最新中学数学基本能力培养Word文档格式.docx

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例1讲异分母分数的加减时，如果只教给学生要先通分，变成同分母的分数之后，再按同分母的分数进行加减运算，而不讲清为什么要这样算，有的学生对运算的方法是记不牢的，时间一长，往往会遗忘，甚至会出现«

SkipRecordIf...»

之类的笑话．

因此，教师必须在学生学习通分算法之初，就教学生“算理”，让学生清楚地懂得：

如果两个分数分母不同，分数的单位就不同，每份的大小也就不同，而单位不同的分数是不能直接相加减的．只有经过通分之后，它们的分母相同了，即分数的单位相同了，每份的大小是一样的，从而就可以直接进行加减运算了．

例2如化简«

，则需要灵活运用和角三角函数公式来进行推理，计算如下：

原式«

«

这里，三角函数公式的应用，恒等变形的使用都给培养正确的、迅速的运算能力提供了前提．

例3如解方程«

，首先应该知道方程的解域是«

，再进行同解变形得

从而有（x-1）2＝100，解此方程得x＝11或x=-9

但要注意，如果把原方程变为：

由于未知数取值范围缩小为x＞1，于是产生减根．显见这种解法是错的．

在例2和例3的运算过程中，每步推导都是依理进行的．事实上，在培养运算能力的过程中，逻辑思维能力的培养也在其中了．

例4实系数方程«

的三根在复平面上构成正三角形的三个顶点，则m的值的是：

（A）－1；

（B）0；

（C）1；

（D）2．答案（）

解因为三点不可能都在实数轴上，所以方程至少有一个虚根，又因为实系数为一元三次方程，故必有一个实根．

设三根为α，a+bi，a-bi（α、a、b∈R，α≠0）它们的对应点分别为A（α,0），B（a,b），C（a,-b），其中A在实轴上．

由韦达定理，可得

α+（a+bi）（a-bi）＝0

所以：

α＝-2a

故A与B、C位于y轴两侧．

设B、C连线交x轴于D点，则有

|OD|=|a|

|OA|＝|-2a|＝2|a|

所以O为ΔABC的中心．

|OB|＝2|a|，a2+b2＝4a2∴b＝±

a

所以三根为-2|a|，a（1+«

i），a（1-«

i）

又因为（-2a）a（1+«

i）a（1-«

i）＝-1

解得a=«

，则α＝-2a＝-1

将α＝-1代入原方程，得（-1）3＋m（-1）＋1＝0，故m=0，故选择（B）．

本题推理丝丝入扣，逻辑严谨．各步判断有根有据，然而各步判断均和计算结果直接相关．由此可见运算能力的培养有助于推理判断能力的培养．除此，运算能力的培养在运算型的证明题中也能得到较好的体现．总而言之，在运算过程中，“言之有据”是应该遵循的重要原则之一．下面再举一例，以说明在逻辑运算中，也必须弄通算理，才能使运算达到正确迅速．

例5某年级先后举行数、理、化三种竞赛，学生中至少参加一科的：

数学201人，物理177人，化学163人；

参加两科的：

数学、物理141人，数学、化学114人，物理、化学95人；

三科都参加的87人．问参加竞赛的学生总数是多少？

解这是一道涉及到逻辑运算的运算题．如学生弄不通算理，如学生弄不通算理，不懂逻辑运算法则，还照以往代数中的运算一样去运算，即将各类竞赛者一加求和了事，那就出现错误了．所以说，一些与运算相关的新的数学概念、法则、公式的引入都需要加以格外留意，以免在运算过程中，因算理不通，铸成谬误．对本题可作如下解答：

