中考数学黄金知识点系列专题13平行线的证明.docx
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中考数学黄金知识点系列专题13平行线的证明
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中考数学黄金知识点系列专题13平行线的证明
______年______月______日
____________________部门
聚焦考点☆温习理解
一.命题
1.命题：
判断一件事情的语句，叫做命题.
2.真命题：
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题.
3.假命题：
如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫假命题．
4.互逆命题：
在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
二、平行线的判定与性质
（1）平行线的性质
如果两直线平行，那么同位角相等；
如果两直线平行，那么内错角相等；
如果两直线平行，那么同旁内角互补.
（2）平行线的判定
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行.
2.平行线的基本事实（即平行公理）
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、推理论证
【例1】小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：
这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是
选手答案题号
1
2
3
4
5
得分
小聪
B
A
A
B
A
40
小玲
B
A
B
A
A
40
小红
A
B
B
B
A
30
【答案】BABBA
【解析】
考点：
推理与论证．
【点睛】解答推理问题，要先从已知条件出发，通过类比、分类讨论等方法找出矛盾点，得出结论，解题时容易出错的地方是不能根据得分推导小聪、小玲有可能做错的题目而导致结论错误.
【举一反三】
如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：
假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y=（ ）
A．2B．3C．6D．x+3
【答案】B．
【解析】
考点：
整式的加减．
考点典例二、命题的真假
【例2】（20xx年福建龙岩第4题）下列命题是假命题的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根
【答案】A.
【解析】
试题分析：
选项A：
若a=1，b=-1，则|a|=|b|，但a≠b，此命题为假命题；选项B：
两直线平行，同位角相等是真命题；选项C：
对顶角相等是真命题；选项D：
若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根是真命题.故选A.
考点：
命题与定理.
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握有关的知识.．
【举一反三】
（20xx内蒙古包头第10题）已知下列命题：
①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0=1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D．
【解析】
考点：
命题与定理．
考点典例三、平行线的判定
【例3】如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A．∠C=∠ABEB．∠A=∠EBDC．∠C=∠ABCD．∠A=∠ABE
【答案】D．
【解析】
试题分析：
在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
试题解析：
A、∠C=∠ABE不能判断出EB∥AC，故A选项不符合题意；
B、∠A=∠EBD不能判断出EB∥AC，故B选项不符合题意；
C、∠C=∠ABC只能判断出AB=AC，不能判断出EB∥AC，故C选项不符合题意；
D、∠A=∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故D选项符合题意．
故选：
D．
考点：
平行线的判定．
【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
【举一反三】
1.如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，内错角相等
【答案】A．
【解析】
考点：
作图—基本作图；平行线的判定．
2.如图，直线a，b被直线e，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（）.
A.55°B.60°C.70°D.75°
【答案】A.
【解析】
试题分析：
∵∠1=∠2，∴a∥b,∴∠3的对顶角＋∠4=180º，∠3的对顶角=∠3=125°，∴∠4=180º-125º=55º，故选A.
考点：
平行线的性质与判定.
考点典例四、平行线的性质
【例3】（20xx内蒙古××市、兴安盟第7题）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40°B．30°C．70°D．50°
【答案】A．
【解析】
考点：
等腰三角形的性质；平行线的性质．
【点睛】利用平行线的性质求角的大小的方法有两种：
一是先根据平行线的性质求得与已知角互补或相等的角，再利用互补或相等关系得到答案；二是先求得与已知角互补或相等的角，再利用平行线的性质求得所求的角的大小.
【举一反三】
1.（20xx贵州遵义第4题）如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为（ ）
A．90° B．85° C．80° D．60°
【答案】A．
【解析】
考点：
平行线的性质．
2.（20xx广西来宾第2题）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
【答案】C．
【解析】
试题分析：
A．∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意，B．∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意，C．∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a∥b，∴符合题意，D．∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b，∴不符合题意，故选C．
考点：
平行线的判定．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1.（20xx湖南永州第7题）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
【答案】B．
【解析】
考点：
线段的性质；垂线段最短；圆的认识；三角形的稳定性．
2.（20xx湖南娄底第4题）下列命题中，错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．内错角相等
【答案】D．
【解析】
试题分析：
选项A，根据平行四边形的判定可知，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确．选项B，根据矩形的判定可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确．选项C，根据菱形的判定可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确．选项D，内错角相等，错误，缺少条件两直线平行，内错角相等．故答案选D．
考点：
命题.
