中考数学黄金知识点系列专题34因式分解.docx

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中考数学黄金知识点系列专题34因式分解

专题34因式分解

聚焦考点☆温习理解

1．因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算．

2．基本方法

（1）提取公因式法：

ma＋mb－mc=m（a+b-c）

（2）公式法：

运用平方差公式：

a2－b2=（a+b）（a-b）；

运用完全平方公式：

a2±2ab＋b2=（a±b）2.

3.因式分解的一般步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；

（3）分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；

（4）注意因式分解中的范围，如x4-4=（x2+2）（x2-2）在实数范围内分解因式，继续进行分解：

x4-4=（x2+2）（x2-2）=（x2+2）（x+

）（x-

）,题目不作说明，表明是在有理数范围内因式分解.

（5）分解要彻底。

作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应写成幂的形式．这些统称分解彻底．

名师点睛☆典例分类

考点典例一、因式分解的意义

【例1】下列四个多项式中，能因式分解的是（）

A．a2＋1B．a2－6a＋9

C．x2＋5yD．x2－5y

【答案】B

【解析】

试题分析：

根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得

答案．

试题解析：

A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解；

B、是完全平方公式的形式，故B能分解因式；

故选：

B．

考点：

因式分解的意义．

【点睛】　因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．

【举一反三】

（2016山东潍坊第8题）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　）

A．a2﹣1B．a2+aC．a2+a﹣2D．（a+2）2﹣2（a+2）+1

【答案】C.

【解析】

考点：

因式分解.

考点典例二、提取公因式法分解因式

【例2】（2016内蒙古巴彦淖尔第11题）分解因式：

=_____________．

【答案】

．

【解析】

试题分析：

=

=

．故答案为：

．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

【点睛】

（1）首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；

（2）当某项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；（3）公因式也可以是多项式．

【举一反三】

1.（2016黑龙江哈尔滨第14题）把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是　　　　　　．

【答案】a（x+a）2.

【解析】

试题分析：

ax2+2a2x+a3=a（x2+2ax+a2）=a（x+a）2.

考点：

因式分解.

2.分解因式：

x2+3x（x-3）

-9=

【答案】（x-3）（4x+3）

【解析】

考点：

提取公因式法分解因式

考点典例三、运用公式法分解因式

【例3】①（2016辽宁沈阳第11题）分解因式：

2x2﹣4x+2=　　　　　　．

【答案】2（x﹣1）2．

【解析】

试题分析：

先提取公因式2，再利用完全平方公式进行二次分解即2x2﹣4x+2=2（x2﹣2x+1）=2（x﹣1）2．

考点：

分解因式.

②将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是．

【答案】n（m-1）2．

【解析】

试题分析：

先提取公因式n，再根据完全平方公式进行二次分解．

试题解析：

m2n-2mn+n，

=n（m2-2m+1），

=n（m-1）2．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

【点睛】　

（1）用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；

（2）用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．

【举一反三】

①（2a＋1）2－a2=

；

【答案】（3a+1）（a+1）

【解析】

试题分析：

直接利用平方差公式进行分解即可．

试题解析：

原式=（2a+1+a）（2a+1-a）=（3a+1）（a+1）

考点：

因式分解-运用公式法．

②8（a2＋1）－16a=

【答案】8（a-1）2．

【解析】

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

考点典例四、综合运用多种方法分解因式

【例4】（2016山东东营第12题）分解因式：

a3－16a＝_____________.

【答案】a（a＋4）（a－4）.

【解析】

试题分析：

先提取公因式a，再运用平方差公式分解即可，即a3－16a＝a（a2－16）＝a（a＋4）（a－4）.

考点：

分解因式.

【点睛】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：

一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底．

【举一反三】

1.（2016福建南平第13题）分解因式：

=．

【答案】

．

【解析】

试题分析：

原式=

=

．故答案为：

．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

考点：

零指数幂．

2.分解因式：

x3-6x2+9x=

【答案】x（x-3）2

【解析】

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

考点典例四、因式分解的应用

【例5】计算：

852－152=（）

A．70　　B．700　C．4900　　D．7000

【答案】D．

【解析】

试题分析：

直接利用平方差进行分解，再计算即可．

试题解析：

原式=（85+15）（85-15）

=100×70

=7000．

故选：

D．

考点：

因式分解-运用公式法．

【点睛】

（1）利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；

（2）一个问题有两个未知数，只有一个条件，根据已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解．

【举一反三】

1.若ab=2，a－b=－1，则代数式a2b－ab2的值等于．

【答案】-2.

