48能控标准形和能观标准形Word文件下载.docx
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_1-1
T
X+
10_
丄
j&
=
U
能控性矩阵
1
1-1
-1
p{A]|_10J1
A=PAP~[=
c
bc=Pb=
推论1:
设单输入线性定常系统
Ax+bu
<
y=cx（481）
能控，式中A,方分别为心—x1矩阵，且系统的特征多项式为
|/1/—?
1|=2"
+Q］久1+A++cin
则可通过非奇异线性变换
x-Tx
11-1
T=[bAbL
c_
ii-2
N
将式（4.8.1）变换为能控标准型
Ac^/drbrU
cc
式中
■0
L
A=T'
AT=
ccc
-a
_n
h
~an-2
be=T：
b=M;
Cc=CT=[AA-i1-A]
实现能控标准型变换的核心在于构造非奇异变换阵。
可以证明，引入非奇异变换x=Tcxf将状态完全能控的单输入系统式（4.&
1）变换为能控标准型式（4.&
2）的变换矩阵T的逆矩阵可表达为
C
P1
【例】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,并求系统的传递函数
「12O~
~2~
3-11
x+
020
y=[O0l]x
解:
变换前系统能控判别矩阵
卩416'
Qc=\BABA2b]=168
1212
因为rankgc=3=/7,故系统是能控的，可化为能控标准型。
又因为系统的特征多项式为
det[2Z-A]=|A/-A|=A3-9A+2
故％=0,也二_9,°
3=2
也可根据定理&
1先求变换阵Tc的逆矩阵I；
"
卩=[°
1]*
16
=[00
1]
12
-2
-242
-161
321
变换后所得能控标准型为
其中ac=t-1atc=
0_
Be=T；
lB=
9
J元+仪%
元
4・&
2系统的能观标准形
g=Ax+bu
y=cu
~an
~an-l
A=
c=[O00L
_a?
~a\
式（4.8.19）中，系统矩阵和输出矩阵对（A,C）具有标准
结构（行向量C中最后一个元素为1,而其余元素为零;
A为友矩阵的转置），易证与其对应的能观测性判别矩
阵卩。
的行列式dett/工0，故rankU°
=”,即系统一定能观测。
若单输出系°
统状态空间表达式中的系统矩阵和输出矩阵对（A,O具有形如式（4.8.19）中的标准形式，则称其为能观测标准型，且该系统一定是状态完全能观测的。
一个能观测系统,当其系统矩阵和输出矩阵对
（A,C）不具有能观测标准型时,一定可以通过适当的非奇异变换化为能观测标准型。
定理4•&
2如果系统是能观测的,那么必存在_
非奇异变换兀=鹅系统变换为能观标准形
^AnWdrbu
oo
y=c。
璇
T=\r{AT,A
例4•&
2
.&
2兀
y=j
能观性矩阵
U。
~11
cA
-i
忆的］=
推论2：
设单输出线性定常系统
Ax+Bu
（y=Cx
能观测，式中A,C分别为HXH,1XH矩阵，且系统的特征多项式为
|^,Z—=久"
+Q］久"
J+A+久+CLn
则存在线性非奇异变换
X=Tox
变换矩阵To的逆矩阵
41
an-2
A
a{
r
■C■
仏2
an-3
CA
CAn~2
_1
CAn-l_
np—1
10
将式（4.8.15）变换为能观测标准型（4•&
19）o
其中aq=t^atq=
Bo=T：
'
B=oo
一an-\
_an-2
M0
一Q]
Pn
A,-!
与能控的单输入系统能控标准型变换对应，可以证明，引入非奇异变换x=Tox，将状态完全能观测的单输出系统（4・8•⑸变换为能观测标准型式（4.8.193）的变换矩阵To,由定理8.2中的构造方法与推论2中的构造方法是等效的。
即
【例】试将状态空间表达式变换为能观测标准型
「120_
4
7=[°
0止
u=
O
cA2
6
因为畑=故系统是能观测的，可化为能观测标准型。
引入工=7；
元，其中非奇异变换阵心的逆矩阵
也可根据定理8.2先确定变换阵人,再由矩阵求逆得T：
^
3
_C_
-11--1
1T1
T严
——
CA2
AT；
o
ro_
-—1
-7
变换后所得能观测标准型为
[^=Aox+Bou[y=cox
_00-2
其^,A0=T；
lAT0=109
010
一C7>
[00
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