3.下列命题中，真命题的个数是（ ）
①若，则；
②若，则；
③凸多边形的外角和为360°；
④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B．
【解析】
考点：
命题与定理．
4.（20xx广西河池第2题）如图，AB∥CD，∠1=50°，则∠2的大小是（ ）
A．50° B．120° C．130° D．150°
【答案】C．
【解析】
试题分析：
如图，∵AB∥CD，∴∠A+∠3=180°，∴∠3=130°，∴∠1=∠3=130°．故选C．
考点：
平行线的性质．
5.（20xx贵州贵阳第3题）如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1=38°，则∠2的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．142°
【答案】B．
【解析】
考点：
平行线的性质．
6.（20xx青海第6题）如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线，若∠B=71°，则∠BAC= ．
【答案】38°．
【解析】
试题分析：
用平行线求性质可得∠EAD=∠B=71°，再用角平分线求出∠EAC=2∠EAD=2×71°=142°，最后用邻补角求出∠BAC=38°．
考点：
三角形的外角性质；平行线的性质．
7.（20xx辽宁营口第4题）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（ ）
A．85° B．70° C．75° D．60°
【答案】C．
【解析】
试题分析：
∵AB∥OC，∠A=60°，∴∠A+∠AOC=180°，∴∠AOC=120°，∴∠BOC=120°﹣90°=30°，∴∠DEO=∠C+∠BOC=45°+30°=75°；故选C．
考点：
平行线的性质．
8.（20xx江苏盐城第6题）如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1=110°，则∠2等于（ ）
A．50° B．70° C．90° D．110°
【答案】B．
【解析】
考点：
平行线的性质．
二、填空题
9.如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F=．
【答案】9.5°．
【解析】
考点：
平行线的性质．
10.如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠C＝27°则∠E的度数为__________.
【答案】29°
【解析】
试题分析：
因为AB∥CD，∠A＝56°所以∠DFE＝∠A＝56°，又因为∠DFE＝∠C+∠E，∠C＝27°所以∠E=∠DFE-∠C=56°-27°=29°，故答案为29°.
考点：
1.平行线的性质；2.三角形的外角性质.
11.如图，∠1∠240°，MN平分∠EMB，则∠3°.
【答案】110.
【解析】
试题分析：
∵∠1∠240°,∴∠1MEN=40°,∴AB∥CD,∴∠EMB=180-40=140°,∵MN平分∠EMB,∴∠BMN=140÷2=70°,∴∠3=180-70=110°.
考点：
平行线的判定与性质的应用.
12.如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是________．
【答案】30°
【解析】
考点：
三角形的内角和及其推论．
13.（20xx山东淄博第18题）（5分）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．
【答案】OA∥BC，OB∥AC,理由详见解析.
【解析】
试题分析：
根据已知可得∠1=∠2，∠2+∠3=180°，由同位角相等，两直线平行即可得OB∥AC，由同旁内角互补，两直线平行可得OA∥BC．
试题解析：
OA∥BC，OB∥AC,理由如下：
∵∠1=50°，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∴OB∥AC，
∵∠2=50°，∠3=130°，
∴∠2+∠3=180°，
∴OA∥BC．
考点：
平行线的判定.
3、解答题
14.A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：
胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？
请说明理由．
[注：
单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
【答案】至少7分才能保证一定出线．
【解析】
若A队两胜一负，积6分．
如表格所示，根据规则，这种情况下，A队不一定出线．
同理，当A队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．
总之，至少7分才能保证一定出线．
考点：
推理与论证．
15.（20xx·湖南益阳）（8分）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．
【答案】50°
【解析】
考点：
平行线的性质
16.如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．
【答案】35°．
【解析】
试题分析：
根据垂直定义和邻补角求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．
试题解析：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠1=55°，
∴∠3=35°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=35°．
考点：
平行线的性质．
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