动量与能量专题训练(计算题解析版).doc
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动量与能量专题训练（计算题）
二、计算题
1．如图所示，A为一具有光滑曲面的固定轨道，轨道底端是水平的，质量M=30kg的小车B静止于轨道右侧，其板面与轨道底端靠近且在同一水平面上，一个质量m=10kg的物体C以初速度零从轨道顶滑下，冲上小车B后经一段时间与小车相对静止并继续一起运动。
若轨道顶端与底端水平面的高度差h为0.80m，物体与小车板面间的动摩擦因数μ为0.40，小车与水平面间的摩擦忽略不计，（取g=10m/s2），求：
（1）物体与小车保持相对静止时的速度；
（2）从物体冲上小车到与小车相对静止所用的时间；
（3）物体冲上小车后相对于小车板面滑动的距离。
解答：
（1）下滑过程机械能守恒
得 v0=4m/s①（2分）
物体相对于小车板面滑动过程动量守恒
②（2分）
所以③（2分）
（2）对小车由动量定理有④（2分）
（2分）
（3）设物体相对于小车板面滑动的距离为L由能量守恒有，摩擦生热：
⑤（4分）
代入数据解得：
（2分）
2.如图所示，abc是光滑的轨道，其中ab是水平的，bc为与ab相切的位于竖直平面内的半圆，半径R=0.30m。
质量m=0.20kg的小球A静止在轨道上，另一质量M=0.60kg、速度V0=5.5m/s的小球B与小球A正碰。
已知相碰后小球A经过半圆的最高点c落到轨道上距b点为L=4R处，重力加速度g取10m/s2，求：
A
B
a
b
C
（1）碰撞结束时，小球A和B的速度大小；
（2）试论证小球B是否能沿着半圆轨道到达c点？
解答：
（1）分别以v1和v2表示小球A和B碰后的速度，v3表示小球A在半圆最高点的速度，则对A由平抛运动规律有：
L=v3t（2分）和h=2R=gt2/2（2分）
解得：
v3=2m/s.（1分）
对A运用机械能守恒定律得：
mv12/2=2mgR+mv32/2（2分）
以A和B为系统，碰撞前后动量守恒：
Mv0=Mv2+mv1（2分）
联立解得：
v1=6m/s，v2=3.5m/s.（2分）
（2）小球B刚能沿着半圆轨道上升到最高点的条件是在最高点弹力为零、重力作为向心力，故有：
Mg=mvc2/R（2分）
由机械能守恒定律有：
MVB2/2=2RMg+Mvc2/2（2分）
解得：
vB==3.9m/s>v2，可知小球B不能达到半圆轨道的最高点。
（2分）
3．在光滑的水平面上停放着一辆质量为m1的小车，小车上放置一个质量为m2的物块，现将轻弹簧压缩在物块与小车左边固定挡板之间，并用细线拴住，使m2静止在小车上的A点，如图所示。
设物块与小车之间的动摩擦因数为μ，O点为弹簧原长的位置，将细线烧断后，m2、m1开始运动。
（1）问m2位于O点左侧还是右侧时，物体m2的速度最大？
（2）若物体m2达最大速度时，物体m2已相对小车移动了距离s，求此时m1的速度和这一个过程弹簧释放的弹性势能；
（3）如果在细线烧断前弹簧的弹性势能为E，A点到小车最右端的距离为L，则当E满足什么条件物块m2能离开小车，并求离开小车时物块的速度
解：
⑴
（1）对m2，先做加速运动，后做减速运动，当弹力等于摩擦力时，速度最大，则m2速度最大在O点的左侧……3分
（2）……3分
……3分
（3）……2分
……3分
……3分
……1分
方向水平向右……2分
4．如图所示，质量为m1=2Kg的物体A经一劲度系数为K=100N/m的轻弹簧与地面上的，质量为m2=1Kg的物体B相连，A、B均处于静止状态.另有一质量为m3=1Kg的物体C从物体A的正上方距离h=0.45m处自由下落，落到A上立刻与A粘连并一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，最终恰好能使B离开地面但不继续上升.（A、B、C均可视为质点）
（1）求C与A粘连后一起向下运动的速度v.
