高中数学新课程创新教学设计案例50篇3134三角函数Word文档格式.docx

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＋360°

，（k＝1）；

－330°

－360°

，（k＝－1）．

设S＝｛β｜β＝30°

＋k·

360°

，k∈Z｝，则390°

角都是S中的元素，30°

角也是S中的元素（此时k＝0）．容易看出，所有与30°

角终边相同的角，连同30°

角在内，都是S中的元素；

反过来，集合S中的任一元素均与30°

角终边相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：

S＝｛β｜β＝α＋k·

，k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和．

三、解释应用

［例　题］

1.在0°

范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．

（1）－150°

．　　　

（2）650°

．　　　（3）－950°

5′．

2.分别写出与下列角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°

≤β＜720°

的元素写出来．

（1）60°

．　

（2）－21°

．　（3）363°

14′．

3.写出终边在y轴上的角的集合．

解：

在0°

范围内，终边在ｙ轴上的角有两个，即90°

，270°

．因此，与这两个角终边相同的角构成的集合为

S1＝｛β｜β＝90°

，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°

＋2k·

180°

，k∈Z｝，而所有与270°

角终边相同的角构成的集合为

S2＝｛β｜β＝270°

，k∈Z｝＝

｛β｜β＝90°

＋（2k＋1）·

，k∈Z｝．

于是，终边在y轴上的角的集合为

S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°

，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°

＋n·

，n∈Z｝．

注：

会正确使用集合的表示方法和符号语言．

［练　习］

1.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°

≤β＜360°

的元素β写出来．

（1）45°

．　

（2）－30°

．　（3）420°

．　（4）－225°

．

2.辨析概念．（分别用集合表示出来）

（1）第一象限角．　

（2）锐角．　（3）小于90°

的角．　（4）0°

～90°

的角．

3.一角为30°

，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为．

4.终边在x轴上的角的集合为；

终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为．

四、拓展延伸

1.若角α与β终边重合，则α与β的关系是；

若角α与β的终边互为反向延长线，则角α与β的关系是．

2.如果α在第二象限时，那么2α，是第几象限角？

（1）不能忽略2α的终边可能在坐标轴上的情况．

（2）研究在哪个象限的方法：

讨论k的奇偶性．（如果是呢？

）

32任意角的三角函数

这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数．任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的．三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键．因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义．在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式

（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备．

1.让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力．

2.理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式

（一），并能初步应用它们解决一些问题．

3.通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平．

一、情景设置

初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函数．这节课，我们研究当α是一个任意角时的三角函数的定义．

?

在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的．如图32-1，在Rt△ABC中，

现在，把三角形放到坐标系中．如图32-2，设点B的坐标为（x，y），则OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，从而

即角α的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数．

一般地，设α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为ｘ轴的正方向，建立直角坐标系xOy．P（x，y）为α终边上不同于原点的任一点．如图：

那么，OP＝，记作r，（r＞0）．

对于三个量x，y，r，一般地，可以产生六个比值：

.当α确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定．根据函数的定义可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把称之为α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为

对于定义，思考如下问题：

1.当角α确定后，比值与P点的位置有关吗？

为什么？

2.利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？

3.任意角α的正弦、余弦、正切都有意义吗？

1.已知角α的终边经过P（－2，3），求角α的六个三角函数值．

思考：

若P（－2，3）变为（－2m，3m）呢？

（m≠0）

2.求下列角的六个三角函数值．

强化定义．

1.已知角α的终边经过下列各点，求角α的六个三角函数值．

（1）P（3，－4）．　

（2）P（m，3）．

2.计　算．

（1）5sin90°

＋2sin0°

－3sin270°

＋10cos180°

1.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如sina＝，不论α取任何实数，恒有意义，所以sina的定义域为｛α｜α∈R｝．类似地，研究cosa，tana，cota的定义域．

2.根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sina，cosa，tana，cota的值在各个象限的符号．

