平面直角坐标系知识梳理及经典题型(教师版)Word格式.doc

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2、点P（）所在的数轴横、纵坐标、中必有一数为零；

P（）

（四）在平面直角坐标系中，已知点P，则

1、点P到轴的距离为；

2、点P到轴的距离为；

3、点P到原点O的距离为PO＝

（五）平行直线上的点的坐标特征：

1、在与轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；

Y

A

B

点A、B的纵坐标都等于；

X

2、在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；

C

D

点C、D的横坐标都等于；

（六）对称点的坐标特征：

1、点P关于轴的对称点为，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；

2、点P关于轴的对称点为，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；

y

P

O

3、点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；

关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称

（七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：

1、若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；

2、若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；

在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上

（八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：

1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

P（x，y）

P（x，y－a）

P（x－a，y）

P（x＋a，y）

P（x，y＋a）

向上平移a个单位长度

向下平移a个单位长度

向右平移a个单位长度

向左平移a个单位长度

（九）用坐标表示平移：

见下图

二、题型分析：

题型一：

代数式与点坐标象限判定

此类问题通常与不等式（组）联系在一起，或由点所在的象限确定字母的取值范围，或由字母的取值范围确定点所在的象限．

【例1】在平面直角坐标系中，点在（　　）

　　Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限

【解析】由各象限点的特征知，点在第四象限，故选D．

【点评】解答这类问题所需的知识点是第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是（+，+）、（-，+）、（-，-）、（-，+）．

【例2】若点（）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点一定在（　　）

　　A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限

【解析】由题意知，解得于是点P的坐标为（1，-1），于是点P在第二象限．选B．

【点评】本题设置了一个小小的障碍，即先根据横坐标与纵坐标互为相反数列出方程解出m，然后才能根据会标特点确定象限．

【例3】若点P（a，b）在第四象限，则点M（b-a，a-b）在（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

答案：

分析：

第四象限横坐标大于0，纵坐标小于0.

【例4】如果a－b＜0,且ab＜0,那么点（a，b）在（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限,D、第四象限.

答案：

B

【例5】对任意实数x，点P（x，x2－2x）一定不在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【例7】点P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P点的坐标是　　　　。

（3，-2）

【例8】若点M（1–x，x+2）在第二象限内，则x的取值范围为；

x＞2

习题演练：

1、在平面直角坐标系中，点P（）一定在象限。

2、点P（x－1，x＋1）不可能在（）

A、第一象限　　B、第二象限　　C、第三象限　　D、第四象限

3、如果点M（a＋b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第________象限。

4、点Q（3–a，5–a）在第二象限，则=；

5、点M（a，a-1）不可能在（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

6、如果＜0，那么点P（x，y）在（）

A、第二象限B、第四象限C、第四象限或第二象限D、第一象限或第三象限

题型二：

用代数式求坐标轴上的点坐标

例1：

在平面直角坐标系中，已知点P（）在轴上，则P点坐标为

答案：

（7，0）

例2：

已知:

A（1,2）,B（x,y）,AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是.

（-2，2）或（2，2）

1、已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线AB∥x轴，则m的值为。

2、已知线段AB=3，AB∥轴，若点A的坐标为（，2），则B点的坐标为；

3、已知点P（x2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x=.

题型三：

求对称点的坐标

解答此类问题所需知识点是：

点（a,b）关于x轴的对称点是（a,-b），关于y轴的对称点是（-a,b），关于原点的对称点是（-a,-b）．

图1

【例1】在如图1所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以所在的直线为轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使点与点关于原点对称，则这时点的坐标可能是（　　）