（2）从AC一起运动直至最高点的过程中弹簧对AC整体作的功.
A
B
C
K
h
（3）若将C的质量增大至2Kg，让它仍从原高度下落，则AC一起运动时能将B从地面拉起，求B刚要离开地面时AC整体的动能.
解：
（1）设物体C与A碰撞前速度为v0,则根据动能定理:
m3gh=
v0=3m/s
根据动量守恒:
m3v0=（m1＋m3）v
v=1m/s
（2）AC一起运动直至最高点的过程中,根据动能定理:
W－（m1＋m3）gh’=0－
h'=
解得W=1.5J
（3）物体C与A碰撞后的速度v’=1.5m/s
根据动能定理:
W－（m1＋m3）gh’=EK－
EK=2J
5.如图所示，质量M=4kg的滑板B静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到滑板左端的距离L=0.5m，这段滑板与木块A之间的动摩擦因数＝0.2，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑．可视为质点的小木块A以速度μ＝0.2，由滑板B左端开始沿滑板B表面向右运动．已知A的质量m=lkg，g取10m/s2。
求：
（1）弹簧被压缩到最短时木块A的速度；
（2）木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能．
解答：
（1）弹簧被压缩到最短时，木块A与滑板B具有相同的速度，设为V，从木块A开始沿滑板B表面向右运动至弹簧被压缩到最短的过程中，A、B系统的动量守恒：
mV0＝（M+m）V①
②
木块A的速度：
V＝2m/s③
（2）木块A压缩弹簧过程中，弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大。
由能量关系，最大弹性势能：
④
EP＝39J⑤
评分标准：
本题15分．①、②式各4分，③式2分；④式3分，⑤式2分．
6．五块完全相同的长木板依次紧挨着放在水平地面上，每块木板的长度为0.5m，质量为0.6kg。
在第一块长木板的最左端放置一质量为0.98kg的小物块。
已知小物块与长木板间的动摩擦因数为0.2，长木板与地面间的动摩擦因数为0.1，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。
一颗质量为0.02kg的子弹以的150m/s水平速度击中小物块并立即与小物块一起在长木板表面滑行，重力加速度g取10m/s2。
（1）分析小物块滑至哪块长木板时，长木板才开始在地面上滑动。
（2）求物块在整个运动过程中相对出发点滑行的最大距离。
¬
→
v0
解答：
（1）设子弹、小物块、长木板的质量分别为m0、M、m，子弹的初速度为v0，子弹击中小物块后二者的共同速度为v1，由动量守恒定律
m0v0=（M+m0）v1-------------------------------------------------------------------------------①
子弹击中小物块后物块的质量为M′，且M′=M+m0．设当物块滑至第n块木板时，木板才开始运动
μ1M′g＞μ2〔M′+（6－n）m〕g-----------------------------------------------------------②
其中μ1、μ2分别表示物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数．
由式解得n＞4.3
即物块滑上第五块木板时，木板才开始在地面上滑动．
（2）设物块刚滑上第五块木板时的速度为v2，每块木板的长度为L，由动能定理
－μ1M′g×4L=M′v22－M′v12----------------------------------------------------------③
由①②式解得 v2=1m/s----------------------------------------------------------------------④
物块在第五块木板表面做匀减速直线运动，木板做匀加速直线运动，设经历时间t，物块与木板能获得相同的速度v3，由动量定理
－μ1M′gt=M′v3－M′v3----------------------------------------------------------------------⑤
