一阶倒立摆含观测器的状态反馈控制系统综合与设计Word下载.docx
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根据牛顿定律建立系统垂直和水平方向的动力学方程，计及u=F，得
（1）
（2）
保留低阶项
，
项，忽略微小的高次项，在竖直位置处进行线性化。
由
（1）
（2）得
（3）
（4）
令
，输入为
，则状态方程为
（5）
代入参数，忽略摩擦得
（6）
该状态方程输入是加速度，输出是小车位置和摆杆角度。
2、时不变线性连续系统的状态反馈控制与观测器
对时不变线性连续系统
以系统状态为反馈变量产生控制
这种控制方式称为状态反馈控制，但状态作为系统内部变量，一般很难直接测出，为此引入状态观测器。
全维状态观测器的动态方程为
若输出矩阵C为满秩时，可设计较简单的降维状态观测器，其最小维数为n-m（n代表状态个数，m代表输出个数）。
六、实验内容
1、状态反馈及极点配置
（1）能控性检查：
输入代码：
clear;
A=[0100;
0000;
0001;
0029.40];
B=[0103]'
;
C=[1000;
0100];
D=[00]'
Uc=ctrb（A,B）;
rank（Uc）
输出：
ans=
4
系统能控性矩阵满秩，即系统状态完全能控。
（2）系统极点配置
选取系统主导极点：
闭环非主导极点距虚轴的距离为主导极点的5倍以上，则
取：
P=[-10-0.0001*j,-10+0.0001*j,-2-2*sqrt（3）*j,-2+2*sqrt（3）*j];
K=place（A,B,P）
K=
-54.4218-24.489893.273916.1633
（3）极点配置系统仿真
根据系统空间表达式，搭建模型。
仿真波形如图
从仿真结果可以看出，小车最终稳定，小车速度，摆杆角度，角速度最终都稳定在0位置，小车位置超调≤5%，调整时间≤2s，基本符合控制要求。
2、采用状态观测器的状态反馈系统设计
（1）闭环观测器极点配置
<
1>
判断可观性
输入代码：
A=[0100;
0000;
0001;
0029.40];
B=[0;
1;
0;
3];
0010];
D=0;
sys=ss（A,B,C,D）;
observe_matrix=obsv（A,C）;
rank_of_obsv=rank（observe_matrix）
输出：
rank_of_obsv=
系统完全可观。
输出矩阵C的秩为2，所以降维观测器的最小维数为4-2=2。
<
2>
设定降维观测器的期望极点
观测器特征值的选取一般是状态反馈配置极点2-3倍，所以选取状态观测器为-5，-5。
R=[0100;
0001];
P=[C;
R];
invP=inv（P）;
p=[-5;
-5];
<
3>
求取等价系统的模型
AA=P*A*invP
A11=[AA（1:
2,1:
2）];
A12=[AA（1:
2,3:
4）];
A21=[AA（3:
4,1:
A22=[AA（3:
4,3:
BB=P*B
B1=BB（1:
2）;
B2=BB（3:
4）;
CC=C*invP
AA=
001.00000
0001.0000
0000
029.400000
BB=
0
1
3
CC=
1000
0100
4>
求取矩阵L
symss
system_eq=expand（（s-p
（1））*（s-p
（2）））
symsL_1L_2L_3L_4
L=[L_10;
0L_4];
eq=collect（det（s*eye
（2）-（A22-L*A12））,s）
输出：
system_eq=
s^2+10*s+25
eq=
s^2+（L_1+L_4）*s+L_1*L_4
选取
L=LL=[50;
05];
5>
求取降维观测器的动态方程
输入代码：
AW=（A22-LL*A12）
BU=（B2-LL*B1）
BY=（A21-LL*A11）+（A22-LL*A12）*LL
CW=invP（1:
4）
DY=invP（1:
2）+invP（1:
4）*LL
AW=
-50
0-5
BU=
BY=
-25.00000
04.4000
CW=
00
10
01
DY=
50
05
（2）系统仿真
仿真波形如图
与不带观测器的状态反馈波形基本一致，达到预期效果。
从仿真结果可以看出，小车最终稳定，小车速度，摆杆角度，角速度最终都稳定在0位置，调整时间<
2s，符合控制要求。
3、实验平台调试
不带观测器的状态反馈：
带降维观测器的状态反馈：
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