mg±F；当弹力大小F>mg时，向心力只有一解：
F+mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。
【重难点例题启发与方法总结】
1、如图所示，质量为m=0.1kg的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中A绳长LA=2m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角θ1=30°，θ2=45°，g=10m/s2．求：
（1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A、B两绳始终张紧？
（2）当ω=3rad/s时，A、B两绳的拉力分别为多大？
[解析]
（1）当B绳恰好拉直，但TB=0时，细杆的转动角速度为ω1，
有：
TAcos30°=mg
解得：
ω1=2．4rad/s
当A绳恰好拉直，但TA=0时，细杆的转动角速度为ω2，
有：
解得：
ω2=3.15（rad/s）
要使两绳都拉紧2.4rad/s≤ω≤3.15rad/s
（2）当ω=3rad/s时，两绳都紧．
TA=0.27N， TB=1.09N
2、如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°.在距转动中心0.1m处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为0.8，木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同.若要保持木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值约为
A.8rad/s B.2rad/s C.rad/sD.rad/s
〖解析〗木块在最低点时容易相对圆盘滑动，此时木块相对圆盘将要滑动，圆盘的角速度最大，则
μmgcos37°－mgsin37°=mω2r
ω=
=rad/s=2rad/s
所以，选项B正确.
3、如图所示，在倾角为α=300的光滑斜面上，有一根长为L=0.8m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m=0.2kg的小球，沿斜面作圆周运动，试计算：
（1）小球通过最高点A的最小速度；
（2）小球通过最高点的最小速度。
（3）若细绳的抗断拉力为Fmax=10N，小球在最低点B的最大速度是多少？
A
L
O
B
α
图26
〖解析〗
（1）小球在最低点时的等效重力为G=mgsinα
小球在最高点A速度最小。
（2）根据动能定理：
当小球在最高点速度最小时，在最低点速度一定最小
解得最低点速度的最小值是
（3）若绳子的抗断拉力为10N，根据牛顿第二定律
解得小球在最低点B的最大速度是vBM=6m/s
4、在一根长为L的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为m的小球B和C，如图所示，杆可以在竖直平面内绕固定点A转动，将杆拉到某位置放开，末端C球摆到最低位置时，杆BC受到的拉力刚好等于C球重的2倍．求：
（g=10m/s2）
TAB
C
A
B
TBC=2mg
mg
mg
（1）C球通过最低点时的线速度；
（2）杆AB段此时受到的拉力．
[解析]
（1）C球通过最低点时，受力如图且作圆周运动
F向=TBC-mg
即2mg-mg=
得c球通过最低点时的线速度为：
vC=
（2）以最低点B球为研究对象，
其受力如图4-3-9所示，B球圆周运动的F向=TAB-mg-2mg
即TAB-3mg=，且vB=vC
得杆AB段此时受到的拉力为：
TAB=3．5mg
[点评]此题涉及到两个物体，按常规要分别研究各个物体，分别列出方程，此时还不能求解，必须还要找到两个物体联系的量再列一个方程才能求解，因而，找到两个物体物理量间的联系是解题的关键；本题中两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同是个隐含条件．
mg
N
T
θ
5、如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
⑴当v＝时，求绳对物体的拉力；
⑵当v＝时，求绳对物体的拉力。
解析：
设小球刚好对锥面没有压力时的速率为，则有
解得
（1）当
（2）当时，小球离开锥面，设绳与轴线夹角为，则
6、如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）
A.球A的线速度必定大于球B的线速度
B.球A的角速度必定小于球B的角速度
C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
解析：
对小球A、B受力分析，两球的向心力都来源于重力mg和支持力的合力，其合成如图4所示，故两球的向心力
比较线速度时，选用分析得r大，v一定大，A答案正确。
比较角速度时，选用分析得r大，一定小，B答案正确。
比较周期时，选用分析得r大，T一定大，C答案不正确。
小球A和B受到的支持力都等于，D答案不正确。
【重难点关联练习巩固与方法总结】
1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10m／s时，车对桥的压力为车重的。
如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为（ ）
A、15m／s B、20m／s C、25m／s D、30m／s
2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。
A的质量为，离轴心，B的质量为，离轴心，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求
（1）当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？
（2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？
（）
解析：
（1）较小时，A、B均由静摩擦力充当向心力，增大，可知，它们受到的静摩擦力也增大，而，所以A受到的静摩擦力先达到最大值。
再增大，AB间绳子开始受到拉力。
由，得：
（2）达到后，再增加，B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A增大的向心力超过B增加的向心力，再增加，B所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如再增加，B所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。
如再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A、B就在圆盘上滑动起来。
设此时角速度为，绳中张力为，对A、B受力分析：
对A有对B有
联立解得：
3、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管半径大得多）。
在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。
A球的质量m1，B球的质量为m2，它们沿环形管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0，设A球运动到最低点，B球恰好运动到最高点。
若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是＿＿＿＿＿＿。
4、如图39－3所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为ω，则[ABC]
A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力
D．当ω增大到一定程度时，绳AP的张力大于BP的张力
5、如图2所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线连接的质量相等的两物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同．当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是【】
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体A仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动；
物体B发生滑动，沿一条曲线向外运动，离圆盘圆心越来越远
6、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示．顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度v0=，物体甲将
A．沿球面下滑至M点
B．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
7、长度为0．5m的轻质细杆OA，A端有一质量为3kg的木球，以O点为圆心，在竖直面内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为2m/s，取g=10m/s2，则此时球对轻杆的力大小是 ，方向向 。
8、如图所示，木板B托着木块A在竖直平面内作匀速圆周运动，从与圆心相平的位置a运动到最高点b的过程中（）
A、B对A的支持力越来越大
B、B对A的支持力越来越小
C、B对A的摩擦力越来越大
D、B对A的摩擦力越来越小
9、如图所示，两根长度相同的细绳，连接着相同的两个小球让它们在光滑的水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段绳子在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比T1∶T2为（）
A、1∶1B、2∶1
C、3∶2D、3∶1
10、如图所示,小球M与穿过光滑水平板中央的小孔O的轻绳相连，用手拉着绳的另一端使M在水平板上作半径为a，角速度为ω１的匀速圆周运动，求：
（1）此时M的速率.
（2）若将绳子突然放松一段，小球运动t时间后又拉直，此后球绕O作半径为b的匀速圆周运动，求绳由放松到拉直的时间t.
A
B
11、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都是v0，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足的关系。
【课后强化巩固练习与方法总结】
1、火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是（）
A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损
B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损
C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损
D.以上三种说法都是错误的
2、冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为（）
3、如图所示，光滑的水平圆盘中心O处有一个小孔，用细绳穿过小孔，绳两端各系一个小球A和B，两球质量相等，圆盘上的A球做半径为r=20cm的匀速圆周运动，要使B球保持静止状态，求A球的角速度ω应是多大
A
B
O
10
升级会员 