专题：确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法.docx

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确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法简约课堂

确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法

　　带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。

但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。

只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。

下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。

 　　一、对称法

 　带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。

利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。

 　　例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。

正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？

射出的时间差是多少？

 　　解析：

正、负电子的半径和周期是相同的。

只是偏转方向相反。

先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：

射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。

所以两个射出点相距s=2r=2mvBe，由图还看出经历时间相差∆t=2T3=4πm3Be，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。

 　　例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。

一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。

当∠MON＝120°时，求：

带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。

 　　解析：

分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。

 　　由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=rtan30=3r

 　　又带电粒子的轨道半径可表示为：

R=mv0qB    故带电粒子运动周期：

T=2πmqB=23πv0r

 　　带电粒子在磁场区域中运动的时间t=60360T=3πr3v0

 　　二、旋转圆法

 　　在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。

　　例3．如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的范围为多大？

 　　解析：

由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕S点旋转的动态圆，且动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9所示，最高点为动态圆与MN的相切时的交点P，最低点为动态圆与MN相割，且SQ为直径时Q为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由qv0B=mv02R    得：

R=mv0qB=L

 　　SQ为直径，则：

SQ=2L，SO=L，由几何关系得：

OQ=SQ2-OS2=3L

 　　P为切点，所以OP＝L，所以粒子能击中的范围为（1+3）L。

 　　例4．（2010全国新课程卷）如图10所示，在0≤x≤A．0≤y≤a2范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。

己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。

求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：

（1）速度大小；

（2）速度方向与y轴正方向夹角正弦。

解析：

设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得：

qvB=mv2R 解得：

R=mvqB。

 　　从O点以半径R（a/2＜R＜a）作“动态圆”，如图11所示，由图不难看出，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。

设该粒子在磁场中的运动时间为t，依题意t=T/4，所以∠OCA＝π/2。

 　　设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得：

 　　Rsinα=R-α2，Rsinα=a-Rcosα，再加上sin2α+cos2α=1，

 　　解得：

R=2-62a，v=2-62aqBm,sinα=6-610。

 　　三、缩放圆法

　　带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。

例5．如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为θ，已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。

 　　解析：

如图14所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为v0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得：

r+rcosθ=d       ①

 　　电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力：

ev0B=mv02r，所以：

r=mv0eB     ②

 　　联立①②解得：

v0=Bedm1+cosθ，所以电子从另一侧射出的条件是速度大于Bedm1+cosθ。

 　　例6．（2010全国II卷）如图15所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为d，电压为U，两板间有匀强磁场，磁感应强度为B0，方面平行于板面并垂直纸面朝里。

图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。

假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。

不计重力。

（1）已知这些离子中的离子甲到达边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量；

（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为3a/4，求离子乙的质量；

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？

 　　解析：

由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，则有：

qvB0=qU/d，解得离子的速度为：

v=U/B0d（为一定数值）。

 　　虽然离子速度大小不变，但质量m改变，结合带电离子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式R=mv/qB分析，可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹，如图16中的动态圆。

（1）由题意知，离子甲的运动轨迹是图17中的半圆，半圆与EG边相切于A点，与EF边垂直相交于B点，由几何关系可得半径：

R甲=acos30°tan15°=3-32a，

 　　从而求得离子甲的质量m甲=3-32adqBB0U。

（2）离子乙的运动轨迹如图18所示，在ΔEIO2中，由余弦定理得：

 　　R乙2=a42+a2-R乙2-2a4a2-R乙cos600，解得R乙=a/4，

 　　从而求得乙离子的质量m乙=adqBB04U。

（3）由半径公式R=mv/qB可知R∝m，结合

（1）

（2）问分析可得：

①若离子的质量满足m甲/2≤m≤m甲，则所有离子都垂直EH边离开磁场，离开磁场的位置到H的距离介于R甲到2R甲之间，即3-32a～23-3a；

②若离子的质量满足m甲

 　　四、临界法

 　　以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径r和速度v以及磁场B之间的约束关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键。

 　　例7．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图19所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，两极板不带电，现有质量为m电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范围。

 　　解析：

由左手定则判定受力向下，所以向下偏转，恰好打到下板右边界和左边界为两个临界状态，分别作出两个状态的轨迹图，如图20、图21所示，打到右边界时，在直角三角形OAB中，由几何关系得：

R2=（R1-L2）2+L2解得轨道半径R1=5L4

 　　电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力qv1B=mv12R1  因此v1=qBR1m=5qBL4m

 　　打在左侧边界时，如图21所示，由几何关系得轨迹半径R2=L4

 　　电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，qv2B=mv22R2  所以v1=qBR2m=qBL4m

 　　所以打在板上时速度的范围为qBL4m≤v≤5qBL4m

 　　例8．如图22，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边中点O射出与Od边夹角为30°，大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m,电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力忽略不计。

求：

（1）试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围；

（2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。

解析：

（1）画出从O点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆，能够从ab边射出的粒子的临界轨迹如图23所示，轨迹与dc边相切时，射到ab边上的A点，此时轨迹圆心为O1，则轨道半径r1=L，由qv0B=mv2r1得最大速度v0=qBLm。