3.计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律．

（1）sin30°

，sin390°

．　　

（2）cos45°

，cos（－315°

）．

规律：

终边相同的角有相同的三角函数值，

即sin（α＋k360°

）＝sina，

cos（α＋k·

）＝cosa，

tan（α＋k·

）＝tana，（k∈Z）．

五、应用与深化

1.确定下列三角函数值的符号．

2.求证：

角α为第三象限角的充要条件是sinθ＜0，并且tanθ＞0．

证明：

充分性：

如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ为第三象限角．

∵sinθ＜0成立，所以θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上．

又∵tanθ＞0成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限．

∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的终边只能位于第三象限．

必要性：

若θ为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知sinθ＜0，tanθ＞0．

从而结论成立．

1.设α是三角形的一个内角，问：

在sina，cosa，tana，tan中，哪些三角函数可能取负值？

2.函数的值域是____________．

33同角三角函数的基本关系式

这节课主要是根据三角函数的定义，导出同角三角函数的两个基本关系式sin2a＋cos2a＝1与，并初步进行这些公式的两类基本应用．教学重点是公式sin2a＋cos2a＝1与的推导及以下两类基本应用：

（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一个，求其余两个三角函数．

（2）化简三角函数式及证明简单的三角恒等式．

其中，已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，正负号的选择是本节的一个难点，正确运用平方根及象限角的概念是突破这一难点的关键；

证明恒等式是这节课的另一个难点．课堂上教师应放手让学生独立解决问题，优化自己的解题过程．

1.让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程，培养学生的动手实践、探索、研究能力．

2.理解和掌握同角三角函数的基本关系式，并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、化简、证明等问题，培养学生的运算能力，逻辑推理能力．

3.通过同角三角函数基本关系的学习，揭示事物之间的普遍联系规律，培养学生的辩证唯物主义世界观．

任务分析

这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系式：

sin2a＋cos2a＝1及，并进行初步的应用．由于该节内容比较容易，所以，课堂上无论是关系式的探索还是例、习题的解决都可以放手让学生独立完成，即由学生自己把要学的知识探索出来，并用以解决新的问题．必要时，教师可以在以下几点上加以强调：

（1）“同角”二字的含义．

（2）关系式的适用条件．（3）化简题最后结果的形式．（4）怎样优化解题过程．

教师出示问题：

上一节内容，我们学习了任意角α的六个三角函数及正弦线、余弦线和正切线，你知道它们之间有什么联系吗？

你能得出它们之间的直接关系吗？

1.引导学生写出任意角α的六个三角函数，并探索它们之间的关系

在角α的终边上任取一点P（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），则角α的六个三角函数值是

2.推导同角三角函数关系式

引导学生通过观察、分析和讨论，消元（消去x，y，r），从而获取下述基本关系．

（1）平方关系：

sin2a＋cos2a＝1．

（2）商数关系：

t：

说明：

①当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时，部分学生可能会利用三角函数线，借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论．对于这种推导方法，教师也应给以充分肯定，并进一步引导学生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1．

②除以上两个关系式外，也许部分学生还会得出如下关系式：

.

教师点拨：

这些关系式都很对，但最基本的还是

（1）和

（2），故为了减少大家的记忆负担，只须记住

（1）和

（2）即可．以上关系式均为同角三角函数的基本关系式．

教师启发：

（1）对“同角”二字，大家是怎样理解的？

（2）这两个基本关系式中的角α有没有范围限制？

（3）自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现．刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式，那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？

1.已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值．

2.已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值．

这两个题是关系式的基本应用，应让学生独立完成．可选两名同学到黑板前板书，以便规范解题步骤．

变式1　在例2中若去掉“且α是第二象限角”，该题的解答过程又将如何？

师生一起完成该题的解答过程．

由题意和基本关系式，列方程组，得

由②，得sinα＝－cosα，

代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝．

∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角．

当α是第二象限角时，cosα＝－，

代入②式，得；

当α是第四象限角时，cosα＝，

代入②式，得.