〔μ1M′g－μ2（M′+m）〕t=mv3--------------------------------------------------------------⑥
由⑤⑥式解得v3=m/s-----------------------------------------------------------------------⑦
在此过程中，物块发生的位移为s1，由动能定理
－μ1M′gs1=M′v32－M′v22------------------------------------------------------------⑧
解得s1=m＜0.5m
即物块与木板获得m/s的共同速度，之后整体向前匀减速运动s2后静止．
由动能定理
－μ2（M′+m）gs2=－（M′+m）v32------------------------------------------------------⑨
解得s2=m
所以物块总共发生的位移s=4L+s1+s2----------------------------------------------------⑩
解得s≈2.27m --------------------------------------------------------------------------------
本题共20分，其中①②各3分，③⑤⑥⑧⑨各2分，④⑦⑩⑾各1分。
其他方法正确也给分。
7．如图所示，水平光滑地面上停放着一辆小车，左侧靠在竖直墙壁上，小车的四分之一圆弧轨道AB是光滑的，在最低点B与水平轨道BC相切，BC的长度是圆弧半径的10倍，整个轨道处于同一竖直平面内。
可视为质点的物块从A点正上方某处无初速下落，恰好落入小车圆弧轨道滑动，然后沿水平轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出。
已知物块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力是物块重力的9倍，小车的质量是物块的3倍，不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失。
求：
（1）物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的几倍；
（2）物块与水平轨道BC间的动摩擦因数μ。
解：
（1）设物块的质量为m，其开始下落处的位置距BC的竖直高度为h，到达B点时的速度为v，小车圆弧轨道半径为R。
由机械能守恒定律，有：
mgh=mv2
根据牛顿第二定律，有：
9mg－mg=m解得h=4R
则物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的4倍。
（2）设物块与BC间的滑动摩擦力的大小为F，物块滑到C点时与小车的共同速度为v'，物块在小车上由B运动到C的过程中小车对地面的位移大小为s。
依题意，小车的质量为3m，BC长度为10R。
由滑动摩擦力有：
F=μmg
由动量守恒定律，有mv=（m+3m）v/对物块、小车分别应用动能定理，有
－F（10R+s）=mv/2－mv2Fs=（3m）v/2－0μ＝0.3
8．如图所示，在水平桌面上放一质量为M的玩具小车．在小车的水平平台上（小车的一部分）有一质量可忽略的弹簧，一端固定在平台上，另一端用一小球将弹簧压缩一定距离后用细线系住，用手将小车固定在桌面上，然后烧断细线，小球瞬间被弹出，落在车上的A点，OA＝L。
现让小车不固定静止而烧断细线，球落在车上的B点．OB＝KL（K＞1），设车足够长，球不致落在车外．求小球的质量．（不计所有摩擦）
解析：
设弹簧的弹性势能为E，小球的质量为m，小球在空中运动的时间为t，第一次弹出时小球的速度为v。
则有①（2分）
运动的水平距离②（1分）
设第二次弹出时小球的速度为v1，小车的速度为v2
则有③（2分）
且④（2分）
而⑤（2分）
由①、②、③、④、⑤得（1分）
9．如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，上面连接一个质量m1=1.0kg的物体A，平衡时物体下表面距地面h1=40cm，弹簧的弹性势能E0=0.50J。