设A、B、C分别表示参加数学、物理化学每一科竞赛学生的集合（如图9-1）,并且以n（S）表示有限集合S的元素个数．则有

n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）

-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C）

=201+177+163-141-114-95+87

=278

2、提高记忆能力，加强运算基本功训练

培养学生运算能力，还要提高学生的记忆能力，牢固掌握一些常用的数据、常用的公式和法则．尤其要加强运算基本功训练，籍以形成熟练的技能技巧．

（1）一般来说，在小学阶段，作为运算的基本功主要是：

i）熟练掌握整数、小数、分数的四则运算；

ii）20以内的口算加减法与表内乘法、相应的除法，要达到“直呼”的程度：

熟悉分数、小数互化运算，熟悉一些分数互化的数值．例如：

、«

等等．

（2）在初中阶段，作为运算的基本功主要是：

i）熟练掌握有理数的四则运算和有理指数、常用对数、锐角三角函数的运算，特别还要加强整式、分式与根式的运算训练．

ii）要熟记一些重要数据，讲究记忆方法和规律，最好能达到“直呼”的程度：

a、多位数与一位数相乘，直接得积；

b、1－20的平方数，1－10的立方数．

c、将被开方数化为质因数乘积求方根；

d、特殊角的三角函数值；

角度制与弧度制互换．

e、乘法公式．

（3）在高中阶段，要通过复习以巩固上述初等运算的能力．要学习一些初等函数的恒等变形；

学习行列式和复数的运算；

学习极限与微积分运算；

还要学会集合的运算、逻辑运算．这阶段的运算基本功主要是：

i）熟练掌握指数、对数式与三角函数式的恒等变形，初步掌握极限与微积分运算．

ii）熟记基本公式、重要的极限等、以提高计算速度．

例如：

，«

，（«

且«

）；

«

；

微积分基本公式等．

为了使学生练习基本功，一要理解运算所依据的道理；

二要记住常用的公式、法则；

三要通过练习才能落实到学生身上．下面选一组指数、对数的基础练习和一组心算练习题，供参考．

i）化简计算：

①«

②«

③«

④«

．

ii）比较大小

②«

④«

⑤«

⑥«

iii）求函数的定义域；

iv）求值：

①已知lgx＝6，lgy＝3，求«

的值．

②已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求«

③已知ΔABC中，∠C＝90°

，三边长a、b、c，求«

v）解方程：

心算练习题：

①a为实数，a2永远为正数，对吗？

②代数式2+x2的值，最小可能是几？

③代数式1－y2的值，最大可能是几？

的值能否大于1？

为什么？

⑤下列哪些式子相等，哪些不相等；

a、62·

64与68；

b、（24）3与212；

c、（2·

3·

5）2与22·

32·

52；

d、（-7·

14）4与-74·

144．

⑥“a加b平方”与“a与b和的平方”意思一样吗？

分别写出表达式来．

⑦若3x<

x，x的值会怎样？

⑧想出一个数c，使c2＞c而2c<

c．

⑨方程«

与«

是否同解？

⑩为什么方程组«

无解？

练好运算的基本功，并使运算具有一定的速度，是培养学生正确迅速的运算能力不可缺少的．

3、加强运算练习，培养学生的运算能力

我们知道任何能力都是可以有计划、有目的地训练出来的，提高学生运算能力必须加强练习，严格训练．加强练习就要按规律进行多练、巧练、反复练．题目由浅到深，基本题、引伸题、创新题依次出现，这样不但可训练学生的运算技能技巧，而且可培养学生的运算能力．严格训练就要做到高质量、高效率，即学生练习要做到正确、迅速、合理．从某种意义上讲，运算能力的培养实际上就是对合理进行计算的能力培养．而这种合理性的发现，“简捷算法”的寻得，首先就需要有很好的观察力和对基础知识的良好掌握．例如计算

有观察习惯的人绝不一见题就用乘法分配律展开，而是对«

都含有«

具有“好奇心”，并接着会想从第一个因式中提取公因式«

，从第二个因式中提取公因式«

，看它们会变成什么样子？

即

原式＝«

至此，就容易进一步想到用乘法公式作进一步的化简了．

由于每个人在观察时，抓住问题的特点不同，或者运用的知识不同，对同一个问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”，“多解”之中一般总有较为简捷的解法．

经常引导学生重视“简捷算法”与“一题多解”的训练，可以培养学生思维的敏捷性和灵活性．只有思想上“迅速”了，行动上才能“迅速”起来；

只有解法上“合理”了，即在应有的水平上达到了“最佳选择”，才能获得最快的速度．

当然“简捷算法”与“一题多解”的训练必须紧密结合教学内容进行；

必须从小学到中学，一贯重视这种能力的培养，循序渐进地提高要求，才能使学生学到运算技能和技巧，得到系统的巩固和提高，从而形成一种运算能力，进而去探索未知领域，获得新知识．当然这种未知领域对于学生来说是先前未曾感知过的，而对教师来说是可能感知过的．