轨迹与ab边相切时，射到ab边上的B点，此时轨迹圆心为O2，则轨道半径r2=L3，由qv0B=mv2r1

得最小速度v0=qBL3m。

所以粒子能够从ab边射出的速度范围为：

qBL3m

（2）当粒子从ad边射出时，时间均相等，且为最长时间，因转过的圆心角为300°，

所以最长时间：

tm=56T=5πm3qB，射出的范围为：

OC=r2=L3。

通过以上分析不难发现，对于带电粒子在磁场中的运动问题，解题的关键是画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹，如果能够熟练掌握带电粒子在磁场中运动轨迹的上述四种画法，很多问题都可以迎刃而解。

涉及圆周的某些综合题，常要在圆周里构建直角三角形来帮助解答。

这些直角三角形大多由该圆周的半径、弦或切线构成。

这里用几道高考“压轴题”为例来说明。

例2（2007全国2）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E。

在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。

A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O的距离为l。

一质量为m，电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入磁场区域。

并再次通过A点，此时速度方向与y轴正方向成锐角。

不计重力作用。

试求：

（1）粒子经过C点速度的大小和方向； 

（2）磁感应强度的大小B。

分析：

运动过程包含类平抛和匀速圆周运动。

第

（2）问较难。

欲求B值，要先算出圆周半径R，应构建相应的直角三角形，如下图中的⊿APD以及⊿CPE．再由已知的h和L来求解（见解答中的式⑩和⑾）。

解：

（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有

qE＝ma                 ①

加速度沿y轴负方向。

设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有

 　　h=12at2                  ②

　　L＝v0t              ③

由②③式得　　v0＝La2h            ④

设粒子从点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量

v1＝2ah        ⑤

由①④⑤式得

　v1＝v02+v12=qE（4h2+l2）2mh        ⑥

设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有

　tanα＝v1v0           ⑦

由④⑤⑦式得　　α＝arctan2hl           ⑧

（2）粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v的圆周运动。

若圆周的半径为R，则有

qvB＝mv2R             ⑨

设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂直，且有PC（──）=PA（──）=R。

用β表示PA（──）与y轴的夹角，由几何关系得

　　Rcosβ＝Rcosα＋h            ⑩

　　Rsinβ＝l－Rsinα             ⑾

　　由⑧⑩⑾式解得　　R＝h2+l22hl4h2+l2             ⑿

 　由⑥⑨⑿式得　　B＝1h2+l22mhEq                ⒀

值得归纳的是，例题1和例题2有共通的地方，即利用两个直角三角形，来建立两个已知长度和一个未知半径的联系。

题1中是用a、a/2求半径R；题2中是用h、l求半径R，而接下来的例题3，仍然涉及两个直角三角形，但这次是用两个已知的半径来求解一个未知的长度。

例3（2008重庆）下图是一种质谱仪的工作原理示意图。

在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场。

对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点。

CM垂直磁场左边界于M，且OM=d。

现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为v0。

若该离子束中比荷为qm的离子都能汇聚到D，试求：

（1）磁感应强度的大小和方向（提示：

可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象）；

（2）离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；

（3）线段CM的长度。

分析：

在第

（2）问的过程中，圆心上移了，但运动轨迹是对称的；第（3）问难度加大，而下图中的ΔNO'E和ΔNOE⊿，会有助于建立已知量OM和O′N，与未知量NM之间的联系（见解答中的式⑧），便于CM的求解。

解：

（1）设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，

 　由qv0B=mv02R  且R=d　　得：

B＝mv0qd        ①

由左手定则知，磁场方向垂直纸面向外。

（2）设沿CN运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为R′，运动时间为t，

由 v＝V0cosθ             ②

且 R'=mvqB                  ③

联立①②③得R'=dcosθ                 ④

离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝2πmqB   ⑤

结合①⑤得t=T×θ+απ=2θ+αv0             ⑥

（3）由图可知CM=MNcotθ                    ⑦

再由MN+dsinα=R'sinα+β           ⑧

联立④⑦⑧求解得CM=dcotα                ⑨

注：

若引入正弦定理，利用非直角三角形ΔONO'，也能得出MN+dsinα+β=R'sinα，可代替式⑧。

 　　跳出磁场，在其他力学问题中，圆周与直角三角形也有“配合”。

比如下面这道例题4。

　　例4（08全国2）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。

为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。

卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。

设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。

假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影）。

 　　分析：

如图，O和O′分别表示地球和月球的中心。

在卫星轨道平面上，A是地月连心级OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点，根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点。

卫星在圆弧BE上运动时发出的信号被遮挡。

欲知运行时间，要先求出卫星周期，以及相应的圆心角∠BO'A。

前者由万有引力定律求解，后者则应由∠BO'A=∠CO'A-∠CO'B=∠FOO'-∠CO'B间接得到，因为∠BO'A不在直角三角形中，难与各边建立三角函数关系。

而∠FOO'和∠CO'B各是两直角三角形（ΔFOO'和ΔCO'B）中的内角，便于用反三角函数表示，见解答中的式⑤和式⑥。

 　　解：

设探月卫星的质量为m0,万有引力常量为G，根据万有引力定律有

　　    GMmr2=m2πT2r                      ①

　　   GMm0r12=m02πT12r 1                    ②

　　式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期。

由①②式得

　　 T1T2=Mmr1r 3             ③（注：

消G求T1）

　　设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有

　　  tT1=α-βπ                             ④

　　式中，α=∠CO'A=∠FOO'，β=∠CO'B。

由几何关系得

　　rcosα=R-R1                           ⑤

　 r1cosβ=R1 ⑥　　

由③④⑤⑥式得

t=TπMr13mr3（arcosR-R1r-arcosR1r1）

　     ⑦

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