在距物体m1正上方高为h=45cm处有一个质量m2=1.0kg的物体B自由下落后，与物体Ａ碰撞并立即以相同的速度运动（两物体粘连在一起），当弹簧压缩量最大时，物体距地面的高度h2=6.55cm。
g=10m/s2。
图
h1
m1
m2
h
A
B
（1）已知弹簧的形变（拉伸或者压缩）量为x时的弹性势能，式中k为弹簧的劲度系数。
求弹簧不受作用力时的自然长度l0；
（2）求两物体做简谐运动的振幅;
（3）求两物体运动到最高点时的弹性势能。
解析：
（1）设物体A在弹簧上平衡时弹簧的压缩量为x1，弹簧的劲度系数为k
根据力的平衡条件有m1g=kx1
而
解得：
k=100N/m，x1=0.10m
所以，弹簧不受作用力时的自然长度l0=h1+x1=0.50m
（2）两物体运动过程中，弹簧弹力等于两物体总重力时具有最大速度，此位置就是两物体粘合后做简谐运动的平衡位置
设在平衡位置弹簧的压缩量为x2，则（m1+m2）g=kx2，解得：
x2=0.20m，
设此时弹簧的长度为l2，则l2=l0-x2,解得：
l2=0.30m,
当弹簧压缩量最大时，是两物体振动最大位移处，此时弹簧长度为h2=6.55cm
两物体做简谐运动的振幅A=l2-h2=23.45cm
（3）设物体B自由下落与物体A相碰时的速度为v1，则
解得：
v1=3.0m/s，
设A与B碰撞结束瞬间的速度为v2，根据动量守恒m2v1=（m1+m2）v2，
解得：
v2=1.5m/s，
由简谐运动的对称性，两物体向上运动过程达到最高点时，速度为零，弹簧长度为l2+A=53.45cm
碰后两物体和弹簧组成的系统机械能守恒，设两物体运动到最高点时的弹性势能EP，则
解得EP＝6.0×10-2J。
10．在光滑的水平面上有一质量M=2kg的木板A，其右端挡板上固定一根轻质弹簧，在靠近木板左端的P处有一大小忽略不计质量m=2kg的滑块B。
木板上Q处的左侧粗糙，右侧光滑。
且PQ间距离L=2m，如图所示。
某时刻木板A以υA=1m/s的速度向左滑行，同时滑块B以υB=5m/s的速度向右滑行，当滑块B与P处相距时，二者刚好处于相对静止状态。
若在二者共同运动方向的前方有一障碍物，木板A与它碰后以原速率反弹（碰后立即撤去该障碍物），g取10m/s2。
求：
（1）第一次二者刚好处于相对静止状态时的共同速度；
L
Q
P
B
υB
υA
A
（2）B与A的粗糙面之间的动摩擦因数μ
（3）滑块B最终停在木板A上的位置。
（1）解：
设M、m共同速度为，定水平向右为正方向，由动量守恒定律得
①3分
②3分
（2）对A、B组成的系统，由能量守恒
③3分
代入数据得3分
（3）木板A与障碍物发生碰撞后以原速率反弹，假设B向右滑行并与弹簧发生相互作用，当A、B再次处于相对静止状态时，两者的共同速度为u，在此过程中，A、B和弹簧组成的系统动量守恒、能量守恒。
由支量守恒定律得④1分
1分
设B相对A的路程为S，由能量守恒得
⑤2分
代入数据得1分
由于，所以B滑过Q点并与弹簧相互作用，然后相对A向左滑动到Q点左边，设离Q点距离为
1分
11．一轻质细绳一端系一质量为m=0.05kg的小球A，另一端挂在光滑水平轴O上，O到小球的距离为L=0.1m，小球跟水平面接触，但无相互作用，在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，如图所示，水平距离s=2m，动摩擦因数为μ=0.25．现有一滑块B，质量也为m，从斜面上滑下，与小球发生弹性正碰，与挡板碰撞时不损失机械能．若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，g取10m/s2，试问：
（1）若滑块B从斜面某一高度h处滑下与小球第一次碰撞后，使小球恰好在竖直平
面内做圆周运动，求此高度h．
（2）若滑块B从h/=5m处滑下，求滑块B与小球第一次碰后瞬间绳子对小球的拉力．
（3）若滑块B从h/=5m处下滑与小球碰撞后，小球在竖直平面内做圆周运动，求小
O
s/2
s/2
A
h
B
球做完整圆周运动的次数．
解：
（1）小球刚能完成一次完整的圆周运动，它到最高点的速度为v0，在最高点，仅有重力充当向心力，则有 ①
在小球从最低点运动到最高点的过程中，机械能守恒，并设小球在最低点速度为v，则又有