在低年级，一般宜进行“简捷运算”的训练．因为学生年龄尚小，所学知识也不多，他们往往会为获得一种“简捷运算”而欢欣鼓舞，可以说简捷运算容易引起学生的学习兴趣．当然在高年级也要寻求“简捷算法”，即使搞“一题多解”训练，最后也要比较，看哪种解法最为简捷．

例1化简«

分析这是一道根指数，分数指数的综合运算题，首先要确定统一成哪种指数形式进行运算较为简捷．

例2已知直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm，求斜边上的高．

解若用射影定理计算高就繁了．所以先求斜边长，得«

，再由面积相等求出斜边上的高为«

例3已知«

，求«

分析若用«

直接代入求值就太繁了．所以，我们改变一个角度，由«

得«

，所以«

，把它代入原式，则问题就解决了．

解由«

，得«

，所以

原式«

以上三例都显示了简捷运算的优点．但这种简捷运算的获得，是经过认真分析，进行选择的结果，这个过程，一题多解的思想已包含在其中了．

采用多样化方法解题，不但可以发展学生的思维能力与运算能力，而且还可以提高学生的学习积极性，培养创造精神．

为了提倡“一题多解”，在教学中教师要经常进行“一题多解”的典型示范，同时引导学生判断哪种方法较简捷，从而进行选择，加强解题的预见性，做到解题时思维敏捷，避繁就简，达到正确迅速的要求．

对于学生有创见的解法，也要善于引导，爱护他们独立思考的积极性，同时帮助他们分析具体错误的症结．

例4计算«

解①原式＝«

②原式＝«

③原式＝«

④原式＝«

显然解法①是最简捷的，但解法③也很巧妙．

例5已知ax4+bx3+1能被（x-1）2整除，求a、b之值．

解法一

用竖式除法，即得余式为（3b+4a）x+（1-2b-3a）＝0

解得a=3，b=-4

解法二

用比较系数法．令

将等号右边展开，两边比较系数，解方程组得：

a=3，b＝-4，p＝3，q＝2，r＝1，

例4、例5在完成运算之后可知有较简捷算法存在，而例1、例2、例3是在未完成运算之前就作出合理选择，从而采用了简捷算法，实质上，前3例也进行了“一题多解”的思维过程，只不过表述成文字的是一种简捷的算法．

运算能力形成的重要性，不仅仅在于它能够从事一系列的运算，甚至具有一定的技能技巧，而更重要地在于它能帮助人们去开拓新知识领域．

例6计算1＋2＋3＋……＋100

这是历史上很有名的一道题．据说高斯在六岁的时候，就以老师不敢相信的速度得出了正确的答案5050．高斯是如何进行运算的呢？

我们可以推测，他可能是观察之后，发现了1＋100＝2＋99＝……＝50＋51，然后利用加法的交换律、结合律及乘法的定义进行运算的，即

1＋2＋3＋……＋100

＝（1＋100）+（2＋99）+……+（50＋51）

＝101＋101＋……＋101

＝101×

50＝5050

所用知识是有限的，是人所共知的，然而他将这些知识选择，组合的方法是别有洞天的．再朝前走一步，自然数列求和公式不就应运而生了吗？

例7求自然数倒数平方的级数和：

……

解这是数学家伯努利（Bernoulli，1654－1705）的一个级数求和难题，伯努利是17世纪杰出的数学家，他是古典概率论的创始人，对古典微积分学以及级数求和等问题都有贡献，但是他却没有办法算出自然数倒数平方的级数和．于是他公开征解，可惜直到他逝世时还未见到有人解出此难题．这个难题过了数十年之后才由欧拉解答出来．在这里欧拉巧妙地利用了类比推理完成了一项非常有趣的发现，给出了伯努利所未能找到的级数和．

首先，对于只含偶数次项的2n次代数方程

……«

）

假设有2n个互不相同的根：

则得«

把乘积展开出来，易见x2项的系数为：

以上所述为一般代数方程式论中的初等知识．

欧拉又考虑了三角方程：

他把它看成是只含有偶次项的无穷次代数方程．由于此方程含有相异根«

……于是欧拉采用了类比法，即仿照上述2n次多项式分解成乘积的形式，把这里出现的所谓无限次多项式也照样分解成因式乘积形式：

这便是著名的“欧拉乘积公式”．这样一来，再把右边的乘积展开，便发现x2项的系数是：

奇迹出现了．

在数学中经常给学生出一些创新题去运算，对学生的运算能力培养是十分有益的．当然这些创新题应是学生力所能及的，那种一提“创造”就认为是让学生解答数学家所未能解答的问题的态度，显然是不可取的．

