函数奇偶性知识点与经典题型归纳.doc

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函数奇偶性

　知识梳理

1.奇函数、偶函数的定义

（1）奇函数：

设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，

则这个函数叫奇函数.

（2）偶函数：

设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，

则这个函数叫做偶函数.

（3）奇偶性：

如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性.

（4）非奇非偶函数：

无奇偶性的函数是非奇非偶函数.

注意：

（1）奇函数若在时有定义，则．

（2）若且的定义域关于原点对称，则既是奇函数又是偶函数．

2．奇（偶）函数的基本性质

（1）对称性：

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称．

（2）单调性：

奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．

3.判断函数奇偶性的方法

（1）图像法

（2）定义法

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

确定f（－x）与f（x）的关系；

作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；

若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

例题精讲

【例1】若函数是偶函数，求的值.

解：

∵函数f（x）＝ax2＋bx是偶函数，

∴f（－x）＝f（x）．∴ax2＋bx=ax2-bx.

∴2bx=0.∴b＝0.

【例3】已知函数在轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象.

题型一判断函数的奇偶性

【例4】判断下列函数的奇偶性.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）

（6）

解：

（1）的定义域为R，关于原点对称．

∵

∴，即是偶函数．

（2）的定义域为

由于定义域关于原点不对称

故既不是奇函数也不是偶函数．

（3）的定义域为R，关于原点对称．

∵f（－x）＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－（|x＋1|－|x－1|）＝－f（x），

∴f（x）＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．

（4）的定义域为{2}，

由于定义域关于原点不对称，

故既不是奇函数也不是偶函数．

（5）的定义域为{1，－1}，

由且，所以

所以图象既关于原点对称，又关于y轴对称

故既是奇函数又是偶函数．

（6）显然定义域关于原点对称．

当x>0时，－x<0，f（－x）＝x2－x＝－（x－x2）；

当x<0时，－x>0，f（－x）＝－x－x2＝－（x2＋x）．

即

即

∴为奇函数．

题型二利用函数的奇偶性求函数值

【例2】若f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝2，求f（－3）和f（0）的值.

解：

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（－3）＝－f（3）＝－2，

f（0）＝0.

【例5】已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g

（1）＝2，f

（1）＋g（－1）＝4，求g

（1）.

解：

由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数

得，

所以－f

（1）＋g

（1）＝2①

f

（1）＋g

（1）＝4②

由①②消掉f

（1），得g

（1）＝3.

题型三利用函数的奇偶性求函数解析式

【例6】已知函数是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x3－x2，

当x>0时，求f（x）的解析式.

解：

当时，有

所以

又因为在R上为偶函数

所以

所以当时，.

【例7】若定义在R上的偶函数和奇函数满足，求.

解：

因为为偶函数，为奇函数

所以，

因为①

所以

所以②

由①②式消去，得.

课堂练习

u仔细读题，一定要选择最佳答案哟！

1.函数是（）

A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数

2.已知函数为奇函数，且当时，，则（）

A.2B.1C.0D.-2

3.f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）≥2，则当x≤0时，有（）

A．f（x）≤2B．f（x）≥2C．f（x）≤－2D.f（x）∈R

4.已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则（）

A.f（0）＜f（－1）＜f

（2） B.f（－1）＜f（0）＜f

（2）

C.f（－1）＜f

（2）＜f（0） D.f

（2）＜f（－1）＜f（0）

5.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是（）

A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数

6.定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（）

A.（－3，0）∪（0，3） B.（－∞，－3）∪（3，+∞）

C.（－3，0）∪（3，+∞） D.（－∞，－3）∪（0，3）

7.若f（x）在[－5,5]上是奇函数，且f（3）

（1），则下列各式中一定成立的是（　　）

A．f（－1）f

（1）

C．f

（2）>f（3）D．f（－3）

8.设f（x）在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f（x）为偶函数，则f（x）在[1,2]上（　　）

A．为减函数，最大值为3

B．为减函数，最小值为－3

C．为增函数，最大值为－3

D．为增函数，最小值为3

9.下列四个函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．y＝x^3 B．y＝－x^2＋1

C．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x|

10.若函数f（x）＝（x＋1）（x＋a）为偶函数，则a＝（　　）

A．1 B．－1

C．0 D．不存在

11.偶函数y＝f（x）的图象与x轴有三个交点，则方程f（x）＝0的所有根之和为________．

12.如图，给出了偶函数y=f（x）的局部图象，试比较f

（1）与f（3）的大小.

x

y

O

–3

2

–1

13.已知函数是奇函数，求的值.

14.已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，求f（x），g（x）的表达式．

15.定义在（－1,1）上的奇函数f（x）是减函数，且f（1－a）＋f（1－a2）<0，求实数a的取值范围．

16.函数f（x）＝是定义在（－1,1）上的奇函数，且f＝，求函数f（x）的解析式

17.判断函数的奇偶性.

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