等腰三角形常用辅助线练习(含答案)Word文件下载.doc

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在△ABC中，BA=BC，

∵BA=BC，

∴∠A=∠C，

∵DF⊥AC，

∴∠C+∠FEC=90°

，

∠A+∠D=90°

∴∠FEC=∠D，

∵∠FEC=∠BED，

∴∠BED=∠D，

∴BD=BE，

即△DBE是等腰三角形．

4.如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE的延长线与BC相交于F。

求证：

DF⊥BC.

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

又∵AD=AE，

∴∠D=∠AED，

∴∠ABC+∠D=∠ACB+∠AED，

∴∠ABC+∠D=∠ACB+∠CEF，

∴∠EFC=∠BFE=180°

×

=90°

∴DF⊥BC；

若把“AD=AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。

∵DF⊥BC，

∴∠EFC=90°

∴∠C+∠CEF=∠B+∠D=90°

，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠D=∠DEA

∴AD=AE；

若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。

5.如图，AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,求证：

CM⊥MD.

连接AC,AD

∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED

∴△ABC≌△AED（SAS）

∴AC=AD

∵AM⊥CD

∴∠AMC=∠AMD=90°

∵AM=AM【公共边】

∴RT△ACM≌RT△ADM（HL）

∴CM=DM

6.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于F,且AE=EF,求证：

BF=AC

过B点做AC的平行线交AD的延长线于G点

∵AD为中线，∴BD=CD

∵BG平行于AC，∴∠FGB=∠CAF，∠DBG=∠ACD

在△AFE和△GFB中

∵∠FGB=∠CAF，∠GFB=∠AFE

∴△AFE∽△GFB

∴∠FGB=∠FAE

∵AE=EF

∴∠FAE=∠AFE

∴∠BFG=∠G

∴△GFB为等腰三角形，且BF=BG

在△ADC和△GBD中

∵∠DBG=∠ACD，BD=CD，∠BDG=∠CDA

∴△ADC≌△GBD

∴BG=AC

∴BF=AC

7.已知：

如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC,过D点作DF∥BA,交AE于点F,DF=AC,求证：

AE平分∠BAC

延长AE，过D作DM‖AC交AE延长线于M

∴∠M=∠1

∠C=∠2

在△DEM与△CEA中

∠M=∠1

DE=CE

∴△DEM≌△CEA

∴DM=CA

又∵DF=CA

∴DM=DF

∴∠M=∠3

∵AB‖FD

∴∠3=∠4

∴∠4=∠1

∴AE平分∠BAC

8.已知：

如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。

BD=CE

过D作DF∥AC交BC于F，

∵DF∥AC（已知），

∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB（平行线的性质），

∵AB=AC（已知），

∴∠B=∠ACB（等边对等角），

∴∠B=∠DFB（等量代换），

∴BD=DF（等角对等边），

∵BD=CE（已知），

∴DF=CE（等量代换），

∵∠DFC=∠FCE，∠DGF=∠CGE（已证），

∴△DFG≌△ECG（AAS），

∴DG=GE（对应边相等）

9.已知：

如图，在△ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一点，BE⊥CB 交CD于E,AC⊥DC,求证：

