五年级奥数数论中国剩余定理及弃九法精品学生版Word格式.docx

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孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2）趣题二

我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”

这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（ChineseRemainderTheorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：

三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．

五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．

七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．

除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．

此题的中国剩余定理的解法是：

用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是

，

为什么70，21，15，105有此神奇效用？

70，21，15，105是从何而来？

先看70，21，15，105的性质：

70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；

21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；

同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，

是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．

了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．

3）核心思想和方法

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

先由

，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数

是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

，其中k是自然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，

那么我们可以计算

得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

二、弃九法原理

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：

检验算式

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理：

任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。

这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

注意：

弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

【例1】将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：

12345678910111213

20072008，试求这个多位数除以9的余数．

【巩固】连续写出从

开始的自然数，写到

时停止，得到一个多位数：

，请说明：

这个多位数除以

，得到的余数是几？

为什么？

【例2】将

依次写到第2013个数字，组成一个2013位数，那么此数除以9的余数是________．

【巩固】有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是7037，第一个数各个位的数字之和是16，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。

【例3】设

的各位数字之和为

，那么

【巩固】3个三位数乘积的算式

（其中

），在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的

是多少？

【例4】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？

【巩固】求满足下列条件的最小自然数：

用3除余2，用5除余1，用7除余1。

【例5】5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少____人。

【巩固】有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是。

【例6】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1人拿3个动物小玩具，则最后余下2个动物小玩具；

若1人拿4个动物小玩具，则最后余下3个动物小玩具；

若1人拿5个动物小玩具，则最后余下4动物小玩具。

那么这次活动中小朋友至少拿了______个动物小玩具。

【巩固】有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；

若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；

若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有　　本．

【例7】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．

【巩固】数119很奇特：

当被2除时，余数为1；

当被3除时，余数为2；

当被4除时，余数为3；

当被5除时，余数为4；

当被6除时，余数为5．问：

具有这种性质的三位数还有几个？

【例8】“民间流传着一则故事——‘韩信点兵’．秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人．忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；

接着命令士兵5人一排，结果多出3名；

他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：

我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．”根据故事中的条件，你能算出韩信有多少将士么？

【巩固】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数．

【例9】有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？

【巩固】有两个数字，甲：

除以5余3，除以6余4，除以7余1：

乙：

除以5余3，除以6余4，除以7余1，除以15余？

，当"

？

"

取几的时候乙数是存在的，说明理由。

【例10】有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?

【巩固】五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。

夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；

第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。

第三、四、五只猴子也都这样做。

问：

最初至少有______个桃子。

【随练1】有一群猴子正要分56个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子。

这时．又窜来4只猴子。

只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子．则最后每只猴子分到桃子___个。

【随练2】小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；

若4人分成一组，则最后余下3人；

若5人分成一组，则最后余下4人。

那么一起做游戏的小朋友至少有人。

【随练3】有连续的三个自然数

、

，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？

【作业1】求

除以9、99、999、的余数分别是多少?

【作业2】求满足下列条件的最小自然数：

用3除余1，用5除余1，用7除余1。

【作业3】求满足下列条件的最小自然数：

用3除余1，用5除余2，用7除余2。

【作业4】求满足下列条件的最小自然数：

用3除余2，用7除余4，用11除余1。

【作业5】今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物最少几何？

【作业6】将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?

学生对本次课的评价

○特别满意○满意○一般

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