4.有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
用字母表示为:
a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。
在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。
如:
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法:
①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:
Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法)
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)(将减法转换成加法)
=-33+18-15-1+23(省略加号和括号)
=(-33-15-1)+(18+23)(把符号相同的加数相结合)
=-49+41(运用加法法则一进行运算)
=-8(运用加法法则二进行运算)
Ⅱ.把和为整数的加数相结合(凑整法)
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)(将减法转换成加法)
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8(省略加号和括号)
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8(把和为整数的加数相结合)
=4-10+3.8(运用加法法则进行运算)
=7.8-10(把符号相同的加数相结合,并进行运算)
=-2.2(得出结论)
Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)
--+-+-
原式=(--)+(-+)+(+-)
=-1+0-=-1
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)
(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)
原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)
=+3-3+10-1
=(3-1)+(-3)+10
=2-3+10
=-3+13
=10
Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)
-3+10-12+4
原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)
=-1++
=-1++=-
Ⅵ.分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)
=0
Ⅶ.先拆项后结合
(1+3+5+7…+99)-(2+4+6+8…+100)
有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)
法则二:
任何数同0相乘,都得0;
法则三:
几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;
法则四:
几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·=1(a≠0),就是说a和互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数。
注意:
①0没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。
(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
考试经常考:
已知a,b互为倒数,立马要想到ab=1.
例2.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值为5.试求下式的值:
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律:
一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
即ab=ba
⑵乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律:
一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。
即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0
5.有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。
练习3.快速计算
(1)---减法没有结合律!
(2)----除法没有结合律!
(3)-----除法没有分配律!
(4)---同一级运算时一定要从左向右!
有理数的乘方
1.乘方的概念
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
在中,a叫做底数,n叫做指数。
2.乘方的性质
(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。
(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
练习4:
计算:
练习5.为正整数时,+的值是()
A.2B.-2C.0D.不能确定
练习6:
1.计算:
2.已知,求的值。
练习7:
观察下列算式发现规律:
,,,,,,,……,用你所发现的规律写出:
的末位数字是________。
练习8:
某校初一年级共有8个班,以每班65人为标准,超过的人数记为正数,不足的人数记为负数,统计情况记录如下:
-1,-6,+2,-3,+4,0,-7,+3,求该校初一年级总人数。
有理数的混合运算
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减;
2.同级运算,从左到右进行;
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式(其中,n是正整数),这种记数法是科学记数法。
如:
地球上的陆地面积约为149000000km2,用科学记数法表示为。
有理数课后作业
一.填空题
1.-│-7│的相反数为____,相反数等于本身的数为_______.
2.已知│x│=,│y│=,且xy>0,则x-y=______.
3.x与2的差为,则-x=_____.
4.近似数1.50精确到_______,78950用科学记数法表示为_____.
5.按规律写数,-,,-,…第6个数是______.
二、选择题
1.下列说法正确的是()
A.最小的有理数是0;
B.最大的负整数是-1;
C.最小的自然数是1;
D.最小的正数是1.
2.下列说法正确的是()
A.两个有理数的和为零,则这两个有理数都为0;
B.两个有理数的和一定大于其中任何一个加数;
C.两个有理数的和为正数,则这两个数中至少有一个加数是正数;
D.两个有理数的和为负数,则这两个数一定都是负数.
3.下列说法正确的是()
A.一个正数减去一个负数,结果是正数;
B.零减去一个数一定是负数;
C.一个负数减去一个负数,结果是负数;
D.“-2-3”读作“负2减负3”
4.下列说法正确的是()
A.个有理数相乘,当因数是奇数个时,积为负;
B.个有理数相乘,当正因数有奇数个时,积为负;
C.个有理数相乘,当负因数有奇数个时,积为负;
D.个有理数相乘,当积为负时,负因数有奇数个.
5.下列说法正确的是()
A.相反数是本身的数是1和0;
B.倒数是本身的数是1和0;
C.绝对值是本身的数是0和正数;
D.平方等于64的数是8.
6、已知字母、表示有理数,如果+=0,则下列说法正确的是()
A.、中一定有一个是负数B.、都为0
C.与不可能相等D.与的绝对值相等
7、一个数的平方为16,则这个数是()
A.或B.C.D.或
8、绝对值大于2且小于5的所有整数的和是()
A.7B.-7C.0D.5
10、等于()
A.B.C.D.
11、数轴上的点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d,已知A在B的右侧,C在B的左侧,D在B、C之间,则下列式子成立的是()
A、a
12、若x为有理数,则必是()
A、非正数B、非负数C、0D、正数
13、下列各语句中正确的是()
A、若a>-0.5,则a是正数B、若<0,则
C、若,则D、若,则
14、a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示,则下列结论中错误的是()
A、a+b<0B、a+c<0C、a-b>0D、b-c<
三、计算
1、+-4.82、
3、4、
5、+6、
7、…
四、解答题
1.如果、互为相反数,、互为倒数,没有倒数,的绝对值等于2.
那么代数式的值是多少?
请你求出来.
2、已知与互为相反数,求的值。
3、已知均为非零的有理数,且,求的值。
4.“”代表一种新运算,已知,求的值.其中和满足方程.
五、某地探空气球的气象观测资料表明,高度每增加1千米,气温大约降低6℃。
若该地地面温度为21℃,高空某处温度为-39℃,求此处的高度是多少千米?
六、找规律:
下列数中的第2003项是多少?
2004项呢?
第n个呢?
1,-2,3,-4,5,-6······
七、下表记录的是流花河今年某一周内的水位变化情况,上周末(星期六)的水位已达到警戒水位33米。
(正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降)
⑴本周哪一天河流的水位最高?
哪一天河流的水位最低?
它们位于警戒水位之上还是之下?
⑵与上周末相比,本周末河流的水位是上升了还是下降了?
⑶以警戒水位作为零点,用折线统计图表示本周的水位情况。
星期
日
一
二
三
四
五
六
水位变化(米)
+0.2
+0.8
-0.4
+0.2
+0.3
-0.5
-0.2
水位变化(米) 解:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
日一二三四五六星期
12