BE=1/2BC

过点A作AF⊥BC交BC于点F

因为：

△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠ABF=∠ACF…………

（1）

所以：

AF是BC上的垂直平分线，AF⊥BC，BF=CF=BC/2…………

（2）

BE⊥BC

BE//AF

∠DBE=∠BAF………………………………（3）

∠CBE=90°

∠DBE+∠ABF=90°

=∠ACF+∠ECB…………（4）

由

（1）和（4）知道：

∠DBE=∠ECB………………（5）

由（3）和（5）知道：

∠BAF=∠ECB

又因为：

AB=CE，∠BFA=∠EBC=90°

RT△BFA≌RT△EBC（角角边）

BF=EB…………………………………………（6）

由

（2）和（6）知道：

BE=BC/2

10.如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥DA交BA延长线于E,求证：

BE=CF=1/2（AB+AC）

如图AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME//DA交BA的延长线于E。

你能运用“中线倍长的转化思想证明BE=CF=½

（AD+AC）吗？

试试看。

延长EM，使EM=MG，连接CG

∵点M是BC的中点

∴BM=CM

∵∠BME=∠CMG

∴△BME≌△CMG（SAS）

∴BE=CG

∠E=∠G

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

∵ME∥DA

∴∠BAD=∠E

∠CAD=∠AFE

∴∠E=∠AFE

∴AE=AF

∵∠AFE=∠CFG

∴∠G=∠CFG

∴CF=CG

（2）求证有误，若是BE=CF=1/2（AB+AC）,则结论可证

∵BE=AB+AE

∴2BE=2AB+2AE

∵CF=BE

AC=CF+AF

AE=AF

∴2BE=2CF=AB+（AB+AE）+AE=AB+BE+AE=AB+（CF+AE）

∵AC=AF+CF

∴2BE=AB+AC

∴BE=CF=1/2（AB+AC）

11.如图，已知△ABC中，AD⊥BC,∠ABC=2∠C.试说明AB+BD=CD的理由。

在DC上截取DE=BD，连接AE

∵AD⊥BC

∴∠ADB=∠ADE=90度

∵AD=AD

∴RT△ADB≌RT△ADE（SAS）

∴AB=AE

∠ABC=∠AEB

∵∠AEB=∠C+∠EAC

∵∠ABC=2∠C

∴∠EAC=∠C

∴AE=CE

∴AB=CE

∵CD=CE+DE

∴AB+BD=CD

12.已知：

如图，AD是△ABC的角平分线，且AC=AB+BD.

求证：

∠B=2∠C.

在AC上作AE＝AB，连结DE

∵AC=AB+BD＝AE+CE

∴BD＝CE

∵AD是角平分线

∴∠BAD＝∠EAD

又∵AB=AE，AD=AD

∴△ABD≌△EAD

∴∠B＝∠AED，BD＝DE＝CE

∴∠EDC=∠C，∠AED＝2∠C

即:

∠B＝2∠C

13.如图所示，已知在△ABC中AD是∠A的平分线，且∠B=2∠C.求证：

AC=AB+BD.

延长AB到E，使AC=AE，连接DE

∵AD是∠BAC的角平分线

∴∠BAD=∠DAC（角平分线的定义）

∵公共边ADAC=AE∠BAD=∠DAC

∴△ACD≌△AED（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）

∴∠ACB=∠DEA（全等三角形形的对角相等）

∵∠BDE+∠DEB=∠CBA∠CBA=2∠ACB∠ACB=∠DEA

∴∠BDE=∠DEA

∴BD=BE（等角对等边）

∵AB+BE=AEAC=AEBD=BE

∴AB+BD=AC

14.如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠BDE。

求∠BDE的度数

连接CE，

∵AC=BC，AE=BE，CE为公共边，

∴△BCE≌△ACE，

∴∠BCE=∠ACE=30°

又BD=AC=BC，∠DBE=∠CBE，BE为公共边，

∴△BDE≌△BCE，

∴∠BDE=∠BCE=30°

15.如图，已知在△ABC中，AB=BC=CA,E是AD上一点，并且EB=BD=DE.求证：

BD+DC=AD.

提示：

证明△ABE≌△BCD即可

16.已知：

如图，△ABC中，∠C=90°

，CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E，

CT=BE

方法一：

作DF‖BC交AB于F,则

∵∠AFD=∠B=∠ACD,AT为∠BAC的角平分线,AD为公共边

∴△AFD≌△ACD,AF=AC

∵AF=AC,AT为∠BAC的角平分线,AD为公共边

∴△ACT≌△AFT,TF⊥AF,TF‖CM

∵DF‖CT‖BE,TF‖CD,DE‖BF

∴四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形

∴CT=DF=BE

方法二：

作TF⊥AB于F,则

∵∠CDT=∠ADM=90°

-∠DAM=90°

-∠DAC=∠CTD

∴∠CDT=∠CTD,CT=CD

∵AT为∠BAC的角平分线，TF⊥AB

∴CT=TF=CD

∵DE‖BF,TF‖CD,TF=CD

∴△CDE≌△TFB,CE=TB

∴CE-TE=TB-TE,CT=BE