勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)Word格式文档下载.doc
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步
骤
及
突
出
方
法
一、知识归纳
1、勾股定理的逆定理
如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；
若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；
若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边。
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：
当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
2、勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；
；
等
③用含字母的代数式表示组勾股数：
（为正整数）；
（为正整数）
（，为正整数）
题型一：
应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例1.已知三角形的三边长为，，，判定是否为
①，， ②，，
分析：
由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：
①，
是直角三角形且
②，，不是直角三角形
例2.三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？
此三角形是直角三角形
理由：
，且
所以此三角形是直角三角形
例3.如果△ABC的三边长分别为a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2（m>
n,m,n是正整数），则△ABC是直角三角形吗？
先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
∵（m2-n2）2+（2mn）2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2，
∴a2+b2=c2，
∴能成为直角三角形的三边长．
题型二：
勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例4.已知中，，，边上的中线，求证：
证明：
为中线，
在中，，，
，，，
例5.
（1）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．
（2）在△ABC中，若AB=15，AC=13，高AD=12，求△ABC的周长．
分析：
（1）根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
（2）本题应分两种情况进行讨论：
①当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
②当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
（1）∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD=15，
（2）分两种情况：
①当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=9，在Rt△ACD中，CD=5，
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：
15+13+14=42；
②当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=9，在Rt△ACD中，CD=4，∴BC=9-5=4．
15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；
当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32
例6：
如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，求证：
AF⊥EF．
思路点拨：
要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了．
基础练习：
若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．
（提示：
根据所给条件，只有从关于a，b，c的等式入手，找出a，b，c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，求出a=5，b=12，c=13，∵a2+b2=c2，∴△ABC是Rt△）
二、提高例题
例1.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。
【提高练习】
1．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。
已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°
，问：
甲巡逻艇的航向？
2．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。
3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°
。
三、能力培养
例1已知：
如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：
四边形ABCD的面积。
使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。
本题辅助线作平行线间距离无法求解。
创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。
⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；
⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；
⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。
例2已知：
如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·
BD。
求证：
△ABC是直角三角形。
勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。
∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·
BD+BD2=（AD+BD）2=AB2
【能力训练】
1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）
A．等腰三角形；
B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形。
2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：
b：
c=1：
1：
，试判断△ABC的形状。
3．已知：
如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC。
4．已知：
在△ABC中，∠ACB=90°
，CD⊥AB于D，且CD2=AD·
△ABC中是直角三角形。
5．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。
6．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。
△ABC是等腰三角形。
7．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。
《勾股定理及逆定理》测试题
一、选择题
1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）.
A．12，15，17B．9，16，25C．5a，12a，13a（a>
0）D．2，3，4
2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB＝8，BC＝15，CA＝17，则下列结论不正确的是（）.
A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
C．△ABC的面积是60D．△ABC是直角三角形，且∠A＝60°
3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a：
c＝1：
：
2，则下列说法错误的是（）.
A．∠C＝90°
B．c2－a2＝b2C．c2＝2a2D．若a＝k，则c＝2k（k>
0）
4．下列定理中,没有逆定理的是（）.
A．两直线平行，内错角相等B．直角三角形两锐角互余
C．对顶角相等D．同位角相等，两直线平行
5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.则满足下列条件但不是直角三角形的是（）.
A．∠A＝∠B－∠CB．∠A：
∠B：
∠C＝1：
2
C．a：
c＝4：
5：
6D．a2－c2＝b2
6、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（）
A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形
C.钝角三角形D.直角三角形
二、填空题
7．若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是.
8．若一三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为
cm2.
9.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面（填“合格”或“不合格”）；
10.如图1，一根电线杆高8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面（填“垂直”或“不垂直”）
11．一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm，杯深16cm.今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm，则这玻璃杯的形状是体.
图2
图1
B
A
图3
12.写出一组全是偶数的勾股数是.
13.如图3：
是一个高12cm，底面半径3cm的圆柱，在圆柱下底的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，需要沿圆柱侧面爬行的最短路程是____________。
14.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、
3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是.
15.如右图所示，长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为。
三、解答题（11题20分,12、13、14每小题10分，共50分）
16.判断由下列各组线段a、b、c的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由.
（1）a＝6.5，b＝7.5，c＝4；
（2）a＝11，b＝60，c＝61；
（3）a＝，b＝2，c＝；
（4）a＝，b＝2，c＝；
17.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.a＝n2－16，b＝8n，c＝n2+16（n>
4）.求证:
∠C=90°
.
18.如图3，AD=7，AB＝25，BC＝10，DC＝26，DB＝24，求四边形ABCD的面积.
C
D
19.如图4，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.
图4
（1）求DC的长.
（2）求AB的长.
（3）求证:
△ABC是直角三角形.
20、在数轴上作出的点（保留痕迹）。
1
2
3
4
－1
－2
－3
21.如图，一架2.5米长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足距底端为0.7米，如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？
O
22..如图9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？
6km
8km
10/10
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