解几离心率求解的基本方法Word文件下载.docx

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解法6:

巧用图形的几何特性

为直径的圆上。

P

由，知点P在以

又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点故有

由此可得e•［二，1）

2

水深火热的演练

、直接求出a,c或求出a与b的比值，以求解e。

1

3.若椭圆经过原点，且焦点为F1（1,0）,F2（3,0）,则椭圆的离心率为一

_2_

4.已知矩形ABCDAB=4,BC=3，则以AB为焦点，且过CD两点的椭

圆的离心率为。

22

5.若椭圆笃•与=1,（ab0）短轴端点为P满足PR_PF2，则椭ab

圆的离心率为e=

1

mn取得最小值时，

6..已知1（mO.n0）则当

mn

的的离心率为

7.椭圆X2£

-1（ab0）的焦点为F1,F2，两条准线与x轴的交点

ab

分别为M,N，若MN<

2IF1F2,则该椭圆离心率的取值范围是

"

丿

8.已知F1为椭圆的左焦点，AB分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆

血上的点，当PF丄F1A,PO//ABO为椭圆中心）时，椭圆的离心率为。

9.P是椭圆于計（a>

b>

。

）上一点，％F2是椭圆的左右焦点，已知

ZPFF2F扌F2FZF1PF^3/,椭圆的离心率为e=J3—1

10.已知F「F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若

J6

-PF1F2=15PF2F1=75，则椭圆的离心率为—

3

13.椭圆Xy-=1（a>

b>

0）的两顶点为A（a,0）B（O,b）,若右焦点F

a2b2

到直线AB的距离等于1IAFI,则椭圆的离心率是-。

23

14.椭圆笃•%=1（a>

0）的四个顶点为A、B、CD,若四边形ABCD

15.已知直线L过椭圆

如果坐标原点到直线

=1（a>

0）的顶点A（a,0）、B（0,b）,

a

L的距离为一，则椭圆的离心率是

XV

16.在平面直角坐标系中，椭圆—=1（a>

b〉o）的焦距为2，以o

广2、

为圆心，a为半径作圆，过点—,0作圆的两切线互相垂直，则离心

\、&

率e=——

（A）

A.必在圆x2y^2内

C.必在圆x2•v2=2外

、构造a,c的齐次式，解出e

E.必在圆xv=2上

D.以上三种情形都有可能

17.设椭圆一22=1（ab0）的离心率为

方程ax2•bx-c=0的两个实根分别为

1•已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是

5

2•以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M

N两点，椭圆的左焦点为直线MF与圆相切，则椭圆的离心率是

.3-1

F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1-MF2=0的点M总在椭圆

内部,

42

则椭圆离心率的取值范围是（0,——）

2.已知

R、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且•FiPF2=90,椭圆离心率e的取值范围为|——1

：

2，J

3.已知R、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且•F1PF2=60,

_1）

椭圆离心率e的取值范围为,1

IL2

4.设椭圆笃*每=1（a>

0）的两焦点为R、F2,若椭圆上存在一点Q

使/FQF=120o，椭圆离心率e的取值范围为

5•在△ABC中，AB^BC，边…箱•若以A，B为焦点的椭圆

经过点C，则该椭圆的离心率

_xy_

6•设Fi,F2分别是椭圆—2-1（ab0）的左、右焦点，若在其

右准线上存在P,使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值

范围是'

丄，

]3丿

7.如图，正六边形一ABCDEF勺顶点AD为一椭圆的两个焦点，其余四个顶

点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是“3-1

关于双曲线离心率

、利用双曲线性质

例1设点P在双曲线务-§

=1（a0,b0）的左支上，双曲线两焦点

为Fi、F2,已知|PF1|是点P到左准线I的距离d和|PF2|的比例中项，求

双曲线离心率的取值范围。

解析：

由题设1PFZ^1得1T=囂。

由双曲线第二定义

|PF,||PF2|a-ex

1e得：

2e，由焦半径公式得：

e，则

d|PF,|aex

x=_（12e）a__a，即e2-2e-1_0,解得1-e<

12。

e-e

归纳：

求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再

利用性质：

若点P在双曲线务-与=1的左支上则x_-a；

若点p在双ab

曲线务一%二1的右支上则x_a。

二、利用平面几何性质

例2设点P在双曲线笃—每=1（aq0,b>

0）的右支上，双曲线两焦

点Fi、F2,IPF|=4IPF2I，求双曲线离心率的取值范围。

由双曲线第一定义得：

〔PF,|-|PF2|=2a，与已知|PF,4|PF2|

联立解得：

82

|PF,|a,|PF2|a，由三角形性质|PF,|•〔PF?

|-厅也|得：

33

825

aa-2c解得：

1：

e艮

333

求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。

三、利用数形结合例3（同例2）解析：

由例2可知：

IPF1|a,|PF2|a，点P在双曲线右支上由图1可知：

|PRc•a，|PF2|_c-a，即一a_c，a,—a_c_a，两式相加得:

55

a_c，解得：

e乞一。

四、利用均值不等式

点为f、f2，巴丄最小值是8a，求双曲线离心率的取值范围。

IPF2I

应'

PF212a）2F2I土4a_8a，由均值

IPF2IIPF21IPF2I

定理知：

当且仅当IPF2I=2a时取得最小值8a，又IPF2I_c-a所以

2a_c「a，贝U1：

e乞3。

五、利用已知参数的范围

例5（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中,IAB2ICDI,点E分有向线段AC所成的比为■，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为

焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。

34

如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为

XT-y7=1（a0,b0）,设A（-c,0）、B（c,0）、C（二h）、E（x°

yo）ab2

E两点坐标分别代入双曲线方程得

e2-1e22

解得.7<

e<

10。

，由已知

六、利用直线与双曲线的位置关系

例6已知双曲线飞—y2=1（a■0）与直线|:

x•y=1交于P、Q

两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。

把双曲线方程和直线方程联立消去x得

（1-a2）y2-2y，1-a2=0,1-a2=0时，直线与双曲线有两个不同的交

点则:

0，江=4—4（1—a2）2=4a2（2—a2）0，即a2：

2且a=1，

七、利用点与双曲线的位置关系

例7已知双曲线令-y2=1（a0）上存在p、q两点关于直线