九年级秋季班第2讲相似三角形Word下载.docx

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可简述为：

两角对应相等，两个三角形相似．

如图，在∆ABC与∆A1B1C1中，如果∠A=∠A1、∠B=∠B1，那么∆ABC∽∆A1B1C1．

常见模型如下：

4、相似三角形判定定理2

如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．

如图，在∆ABC与∆ABC中，∠A=∠AAB=AC，那么∆ABC∽∆ABC．

111

A1B1A1C1

5、相似三角形判定定理3

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

三边对应成比例，两个三角形相似．

如图，在∆ABC与∆ABC中，如果AB=BC

=CA

，那么∆ABC∽∆ABC．

A1B1B1C1C1A1

6、直角三角形相似的判定定理

如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．

如图，在Rt∆ABC和Rt∆ABC中，如果∠C=∠C

=90︒，

AB=BC

，那么

∆ABC∽∆A1B1C1．

A1B1B1C1

A1

BCB1C1

3/18

【例1】如图，已知点P是∆ABC中边AC上一点，联结BP，要使∆ABP∽∆ACB，那么应添加的一个条件为，或，或．

【例2】下列命题正确的是（）

A．有一个角是40°

的两个等腰三角形相似

B．有一个角是106°

C．面积相等的两个直角三角形相似

D．两边之比为3:

5的两个直角三角形相似

【例3】下列4⨯4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与∆ABC相似的三角形所在的网格图形是（）

A．B．C．D．

【例4】如图，∆ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD:

DE=3:

5，AE=8，

BD=4，则DC的长等于（）

A．4

15

B．12

5

C．17

4

D．15

【例5】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：

将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似；

1

乙：

将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．

对于两人的观点，下列说法正确的是（）

A．两人多对B．两人都不对C．甲对乙不对D．甲不对，乙对

【例6】如图，∆ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN=．

【例7】如图，在平行四边形ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP//DF，且与AD相交于点P，则图中有对相似的三角形．

【例8】如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90︒，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若∆PAD与∆PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）

A．1个B．2个C．3个

【例9】如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90︒，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC

的延长线于点E，则CE的长为（）

A．3

2

B．7

6

C．25

D．2

【例10】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F

为线段DE上一点，且∠AEF=∠B．

（1）求证：

∆ADF∽∆DEC；

（2）若AB=8，AD=6

，AF=4

，求AE的长．AD

F

BEC

【例11】如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点

E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．

四边形ACED是平行四边形；

（2）联结AE，交BD于点G，求证：

DG=DF．

GBDB

【例12】如图，在∆ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．

AD2=DGBD；

（2）联结CG，求证：

∠ECB=∠DCG．

【例13】在∆ABC中，AB=40，AC=24，BC=32，点D是射线BC上的一点（不与端点重合），联结AD，如果∆ACD与∆ABC相似，求BD的值．

【例14】正方形ABCD的边长为1，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持

AM⊥MN，求当BM为多少时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为多少？

【例15】如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则∆EBG的周长为cm．

【例16】如图，Rt∆ABC中，∠ACB=90︒，AC=4cm，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设点E的运动时间为t秒，联结DE，当t为何值时，∆BDE是直角三角形？

【例17】如图，∆ABC中，4AB=5AC，AD为∆ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，联结EG交AC于点H，若点H是

AC的中点，求AG的值．

FD

1、相似三角形性质定理1

相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

2、相似三角形性质定理2

相似三角形周长的比等于相似比．

3、相似三角形性质定理3

相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

【例18】如果两个相似三角形的面积之比是9:

25，其中小三角形一边上的中线长是12

cm，那么大三角形对应边上的中线长是cm．

【例19】在∆ABC中，DE//BC，且D在AB边上，E在AC边上，若S∆ADE:

SBCED=1:

4，则C∆ADE:

C∆ABC=，AD:

DB=．

【例20】如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=∠ACD=90︒，AB=2，DC=3，则∆ABC

与∆DCA的面积比为（）

A．2:

3B．2:

5C．4:

9D．2:

【例21】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值为（）

A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．有无数个

【例22】如图，D、E分别在∆ABC的边AB、AC上，AD=AE=DE=2，且∆ABC与

ABACBC3

∆ADE的周长之差为15cm，求∆ABC与∆ADE的周长．A

DE

BC

【例23】如图，在∆ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE//AC，若

S∆BDE:

S∆CDE=1:

4，则S∆BDE:

S∆ACD=．

【例24】如图，在∆ABC中，∠C=90︒，将∆ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落

在AB边上的点D处，已知MN//AB，MC=6，NC=2

面积是．

，那么四边形MABN的

【例25】如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线与F，BG⊥AE于G，则∆EFC的周长为．

