二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)文档格式.doc

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，CO⊥AB,．∴△AOC∽△COB,．

∴OA·

OB=OC2；

∴OB=∴m=4．

F

-2

-4

-6

C

E

P

D

5

2

1

4

6

G

3、已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.

（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E.直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

（1）由题意得：

解得故抛物线的函数关系式为

（2）在抛物线上，点坐标为（2，6），、C在直线上

解得直线BC的解析式为

设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）

（3）存在P，使得∽设P，故

若要∽，则要或即或

解得或

又在抛物线上，或

解得或故P点坐标为和

4、如图，抛物线与轴的交点为．直线与轴交于，与轴交于．若两点在直线上，且，．为线段的中点，为斜边上的高．

（1）的长度等于；

，．

N

M

H

（2）是否存在实数，使得抛物线上有一点，满足

以为顶点的三角形与相似？

若不存在，说明理由；

若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上

是否还有符合条件的点（简要说明理由）；

并进一步探索对符合条件的

每一个点，直线与直线的交点是否总满足

，写出探索过程．

（1）；

，．

（2）设存在实数，使抛物线上有一点，满足以为顶点的三角形与等腰直角相似．以为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，

一类是以为直角边的等腰直角三角形，另一类是以为斜边的等腰直角三角形．

①若为等腰直角三角形的直角边，则．由抛物线得：

，．，．的坐标为．把代入抛物线解析式，得．

抛物线解析式为．即．

②若为等腰直角三角形的斜边，则，．

的坐标为．把代入抛物线解析式，得．

抛物线解析式为，即

当时，在抛物线上存在一点满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的点，不妨设为点，那么只有可能是以为斜边的等腰直角三角形，由此得，

显然不在抛物线上，故抛物线上没有符合条件的其他的点．

当时，同理可得抛物线上没有符合条件的其他的点．

当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，和都是等腰直角三角形，又，．，，总满足．当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，同理可证得：

，总满足

5、如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？

若存在，求出N点的坐标；

若不存在，说明理由．

（1）由题意可设抛物线的解析式为

∵抛物线过原点∴ ∴

∴抛物线的解析式为即.

A′

（2）∵△AOB与△MOB同底不等高又∵S△MOB=3S△AOB∴△MOB的高是△AOB高的3倍即点M的纵坐标是

∴∴解得，

∴

（3）由抛物线的对称性可知：

AO=AB

若△OBN与△OAB相似，必须有，显然

∴直线ON的解析式为，由，得，∴

过N作NE⊥x轴，垂足为E.在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，∴又OB=4∴NB≠OB

∴∠BON≠∠BNO∴△OBN与△OAB不相似，同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点.

故在抛物线上不存在N点，使得△OBN与△OAB相似

6、如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，

使CM＝｜CE—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO.

（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；

（2）令，请问m是否为定值？

若是，请求出m的值；

若不是，请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，若CO＝1，CE＝，

Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.

（4）在（3）的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在

点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?

若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?

若不存在，请说明理由。

解

（1）EO＞EC，理由如下：

由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC，故EO＞EC

（2）m为定值。

∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=（EO+EC）（EO―EC）=CO·

（EO―EC）

S四边形CMNO=CM·

CO=|CE―EO|·

CO=（EO―EC）·

CO∴

（3）∵CO=1，∴EF=EO=∴cos∠FEC=∴∠FEC=60°

，

∴∴△EFQ为等边三角形，

作QI⊥EO于I，EI=，IQ=∴IO=∴Q点坐标为

∵抛物线y=mx2+bx+c过点C（0，1），Q，m=1，∴可求得，c=1

∴抛物线解析式为

（4）由（3），当时，＜AB

∴P点坐标为∴BP=AO

方法1：

若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：

①时，∴K点坐标为或；

②时，，∴K点坐标为或

故直线KP与y轴交点T的坐标为

方法2：

若△BPK与△AEF相似，由（3）得：

∠BPK=30°

或60°

，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°

或30°

①当∠RTP=30°

时，

②当∠RTP=60°

时，

∴

7、如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等．

（1）求实数的值；

（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；

（3）在

（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？

如果存在，请求出点的坐标；

如果不存在，请说明理由．

8、已知：

在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于A、B两点，交轴于点C，

且对称轴为直线．

（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）若点P（0，t）是轴上的一个动点，

请进行如下探究：

探究一：

如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·

S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？

如果有，求出W的最大值和此时t的值；

如果没有，说明理由；

探究二：

如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？

如果存在，求点P的坐标；

P1

P2

图2

图1

（1）∵抛物线（）的对称轴为直线．∴，∴，

∴．∴．

（2）探究一：

当时，有最大值．

∵抛物线交轴于两点，交轴于点，∴，，，

∴．当时，作轴于，则．

∵，∴．

∵

∴∴当时，有最大值，．

存在．分三种情况：

①当时，作轴于，则，

∴．∴，，

∴．∵轴，轴，

∴，∴，∴．

∴，．此时，又因为，

∴当时，存在点，使，此时点的坐标为（0，2）．

②当时，则，∴，∴．

∵，∴．∴与不相似，此时点不存在．

③当时，以为直径作，则的半径，

圆心到轴的距离．∵，∴与轴相离．不存在点，使．

∴综上所述，只存在一点使与相似．

9、矩形在平面直角坐标系中位置如图13所示，两点的坐标分别为，，

直线与边相交于点．

（1）求点的坐标；

（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；

（3）设

（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点为对称轴上一动点，

以为顶点的三角形与相似，求符合条件的点的坐标．

（1）点的坐标为．

（2）抛物线的表达式为．

（3）抛物线的对称轴与轴的交点符合条件．

∵，∴．∵，

∴．∵抛物线的对称轴，∴点的坐标为．

过点作的垂线交抛物线的对称轴于点．∵对称轴平行于轴，∴．

∴点也符合条件，．∴，

∴．∴．∵点在第一象限，∴点的坐标为，

∴符合条件的点有两个，分别是，．

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