　　Ａ． Ｂ．

　　Ｃ． Ｄ．

【解析】根据题意，点与点关于原点对称，MN所在直线为y轴，于是可确定原点为图中O点位置，即x轴为过O点的一条横线，于是C点的坐标为（2，-1），即选B．

【点评】本题逆向考查了两点关于原点对称问题，求C点坐标的关键是确定直角坐标系的原点所在．

例1：

点M（2，－3）关于轴的对称点N的坐标为；

关于轴的对称点P

的坐标为；

关于原点的对称点Q的坐标为。

（2，3）；

（-2，-3）；

（3，-2）

例2已知点A（a，－5），B（8，b）根据下列要求，确定a，b的值．

（1）A，B两点关于y轴对称；

（2）A，B两点关于原点对称；

（3）AB∥x轴；

（4）A，B两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．

【分析】

（1）两点关于y轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同；

（2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数；

（3）两点连线平行于x轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；

（4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同．

【解答】

（1）当点A（a，－5），B（8，b）关于y轴对称时有：

（2）当点A（a，－5），B（8，b）关于原点对称时有

（3）当AB∥x轴时，有

（4）当A，B两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：

xA=yB且xA=yB即a=－5，b=8．

【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．

1、点P（，）关于轴的对称点的坐标是，关于轴的对称点的坐标是，关于原点的对称点的坐标是；

2、在平面直角坐标系下，下列各组中关于原点对称又关于y轴对称的点是（ 

）

A、（3，－2）（－3，－2）B、（0，3）（0，－3）

C、（3，0）（－3，0）D、（3，－2）（－3，2）

题型四：

根据坐标对称求代数式的值

已知点P和点A关于轴对称，那么=；

1、已知点A（2a+3b，－2）和点B（8，3a+2b）关于x轴对称，那么a+b=（）

A、2B、－2C、0D、4

答案：

2、已知：

点P的坐标是（,），且点P关于轴对称的点的坐标是（,），则；

答案：

-3；

题型五：

根据到坐标轴的距离求坐标

例1：

过点A（2，-3）且垂直于y轴的直线交y轴于点B，则点B坐标为（）．

A、（0，2）B、（2，0）C、（0，-3）D、（-3，0）

例2：

已知点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则M点的坐标为（）．

A、（3，2）B、（-3，-2）

C、（3，-2）D、（2，3），（2，-3），（-2，3），（-2，-3）

例3：

若点P（，）到轴的距离是，到轴的距离是，则这样的点P有（）

Ａ、１个　　Ｂ、２个　　Ｃ、３个　　　Ｄ、４个

1、点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是（）

A、（4，2）B、（－2，－4）C、（－4，－2）D、（2，4）

2、点E（a,b）到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有（）

A、a=3,b=4B、a=±

3,b=±

4C、a=4,b=3D、a=±

4,b=±

3

3、已知点P的坐标为（2–a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P坐标是（）

A、（3，3）B、（3，—3）C、（6，一6）D、（3，3）或（6，一6）

题型六：

根据图形的其他顶点坐标求点坐标

在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（0，-5），（-2，-2），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_______象限．

一

1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（–1,–1）、（–1，2）、（3,–1），则第四个顶点的坐标为（）

A、（2，2）B、（3，2）C、（3，3）D、（2，3）

题型七：

根据点的坐标求图形的面积

已知点A（-2，0）B（4，0）C（-2，-3）。

（1）求A、B两点之间的距离。

（2）求点C到X轴的距离。

（3）求△ABC的面积。

（1）6；

（2）3；

（3）9

1、在坐标系中，已知A（2，0），B（－3，－4），C（0，0），则△ABC的面积为（）

A、4B、6C、8D、3

技巧：

割补法求面积

题型八：

求平移后的坐标

已知三角形的三个顶点坐标分别是（－1，4）、（1，1）、（－4，－1），现将这三个点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）

A、（－2，2），（3，4），（1，7）B、（－2，2），（4，3），（1，7）

C、（2，2），（3，4），（1，7）D、（2，－2），（3，3），（1，7）

线段CD是由线段AB平移得到的.点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为（）

A、（2，9）B、（5，3）C、（1，2）D、（–9，–4）

1、已知点，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点，则点的坐标是．

（-1,1）

题型九：

图形变换后点的坐标

　　【例4】将点沿轴的正方向平移个单位得到点的坐标是（　　）

　　Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

【解析】将点P沿轴的正方向平移时，横坐标发生变化，然纵坐标是不变化的，于是点的坐标为（2，2），即选C．

图2

【点评】处理类似问题不妨新建一个直角坐标系草图分析一下，沿x轴正方向平移时，纵坐标的不变性就很直观了．

　　【例5】如图2，将绕点逆时针旋转，

得到．若点的坐标为，

则点的坐标为 ．

【解析】从图形上可以看出，逆时针旋转后，得到的所在位置也很特殊，即B`恰好落在y轴上，于是点的纵坐标为a,横坐标应该为-b;

故点的坐标为（-b,a）．

【点评】本题分析出得到的所在位置很特殊还算容易，但在处理坐标时更容易粗心致错，即认为点的横坐标应该为b，忽视逆时针旋转后点A`所在象限变化到第二象限了．

例1：

如图4所示，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=_______．

2006

图1图2

已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图8所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A的坐标是（）

A．（－2，1）B．（2，1）C．（2，－1）D．（－2，－1）

题型十：

寻点构造等腰三角形

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知A点的坐标为（1，1），请你在坐标轴上找出点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（）

A．6个B．7个C．8个D．9个

题型十一、平面直角坐标系下的作图问题

Ａ

Ｂ

Ｃ

图6

【例8】如图6，网络中每个小正方形的边长为1，点的坐标为．

（1）画出直角坐标系（要求标出轴，轴和原点）并写出点的坐标；

（2）以为基本图形，利用轴对称或旋转或平移设计一个图案，说明你的创意．

【解析】

（1）由题意，分析给出的点的坐标为，可以确定出直角坐标系数的原点及坐标轴所在（如下图），于是点A的坐标可确定为（-4，3）；

（2）此题较开放，如下图，图案设计的创意为：

“比冀双飞”．

　　【点评】本题是一道新课标下的开放性试题，可以充分发挥考生的主观能动性，培养发散思维，值得同学们在今后学习时重视．