆有关方面知识的能力。

点与圆、直线与圆以圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化。

（1）直线和圆的相切（圆的切线方程）、相交（弦长问题）；

（2）圆系方程应用。

（1）使学生掌握相切的几何特征和代数特征，过圆上一点的圆的代数方程，弦长计算问题；

（2）给学生介绍圆与圆相交的圆系方程的证明）

归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习。

（一）知识准备

我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”，为了更好地讲解这个课题，我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识。

1、点与圆的位置关系

设圆C：

（x-a）2+（y-b）2=r2，点M（x0，yo）到圆心的距离为d，则有：

（1）d＞r点M在圆外；

（2）d＞r点M在圆上；

（3）d＞r点M在圆内。

2、直线与圆的位置关系

（xa）2+（y-b）=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心（a，b）到直线l的距离为d，（x-a）2+（y-b）2=r2

Ax+By+C=0消去y得x的一元二次方程判别式为△，则有：

（1）d＞r直线与圆相交；

（2）d＞r直线与圆相切；

（3）d＞r直线与圆相离了几何特征；

或

（1）△＞0直线与圆相交；

（2）△=0直线与圆相切；

（3）△＜0直线与圆相离，即代数特征；

3、圆与圆的位置关系

设圆C1：

（x-a）2+（y-b）2=r2和圆C2：

（x-m）2+（y-n）2=k2（k≥r），且设两圆圆心距为d，则有：

（1）d=k+r两圆外切；

（2）d=k-r两圆内切；

（3）d＞k+r两圆外离；

（4）d＜k+r两圆内含；

（5）k-r＜d＜k+r两圆相交；

4、其他

（1）过圆上一点的切线方程：

①圆x2+y2=r2，圆上一点为（x0，y0），则此点的切线方程为xOx+yOy=r2（课本命题）。

②圆（x-a）2+（y-b）2=r2，圆上一点为（xo，yo），则过此点的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2（课本命题的推广）。

（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：

x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2：

x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0

（3）圆系方程：

①设圆C1：

x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程）

②设圆C：

x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：

Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0（λ为参数）

（二）应用举例

例1已知圆x2+y2=16与斜率为-1/2的直线相切，求这切线的方程和切点坐标。

分析：

求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：

（1）从代数特征分析；

（2）从几何特征分析，一般来说，从几何特征分析计算量要小些，该例题由学生演板完成。

设切线的方程为y=-1/2x+b

∵圆心O（O，O）到切线的距离为4，

∴|2b|/√5=4，即b=±

2√5

∴所求的切线方程为y=-1/2±

把这两个切线方程写成

4/√5x+8/√5y=16及-4√5x-8/√5y=16

注意到过圆x2+y2=r2上的一点P（x0，yO）的切线的方程为x0x+yOy=r2，可以看出，切点坐标为（4/√5，8/√5）及（-4/√5，8/√5）

例2已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2≠0，求证直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q，并求弦PQ的长。

证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△＞0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成。

证：

设圆心O（0，0）到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d=|C|/√A2+B2=|C|/√2C2=1/√2＜1

∴直线Ax+By+C=0与圆x2+y1=1相交于两个不同点P、Q

如图2-12，|OM|=d=√2/2，|OP|=1

∴|PQ|=2|MP|=2√|OP|2-|OM|2=√2

故|PQ|=√2

例3求以圆C1：

x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：

x2+y2-12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程。

联立两圆方程x2+y2-12x-2y-13=0、x2+y2-12x+16y-25=0相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0再由4x+3y-2=0、x2+y2-12x-2y-13=0联立得两圆点坐标A（-1，2），B（5，-6）

∵所求圆以AB为直径，

∴圆心是AB的中心点M（2，-2），圆的半径为r=1/2|AB|=5

于是圆的方程为（x-2）2+（y+2）2=25

x2+y2-12x-2y-13+λ（x2+y2+12x+16y-25）=0（λ为参数）

得圆心C（-12λ-12/2（1+λ），16λ-2/2（1+λ））

∵圆