9．2空间想象能力的培养

9．2．1什么是空间想象能力

想象是一种特殊的思维活动，即在头脑中表象出某种未曾感知的东西，或者创造某种未曾感知过的物体和现象的形象，或者专门产生某些新事物的概念．空间想象不应只局限于三维空间．如果我们认为空间想象乃是全部数学中的形象思维，它就和逻辑思维相辅相成了．通过逻辑思维，由具体到抽象，又通过空间想象，由抽象到具体，波浪式地发展着．实际上，在平面几何中，特别是在平面解析几何中，时常要想象图象的运动．在代数和三角中，空间想象也扮演着重要的角色．例如由函数的图像，便易于掌握函数的性质．代数和分析中的许多概念，如果明确了它们的几何解释，就能使本来很抽象的概念变得生动、直观、形象起来，例如导数和定积分概念就是这样，特别是复数的几何意义的获得，对复数的研究更起了重大的作用．总之，培养学生的空间想象能力应是整个中学数学教学的任务．其中立体几何教学在培养学生的空间想象能力方面所起到的特殊作用是明显的．

空间想象能力的培养应当包括哪些要求？

一般认为大体上包括下列三个方面的要求：

1、对于客观存在的空间形式，能在头脑中反映出正确的形象来，即形成空间概念．

2、能将空间形式，按照统一规定，绘成平面图形，反之，能从已知的平面图形想象出它所表达的空间形式．

3、不但能进行逻辑思维，而且能进行形象思维，也就是说能运用图形的几何直觉去研究某些问题．

9．2．2培养学生空间想象能力的基本途径

如同培养学生的运算能力一样，培养学生的空间想象能力也需要认真学习，牢固掌握基础知识，要会绘图会看图，还要进行一系列的关于加强空间想象能力的训练．具体地说，培养学生空间想象能力的基本途径可有以下几条：

1、学好有关空间形式的基础知识

想象是客观现实在人脑中的一种反映，所以学生学好有关空间形式的数学知识是提高学生空间想象能力的根本．

中学数学中有关空间形式的知识不仅是几何的知识，还有数形结合的内容．如数轴、坐标法、函数图象、三角函数的几何意义、方程与曲线，几何量的度量与计算等内容都可以通过数量分析的方法对几何图形加强理解，掌握这些有利于培养学生的空间想象能力．

从研究数量之间的关系，到研究图形之间的关系，数形之间的关系，这是一个很大的变化，虽然在小学里学生已接触过一些几何图形，数形结合的知识，但是学生的空间概念还是很薄弱的，要使学生熟悉图形之间的关系、数形间的关系，还是较为困难的问题，需要有一个逐步培养的过程．

对于某一图形所反映的空间形式，怎样使学生形成关于它的空间概念呢？

一般认为，大致需要经过如下过程．

（1）运用实物、模型等进行直观教学，使学生在头脑中形成空间概念的整体形象．

（2）通过教师和学生绘制草图和示意图，使头脑中形成的空间概念的形象“具体化”．

（3）研究图形的组成元素及其性质，深入了解空间形式的内部结构和特性．

（4）根据给定条件，运用画图工具作图，切实掌握空间形式的常用表达方法．

总之，空间概念的形成必须经过由画图到看图的一系列训练．

在“直线和平面”这一章的教学中，为了有步骤地培养学生的空间想象能力，首先要着重向学生指出现在研究的图形是在空间里，是空间图形，它和平面几何中学习的图形有着本质的区别．其次在教学中，应尽可能多地利用模型实物的直观性，并结合模型绘制草图；

往后则逐渐有意识地减弱模型的作用，增强图形的作用；

再后则完全不要模型，只利用图形，以培养学生通过图形来想象实际各种元素在空间的位置关系．最后，再进一步既不用模型，也不用图形，而能解决一些比较简单的问题（包括计算题、证明题和作图题），从而不断发展学生的空间想象能力．

2、从事数学实习活动

通过对实物的观察、解剖、分析或者制作模型、实地测量、作图等数学实习活动也是培养学生空间想象能力的