初中、小学数列找规律方法与题解Word格式文档下载.doc

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6＝40，即括号内应为40。

（2）、“相邻两数的增加（或减少）值为等差数列”的数列。

这种数列第n个数也有一种通用求法。

基本思路是：

求出数列的第n－1个到第n个的增加（或减少）值（a2－a1）＋（n－2）d，则第n个数是an＝an－1＋（a2－a1）＋（n－2）d。

【例2】在括号内填上所缺的数：

3、7、15、27、（）、……。

因数列的增加值分别为：

4、8、12、16、……，增加值为等差数列。

所以第n个数是：

an＝an－1＋（a2－a1）＋（n－2）d，故a5＝27＋（7－3）＋（5－2）×

4＝43，即括号内应为43。

这是通用解法，当然此题用分析观察的方法求出。

2、等比数列

（1）、等比数列：

相邻两数的后一个数与前一个数的比值相等

的数列叫等比数列。

在等比数列中，第n个数可以表示为：

an＝a1qn－1，其中a1为数列的第一个数，q为后一个数与前一个数的比值。

【例3】在括号内填上所缺的数：

2、6、18、54、162、（）、……。

因邻两数的后一个数与前一个数的比值为3，所以第n个数是：

an＝a1qn－1，故a5＝2×

36－1＝486，即括号内应为486。

（2）、“相邻两数的增加（或减少）值为等比数列”的数列。

求出数列的第n－1个到第n个的增加（或减少）值（a2－a1）qn－2，则第n个数是an＝an－1＋（a2－a1）qn－2。

【例4】在括号内填上所缺的数：

3、5、9、17、33、（）、……。

2、4、8、16、32、……，增加值为等比数列。

an＝an－1＋（a2－a1）qn－2，故a6＝33＋（5－3）×

26－2＝65，即括号内应为65。

3、其它的数列（非等差、等比数列）

只有用分析、观察和一些技巧的方法。

【例5】在括号内填上所缺的数：

2、2、4、4、6、8、8、16、（）、……。

这个数列由等差数列2、4、6、8、……在前，等比数列2、4、8、16、……在后组成的交错数列，所以括号内应为10。

【例6】在括号内填上所缺的数：

1、3、2、5、3、7、4、9、（）、……。

这个数列由自然数列1、2、3、4、……，在相邻两数之间插入这两个数的和组成的，所以括号内应为5。

【例7】在括号内填上所缺的数：

0、0、1、2、6、3、4、（）、5、……。

这个数列由新规定自然数列0、1、2、3、4、5、……，从0开始向右依次两两一组，在每组中间插入这两个数的积组成的，所以括号内应为20。

【例8】在括号内填上所缺的数：

0、3、8、15、24、（）、……。

容易发现，已知数列的每一项，都等于它的项数的平方减1。

因此，第n个数是：

an＝n2－1，故a6＝62－1＝35，即括号内应为35。

类似题有：

an＝n2＋1、an＝n2±

2等。

【例9】在括号内填上所缺的数：

1、9、25、49、（）、……。

观察发现，已知数列的各项，依次对应于1、3、5、7、……的平方，即第n个数是：

an＝（2n－1）2，故a5＝（2×

5－1）2＝81，即括号内应为81。

an＝（2n＋1）2、an＝（2n±

1）2等。

【例10】在括号内填上所缺的数：

2、9、28、65、（）、……。

观察发现，已知数列的各项，依次对应于项数的三次方加1，即第n个数是：

an＝n3＋1，故a5＝53＋1＝126，即括号内应为126。

an＝n3－1、an＝n3±

2等。

【例11】在括号内填上所缺的数：

4、16、36、64、100、（）、……。

观察发现，已知数列的每一项，都等于它的项数2倍的平方。

an＝（2n）2，故a6＝（2×

6）2＝144，即括号内应为144。

an＝（3n）2等。

【例12】在括号内填上所缺的数：

0、6、16、30、48、（）、……。

观察发现，各项除以2，得0、3、8、15、24、……，而这个数列的每一项，都等于它的项数的平方减1。

所以原数列的第n个数是：

an＝2（n2－1），故a6＝2×

（62－1）＝70，即括号内应为70。

an＝2（n2±

1）、an＝3（n2±

1）等。

【例13】在括号内填上所缺的数：

5，7，11，19，35，67、（）、……。

观察发现，后一项减前一项，得4、4、8、16、32、……，由此可看出原数列从第二项起，后一项等于前一项加2的（n－1）次方。

an＝an－1＋2n－1，故a7＝67＋26－1＝99，即括号内应为99。

an＝an－1±

2n±

1。

【例14】在括号内填上所缺的数：

1、2、4、7、11、16、22、29、（）、……。

观察发现，相邻两数依次相差：

1、2、3、4、5、6，、……，所以第n个数是：

an＝an－1＋n－1，故a9＝29＋8＝37，即括号内应为37。

an＝an－1＋n＋1等。

。

2、5、10、17、26、37、50、（）、……。

3、5、7、9、……，所以第n个数是：

an＝an－1＋2n－1，故a8＝50＋15＝65，即括号内应为65。

an＝an－1＋2n＋1等。

【例15】在括号内填上所缺的数：

8、12、16、20、24、、（）、……。

仔细观察发现，依次是项数加1后乘以4所得数列，或原数列是数列9、16、25、36、49、……减去数列1、4、9、16、25、……对应项所得差组成，这两种说法实质上是一样的。

an＝4（n＋1）＝（n＋2）2－n2，故a6＝4（6＋1）＝28，即括号内应为28。

常见的还有以下规律：

an＝n×

（3n－2）

an＝2n＋1＋1

an＝n（n－1）

an＝2n±

1

an＝n（n+1）（n+2）/3

an＝n（n+1）/2

……；

项数依次＋3、－1循环:

1、4、3、6、5、8、7、……

后一项等于前两项和：

1、1、2、3、5、8、……

奇数项1、2、3、4、5、……与偶数项2、4、8、16、……交错组合：

1、2、2、4、3、8、4、16、5、……

奇数项：

2、4、6、8、……与偶数项：

1、3、9、27、……交错组合：

2、1、4、3、6、9、8、27、10、……

分组数列n、3n、5n：

1、3、5、2、6、10、3、9、15、……

……。

总之，数列规律的类型是千变万化的，有的是所给数字间有规律，有的是隔一个数字间有规律。

还有的是相邻两个数字之间地差呈某种规律。

规律可能有同加同减同乘一个数或一个数列，或者平方等。

小学的找规律很简单，只有加、减、乘、除类型，不会有平方或多次方等类型。

中学的稍微难一些，又在平方的基础上加上了平方或多次方等。