【例26】如图，在∆ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED//BC交AB

于点D．

AEBC=BDAC；

（2）如果S∆ADE=3，S∆BDE=2，DE=6，求BC的长．

DE

【例27】如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90︒，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将∆ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1，AD的中点E的对应点记为E1，若∆E1FA1∽∆E1BF，

则AD=．

【例28】如图，在Rt∆ABC中，∠C=90︒，AB=5，BC=3，点D、E分别在BC、AC

上，且BD=CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF//AB，则BD的长为．

【例29】如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90︒，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段CD向点C运动，点O从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；

（2）设∆CPQ的面积为S，求S与t之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时刻t，使得S∆CPQ:

S∆ABC=9:

100？

若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由；

（3）当t为何值时，∆CPQ为等腰三角形？

【习题1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中

∆ABC相似的是（）

【习题2】如图，D是∆ABC的边AC上一点，∠CBD的平分线交AC于点E，AE=AB，则长度为线段AD、AC长度比例中项的线段是．

【习题3】如图，在∆ABC中，D、F是AB的三等分点，DE//FG//BC，分别交AC于E、

G．记∆ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积分别为S1、S2、S3，则

．

S1:

S2

:

3S=

【习题4】如图，D是∆ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，若的面积为a，则∆ACD的面积为．

∆ABD

【习题5】如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图像大致是（）

【习题6】如图，已知点D是等腰直角三角形ABC斜边BC上的一点，BC=3BD，CE⊥

AD，则AE=．

CE

【习题7】在同一时刻，两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为m．

【习题8】如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为点G，BG交AE于点H．

∆ABE∽∆ECF；

AGD

（2）找出与∆ABH相似的三角形，并证明；

F

（3）若E是BC的中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．HM

【习题9】如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD

的各边上，EF//AC//HG，EH//BD//FG，求四边形EFGH的周长．

【习题10】如图，在∆ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t>

0）．

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：

四边形AEDF为菱形；

（2）在整个运动过程中，所形成的∆PEF的面积存在最大值，当∆PEF的面积最大时，求线段BP的长；

（3）是否存在某一时刻t，使∆PEF为直角三角形？

若存在，请求出此时刻t的值；

若不存在，请说明理由．

【作业1】如图，在∆ABC中，DE//BC，AD=1，则下列结论正确的是（）

A．AE=1

DB2

B．DE=1

AC2BC2

C．∆ADE的周长=1D．∆ADE的面积=1

∆ABC的周长3∆ABC的面积3

【作业2】如图，在∆ABC中，点D和点E分别在边AB、AC上，下列条件不能判定∆ABC

∽∆AED的是（）

A．∠AED=∠B

C．AD=AC

AEAB

B．∠ADE=∠C

D．AD=AE

ABAC

【作业3】一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∆AOB与∆DOC的面积之比为

【作业4】如图，点D、E分别在∆ABC两边AB、AC上，且AD=31，DB=29，AE=30，

EC=32．若∠A=50︒，则关系式“○1

∠ADE>

∠B；

○2

∠AED=∠C；

○3

∠C；

○4∠AED=∠B”中正确的有（）A

A．1个B．2个C．3个D．4个

E

D

【作业5】在∆ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的一条直线截∆ABC，

使截得的三角形与∆ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的相似线．A

如图，∠A=36︒，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的∆ABC的相似线最多有条．

P

【作业6】如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，

DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a>

b），下列结论：

○1∆BCG≌∆DCE；

DGGO

∆EFO∆DGO

○2BG⊥DE；

○3=；

○4（a-b）

GCCE

2S=b2S，其中正确的个数是（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【作业7】已知，在菱形ABCD中，CF⊥AB，垂直为E；

CE与BD相交于点F．

AB=CF；

（2）求证：

DF

BEEF

【作业8】如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD与点E，点F、M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD，连接MF，NF．

（1）判断∆BMN的形状，并证明你的结论；

（2）判断∆MFN与∆BDC之间的关系，并说明理由．

【作业9】如图，∆AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（2，）底边OB在x轴上，

将∆AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得∆A'

O'

B，点A的对应点A'

在x轴上，求点O'

的坐标．

【作业10】已知：

正方形ABCD的边长为4，点E为BC边的中点，点P为AB边上一动点，沿PE翻折得到∆BPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G．

（1）如图，当BP=1.5时，求CQ的长；

（2）如图，当点G在射线AD上时，设BP=x，DG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）延长EF交直线AD于点H，若∆CQE与∆FHG相似，求BP的长．