【解析】

考点：

因式分解-提公因式法．

2.若ab=3，a-2b=5，则a2b-2ab2的值是

【答案】

【解析】

试题分析：

直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．

试题解析：

∵ab=3，a-2b=5，

则a2b-2ab2=ab（a-2b）=3×5=15．

考点：

因式分解-提公因式法．

课时作业☆能力提升

一、选择题

1．下列因式分解中正确的个数为（）

①x3＋2xy＋x=x（x2＋2y）；

②x2＋4x＋4=（x＋2）2；

③－x2＋y2=（x＋y）（x－y）．

A．3个B．2个C．1个D．0个

【答案】C．

【解析】

试题分析：

直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．

试题解析：

解：

①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；

②x2+4x+4=（x+2）2；正确；

③-x2+y2=（x+y）（y-x），故原题错误；

故正确的有1个．

故选：

C．

考点：

因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．

2.（2016湖北宜昌第14题）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：

a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：

昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）

A．我爱美B．宜晶游C．爱我宜昌D．美我宜昌

【答案】C．

【解析】

试题分析：

（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），因为x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C．

考点：

因式分解.

3.下列四个选项中，哪一个为多项式8x2－10x＋2的因式（）

A．2x－2B．2x＋2

C．4x＋1D．4x＋2

【答案】A．

【解析】

考点：

因式分解的意义．

4.（2016山东滨州第3题）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（　　）

A．a=2，b=3B．a=﹣2，b=﹣3C．a=﹣2，b=3D．a=2，b=﹣3

【答案】B.

【解析】

试题分析：

根据多项式乘以多项式的法则可得（x+1）（x﹣3）=x•x﹣x•3+1•x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3，对比系数可以得到a=﹣2，b=﹣3．故答案选B．

考点：

整式的乘法.

5.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（　　）

A．4B．-4C．±2D．±4

【答案】D．

【解析】

考点：

因式分解-运用公式法．

6.若分解因式x2+mx-15=（x+3）（x-5），则m的值为（　　）

A．-2B．2C．-5D．5

【答案】A．

【解析】

试题分析：

先把等式的右边化为x2-2x-15的形式，再求出m的值即可．

试题解析：

∵（x+3）（x-5）=x2-2x-15，

∴m=-2．

故选A．

考点：

因式分解的意义．

7.（昌平区一模）把x2y-4y分解因式，结果正确的是（　　）

A．y（x2-4）B．y（x+2）（x-2）C．y（x+2）2D．y（x-2）2

【答案】B．

【解析】

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

8.把x3-xy2分解因式，正确的结果是（　　）

A．（x+xy）（x-xy）B．x（x2-y2）C．x（x-y）2D．x（x-y）（x+y）

【答案】D．

【解析】

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

二、填空题

9.分解因式：

ab-2a=

【答案】a（b-2）．

【解析】

试题分析：

观察原式，公因式为a，然后提取公因式即可．

试题解析：

ab-2a=a（b-2）．（提取公因式）

考点：

因式分解-提公因式法．

10.（2016山东威海第15题）分解因式：

（2a+b）2﹣（a+2b）2=　　　　　　．

【答案】3（a+b）（a﹣b）．

【解析】

试题分析：

直接利用平方差公式分解可得：

原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．

考点：

分解因式.

11.（2016黑龙江哈尔滨第14题）把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是　　　　　　．

【答案】a（x+a）2.

【解析】

试题分析：

ax2+2a2x+a3=a（x2+2ax+a2）=a（x+a）2.

考点：

因式分解．

12.（2016年福建龙岩第11题）因式分解：

a2﹣6a+9=　　　　　　．

【答案】（a-3）2.

【解析】

试题分析：

直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=（a-3）2.

考点：

因式分解.

13.（2016山东东营第12题）分解因式：

a3－16a＝_____________.

【答案】a（a＋4）（a－4）.

【解析】

试题分析：

先提取公因式a，再运用平方差公式分解即可，即a3－16a＝a（a2－16）＝a（a＋4）（a－4）.

考点：

分解因式.

三、解答题

14.（北京二模）分解因式：

ax4-81a．

【答案】a（x2+9）（x+3）（x-3）．

【解析】

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

15.（白云区一模）分解因式：

x2y-4xy+4y．

【答案】y（x-2）2．

【解析】

试题分析：

首先提取公因式y，再把余下的式子用完全平方公式：

（a2-2ab+b2）=（a-b）2进行二次分解即可．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．