②
解①②有m/s（3分）
滑块从h高处运动到将与小球碰撞时速度为v2，对滑块由能的转化及守恒定律有
因弹性碰撞后速度交换m/s，解上式有h=0.5m
（2）若滑块从h/=5m处下滑到将要与小球碰撞时速度为u，同理有
③解得
滑块与小球碰后的瞬间，同理滑块静止，小球以的速度开始作圆周运动，绳的拉力T和重力的合力充当向心力，则有 ④
解④式得T=48N
（3）滑块和小球最后一次碰撞时速度为，滑块最后停在水平面上，它通过的路程为，同理有 ⑤
小球做完整圆周运动的次数为 ⑥
解⑤、⑥得，n=10次
12．如图所示，质量均为m的两球AB间有压缩的轻、短弹簧处于锁定状态，放置在水平面上竖直光滑的发射管内（两球的大小尺寸和弹簧尺寸都可忽略，他们整体视为质点），解除锁定时，A球能上升的最大高度为H，现在让两球包括锁定的弹簧从水平面出发，沿光滑的半径为R的半圆槽从右侧由静止开始下滑，至最低点时，瞬间锁定解除，求A球离开圆槽后能上升的最大高度。
A
B
B
A
R
解：
解除锁定后弹簧将弹性势能全部转化为A的机械能,则弹簧弹性势能为
E弹=mgH2分
AB系统由水平位置滑到圆轨道最低点时速度为v0,解除弹簧锁定后A、B的速度分别为vA、vB则有
2mgR=2×mv02/22分
2mv0=mvA+mvB2分
2×mv02/2+E弹=mvA2/2+mvB2/23分
将vB=2v0-vA代入能量关系得到
2mgR+mgH=mvA2/2+m（2v0-vA）2/2v0=（2gR）1/21分
得到：
vA=（2gR）1/2+（gH）1/22分
相对水平面上升最大高度h,则：
h+R=vA2/2g2分
h=H/2+（2RH）1/23分
13．如图所示，在光滑的水平面上停放着一辆平板车C，在车上的左端放有一木块B。
车左边紧邻一个固定在竖直面内、半径为R的圆弧形光滑轨道，已知轨道底端的切线水平，且高度与车表面相平。
现有另一木块A（木块A、B均可视为质点）从圆弧轨道的顶端由静止释放，然后滑行到车上与B发生碰撞。
两木块碰撞后立即粘在一起在平板车上滑行，并与固定在平板车上的水平轻质弹簧作用后被弹回，最后两木块刚好回到车的最左端与车保持相对静止。
已知木块A的质量为m，木块B的质量为2m，小车C的质量为3m，重力加速度为g，设木块A、B碰撞的时间极短可以忽略。
求：
⑴木块A、B碰撞后的瞬间两木块共同运动速度的大小。
⑵木块A、B在车上滑行的整个过程中，木块和车组成的系统损失的机械能。
⑶弹簧在压缩过程中所具有的最大弹性势能。
A
B
O
解析：
⑴设木块A到达圆弧底端时得速度为v0，对木块A沿圆弧下滑过程用机械能守恒定律，有；A、B碰撞过程两木块组成的系统动量守恒，设碰撞后共同速度大小为v1，则mv0=（m+2m）v1，解得：
⑵A、B在车上滑行的过程中，系统动量守恒。
设A、B滑到车的最左端时与车具有共同的速度v，根据动量守恒定律，有（m+2m）v1=（m+2m+3m）v；A、B在车上滑行的整个过程中系统损失的机械能为
⑶设当弹簧被压缩至最短时，木块与车有相同的速度v2，弹簧具有最大的弹性势能E，根据动量守恒定律有（m+2m）v1=（m+2m+3m）v2，所以v2=v。
设木块与车面摩檫力为f，在车上滑行距离为L，由能量守恒对于从A、B一起运动到将弹簧压缩至最短的过程有：
对于从弹簧被压缩至最短到木块滑到车的左端的过程有：
，解得
14．如图所示，光滑水平面上放有用绝缘材料制成的“L”型滑板，其质量为M，平面部分的上表面光滑且足够长。
在距滑板的A端为l的B处放置一个质量为m、带电量为q的小物体C（可看成是质点），在水平的匀强电场作用下，由静止开始运动。
已知：
M=3m，电场的场强为E。
假设物体C在运动中及与滑板A端相碰时不损失电量。
⑴求物体C第一次与滑板A端相碰前瞬间的速度大小v0。
⑵若物体C与滑板A端相碰的时间极短，而且碰后弹回的速度大小v1是碰前速度大小的1/5，求滑板被碰后速度v2的大小。
⑶求小物体C从开始运动到与滑板A第二次碰撞这段时间内，电场力对小物体C做的功。
A
C
E
C
B
B
l
解析：
⑴v0=⑵v2=⑶W=（提示：
第一次碰后滑板做匀速运动，C做匀变速直线运动，设经历时间t再次
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