判定平行四边形的五种方法文档格式.doc

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F

B

D

C

E

图1

（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。

解：

（1）选证△BDE≌△FEC

证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACD=60°

∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形

∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°

∴∠BDE=∠FEC=120°

又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC

（2）四边形ABDF是平行四边形

理由：

由

（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形

∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°

∴AB∥DF，BD∥AF

∵四边形ABDF是平行四边形。

点评：

当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。

二、一组对边平行且相等

例2已知：

如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F

（1）求证：

△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°

得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？

并说明理由。

分析：

（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。

（1）∵ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠DCE=90°

又∵CG=CE，△BCG≌△DCE

（2）∵△DCE绕D顺时针

旋转90°

得到△DAE′，

∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，

∵四边形ABCD是正方形

∴BE′∥DG，AB=CD

∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG

∴四边形DE′BG是平行四边形

当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形

三、两组对边分别相等

例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。

求证：

四边形DAEF是平行四边形；

利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。

∵△ABD和△FBC都是等边三角形

∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°

∴∠DBF=∠ABC

又∵BD=BA，BF=BC∴△ABC≌△DBF

∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC

∴AB=EF=AD

∴四边形ADFE是平行四边形

题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。

四、对角线互相平分

例4已知：

如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：

四边形EFGH是平行四边形。

图4

因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。

∵AE⊥BD，CG⊥BD，

∴∠AEO=∠CGO，

∵∠AOE=∠COG，OA=OC

∴△AOE≌△COG，∴OE=OG

同理△BOF≌△DOH

∴OF=OH

∴四边形EFGH是平行四边形

当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。

五、两组对角相等

例5将两块全等的含30°

角的三角尺如图1摆放在一起

四边形ABCD是平行四边形吗？

理由。

（1）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？

说出你的结论和理由：

。

因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。

（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：

∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°

+90°

=120°

，

∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°

+30°

又∠A=60°

，∠C=60°

∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C

（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：

将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1

∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1

∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，∠BC1D1=

∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB

所以四边形ABC1D1是平行四边形

=

（2）也可这样证明：

由

（1）知ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，将

Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，始终有AB∥C1D1，故ABC1D1是平行四边形。

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