小结：

由平方关系求值时，要涉及开方运算，自然存在符号的选取问题．由于本题没有具体指明α是第几象限角，因此，应针对α可能所处的象限，分类讨论．

变式2　把例2变为：

已知tanα＝－，求的值．

解法1：

由tanα＝－及基本关系式可解得

针对两种情况下的结果居然一致的情况，教师及时点拨：

观察所求式子的特点，看能不能不通过求sinα，cosα的值而直接得出该分式的值．

学生得到如下解法：

由此，引出变式3．

已知：

tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．

有了上一题的经验，学生会得到如下解法：

教师归纳、启发：

这个方法成功地避免了开方运算，因而也就避开了不必要的讨论．遗憾的是，因为它不是分式形式，所以解题过程不像“变式2”那样简捷．那么，能解决这一矛盾吗？

教师引导学生反思、总结：

（1）由于开方运算一般存在符号选取问题，因此，在求值过程中，若能避免开方的应尽量避免．

（2）当式子为分式且分子、分母都为三角函数的n（n∈N且n≥1）次幂的齐次式时，采用上述方法可优化解题过程．

当学生完成了以上题目后，教师引导学生讨论如下问题：

（1）化简题的结果一定是“最简”形式，对三角函数的“最简”形式，你是怎样理解的？

（2）关于三角函数恒等式的证明，一般都有哪些方法？

你是否发现了一些技巧？

教师出示问题，启发学生一题多解，并激发学生的探索热情．

已知sinα－cosα＝－，180°

＜α＜270°

，求tanα的值．

由sinα－cosα＝－，得

反思：

（1）解法1的结果比解法2的结果多了一个，看来产生了“增根”，那么，是什么原因产生了增根呢？

（2）当学生发现了由sinα－cosα＝－得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的过程中，α的范围变大了时，教师再点拨：

怎样才能使平方变形是等价的呢？

由学生得出如下正确答案：

∵180°

，且sinα－cosα＝－＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．

强调：

非等价变形是解法1出错的关键！

34诱导公式

这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础，利用单位圆和三角函数的定义，导出三角函数的五组诱导公式，即有关角k·

＋α，180°

＋α，－α，180°

－α，360°

－α的公式，并通过运用这些公式，把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想．这节课的重点是后四组诱导公式以及这五组公式的综合运用．把这五组公式用一句话归纳出来，并切实理解这句话中每一词语的含义，是切实掌握这五组公式的难点所在．准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并且把公式二、三与图形对应起来，是突破上述难点的关键．

1.在教师的引导下，启发学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力．

2.理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题．

3.让学生体验探索后的成功喜悦，培养学生的自信心．

4.使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径，进一步树立化归思想．

诱导公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值．在五组诱导公式中，关于180°

＋α与－α的诱导公式是最基本的，也是最重要的．在推导这两组公式时，应放手让学生独立探索，寻求“180°

＋α与角α的终边”及“－α与角α的终边”之间的位置关系，从而完成公式的推导．此外，要把90°

范围内的三角函数转化为锐角的三角函数，除了利用第二、四、五个公式外，还可以利用90°

＋α，270°

±

α与α的三角函数值之间的关系．应引导学生在掌握前五组诱导公式的基础上进一步探求新的关系式，从而使学生在头脑中形成完整的三角函数的认知结构．

教师提出系列问题

1.在初中我们学习了求锐角的三角函数值，现在角的概念已经推广到了任意角，能否把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢？

2.当α＝390°

时，能否求出它的正弦、余弦和正切值？

3.由2你能否得出一般性的结论？

试说明理由．

1.分析1

在教师的指导下，学生独立推出公式

（一），即

2.应用1

在公式的应用中让学生体会公式的作用，即把任意角的三角函数值转化为0°

范围内的角的三角函数值．

练习：

求下列各三角函数值．

（1）cosπ．　　

（2）tan405°

3.分析2

如果能够把90°

范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，即可实现“把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标．例如，能否将120°

，240°

，300°

角与我们熟悉的锐角建立某种联系，进而求出其余弦值？

引导学生利用三角函数的定义并借助图形，得到如下结果：

cos120°

＝cos（180°

－60°

）＝－cos60°

＝－，

cos240°

＋60°

cos300°

＝cos（360°

）＝cos60°

＝．

4.分析3

一般地，cos（180°

＋α），cos（180°

－α），cos（360°

－α）与cosα的关系如何？

你能证明自己的结论吗？

由学生独立完成下述推导：

设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．由于角180°

＋α的终边就是角α的终边的反向延长线，则角180°

＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称．

由此可知，点P′的坐标是（－x，－y）．

又∵单位圆的半径r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝，cos（180°

＋α）＝－x，sin（180°

＋α）＝－y，tan（180°

＋α）＝．

从而得到：

5.分析4

在推导公式三时，学生会遇到如下困难，即：

若α为任意角，180°

－α与角α的终边的位置关系不容易判断．这时，教师可引导学生借助公式二，把180°

－α看成180°

＋（－α），即：

先把180°

－α的三角函数值转化为－α的三角函数值，然后通过寻找－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，使原问题得到解决．

由学生独立完成如下推导：

如图，设任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′．∵这两个角的终边关于ｘ轴对称，∴点P′的坐标是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，

sin（－α）＝－y，tan（－α）＝

进而推出：

在问题的解决过程中，教师要注意让学生充分体验成功的快乐．

6.教师归纳

公式

（一）、

（二）、（三）、（四）、（五）都叫作诱导公式，利用它们可以把k·

α，－α，360°

－α的三角函数转化为α的三角函数．那么，在转化过程中，发生了哪些变化？

这种变化是否存在着某种规律？

引导学生进行如下概括：

α＋k·

（k∈Z），－α，180°

α，360°

－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，还可编成一句口诀“函数名不变，符号看象限”．

1.求下列各三角函数值．

通过应用，让学生体会诱导公式的作用：

①把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为

评注：

本题中，若代入cosα·

cot3α形式，就须先求得cosα的值．由于不能确定角α所在象限，解题过程将变得烦锁．以此提醒学生注意选取合理形式解决问题．

前面我们利用三角函数的定义及对称性研究了角α＋k·

－α的三角函数与角α的三角函数之间的关系，这些角有一个共同点，即：

均为180°

的整数倍加、减α．但是，在解题过程中，还会遇到另外的情况，如前面遇到的120°

角，它既可以写成180°

，也可以写成90°

＋30°

，那么90°

＋α的三角函数与α的三角函数有着怎样的关系呢？

学生探究：

经过独立探求后，有学生可能会得到如下结果：

设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），角90°

＋α的终边与单位圆交于点P′（x′，y′）（如图），则cosα＝x，sinα＝y，cos（90°

＋α）＝x′，sin（90°

＋α）＝y′．

过P作PM⊥x轴，垂足为M，过P′作P′M′⊥y轴，垂足为M′，则△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′．

进而得到cos（90°

＋α）＝sinα，sin（90°

＋α）＝cosα．对此结论和方法，教师不宜作任何评论，而应放手让学生展开辩论和交流，最后得到正确结果：

由于OM与OM′，MP与M′P′仅是长度相等，而当点P在第一象限时，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，

又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x．

教师进一步引导：

（1）推导上面的公式时，利用了点P在第一象限的条件．当点Ｐ不在第一象限时，是否仍有上面的结论？

（通过多媒体演示角α的终边在不同象限的情景，使学生理解公式六中的角α可以为任意角）

（2）推导公式六时，采用了初中的平面几何知识．是否也能像推导前五组公式那样采用对称变换的方式呢？

学生先针对α为锐角时的情况进行探索，再推广到α为任意角的情形．

设角α的终边与单位圆交点为P（x，y），＋α的终边与单位圆的交点为P′（x′，y′）（如图）．由于角α的终边经过下述变换：

2（－α）＋2a＝，即可得到＋α的终边．这是两次对称变换，即先作P关于直线y＝x的对称点M（y，x），再作点M关于y轴的对称点P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．

由此，可进一步得到：

教师归纳：

公式六、七、八、九也称作诱导公式，利用它们可以把90°

α，270°

α的三角函数转化为α的三角函数．

引导学生总结出：

90°

α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把