立体几何专题训练(附答案)Word格式文档下载.doc

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进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1­

D的平面角．

不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°

，所以OB＝，OC＝1，OB1＝.

在Rt△OO1B1中，易知O1H＝＝2.而O1C1＝1，于是C1H＝＝＝.

故cos∠C1HO1＝＝＝.

即二面角C1­

D的余弦值为.

方法二：

因为四棱柱ABCD­

A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直．

图（b）

如图（b），以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O­

xyz，不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°

，所以OB＝，OC＝1，于是相关各点的坐标为O（0，0，0），

B1（，0，2），C1（0，1，2）．

易知，n1＝（0，1，0）是平面BDD1B1的一个法向量．

设n2＝（x，y，z）是平面OB1C1的一个法向量，则即

取z＝－，则x＝2，y＝2，所以n2＝（2，2，－）．

设二面角C1­

D的大小为θ，易知θ是锐角，于是

cosθ＝|cos〈，〉|＝＝＝.

故二面角C1­

19．、、[2014·

江西卷]如图1­

6，四棱锥P­

ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.

（1）求证：

AB⊥PD.

（2）若∠BPC＝90°

，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P­

ABCD的体积最大？

并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．

因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.

（2）过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.

故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.

在Rt△BPC中，PG＝，GC＝，BG＝.

设AB＝m，则OP＝＝，故四棱锥P­

ABCD的体积为

V＝×

·

m·

＝.

因为m＝＝

，

所以当m＝，即AB＝时，四棱锥P­

ABCD的体积最大．

此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O（0，0，0），B，C，D，P，故＝，＝（0，，0），CD＝.

设平面BPC的一个法向量为n1＝（x，y，1），

则由n1⊥，n1⊥，得解得x＝1，y＝0，则n1＝（1，0，1）．

同理可求出平面DPC的一个法向量为n2＝.

设平面BPC与平面DPC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.

辽宁卷]如图1­

5所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°

，E，F分别为AC，DC的中点．

EF⊥BC；

（2）求二面角E­

BF­

C的正弦值．

5

方法一，过点E作EO⊥BC，垂足为O，连接OF.由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC＝∠FOC＝，即FO⊥BC.又EO⊥BC，EO∩FO＝O，所以BC⊥平面EFO.又EF⊂平面EFO，所以EF⊥BC.

图1

方法二，由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线，并将其作为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线，并将其作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，－1，），D（，－1，0），C（0，2，0），因而E（0，，），F（，，0），所以＝（，0，－），＝（0，2，0），因此·

＝0，

从而⊥，所以EF⊥BC.

图2

（2）方法一，在图1中，过点O作OG⊥BF，垂足为G，连接EG.因为平面ABC⊥平面BDC，所以EO⊥面BDC，又OG⊥BF，所以由三垂线定理知EG⊥BF，

因此∠EGO为二面角E­

C的平面角．

在△EOC中，EO＝EC＝BC·

cos30°

由△BGO∽△BFC知，OG＝·

FC＝，因此tan∠EGO＝＝2，从而得sin∠EGO＝，即二面角E­

C的正弦值为.

方法二，在图2中，平面BFC的一个法向量为n1＝（0，0，1）．

设平面BEF的法向量n2＝（x，y，z），

又＝（，，0），＝（0，，），

所以得其中一个n2＝（1，－，1）．

设二面角E­

C的大小为θ，且由题知θ为锐角，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，

因此sinθ＝＝，即所求二面角正弦值为.

19．G5、G11[2014·

新课标全国卷Ⅰ]如图1­

5，三棱柱ABC­

A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.

AC＝AB1；

（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°

，AB＝BC，求二面角A­

A1B1­

C1的余弦值．

连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．

又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.

由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.

又B1O＝CO，故AC＝AB1.

（2）因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.

又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．

以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O­

　xyz.

因为∠CBB1＝60°

，所以△CBB1为等边三角形，又AB＝BC，则A，B（1，0，0），B1，C.

＝，

＝AB＝，

1＝BC＝.

设n＝（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则

即

所以可取n＝（1，，）．

设m是平面A1B1C1的法向量，

则

同理可取m＝（1，－，）．

则cos〈n，m〉＝＝.

所以结合图形知二面角A­

C1的余弦值为.

18．，，，[2014·

四川卷]三棱锥A­

BCD及其侧视图、俯视图如图1­

4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.

P是线段BC的中点；

（2）求二面角A­

NP­

M的余弦值．

18．解：

（1）如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.

由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，

所以AO⊥BD，OC⊥BD.

因为AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，

所以BD⊥平面AOC.

又因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.

取BO的中点H，连接NH，PH.

又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MN∥BD，NH∥AO，

因为AO⊥BD，所以NH⊥BD.

因为MN⊥NP，所以NP⊥BD.

因为NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.

又因为HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.

又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC.

因为H为BO的中点，所以P为BC的中点．

如图所示，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.

由

（1）知，NP∥AC，所以NQ⊥NP.

因为MN⊥NP，所以∠MNQ为二面角A­

M的一个平面角．

由

（1）知，△ABD，△BCD为边长为2的正三角形，所以AO＝OC＝.

由俯视图可知，AO⊥平面BCD.

因为OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰直角△AOC中，AC＝.

作BR⊥AC于R

因为在△ABC中，AB＝BC，所以R为AC的中点，

所以BR＝＝.

因为在平面ABC内，NQ⊥AC，BR⊥AC，

所以NQ∥BR.

又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，

所以NQ＝＝.

同理，可得MQ＝.

故△MNQ为等腰三角形，

所以在等腰△MNQ中，

cos∠MNQ＝＝＝.

故二面角A­

M的余弦值是.

由俯视图及

（1）可知，AO⊥平面BCD.

因为OC，OB⊂平面BCD，所以AO⊥OC，AO⊥OB.

又OC⊥OB，所以直线OA，OB，OC两两垂直．

如图所示，以O为坐标原点，以OB，OC，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O­

xyz.

则A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（－1，0，0）．

因为M，N分别为线段AD，AB的中点，

又由

（1）知，P为线段BC的中点，

所以M，N，P，于是AB＝（1，0，－），BC＝（－1，，0），MN＝（1，0，0），NP＝.

设平面ABC的一个法向量n1＝（x1，y1，z1），

由得即

从而

取z1＝1，则x1＝，y1＝1，所以n1＝（，1，1）．

设平面MNP的一个法向量n2＝（x2，y2，z2），由，

得

取z2＝1，则y2＝1，x2＝0，所以n2＝（0，1，1）．

设二面角A­

M的大小为θ，则cosθ＝＝＝.

故二面角A­

NP­

M的余弦值是.

17．、[2014·

天津卷]如图1­

4所示，在四棱锥P­

ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

BE⊥DC；

（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（3）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F­

AB­

P的余弦值．

17．解：

方法一：

依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图所示），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．C由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）．

向量BE＝（0，1，1），DC＝（2，0，0），

故BE·

DC＝0，

所以BE⊥DC.

（2）向量BD＝（－1，2，0），PB＝（1，0，－2）．

设n＝（x，y，z）为平面PBD的法向量，

则即

不妨令y＝1，可得n＝（2，1，1）为平面PBD的一个法向量．于是有

cos〈n，BE〉＝＝＝，

所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.

（3）向量BC＝（1，2，0），CP＝（－2，－2，2），AC＝（2，2，0），AB＝（1，0，0）．由点F在棱PC上，

设CF＝λ，0≤λ≤1.

故BF＝BC＋CF＝BC＋λ＝（1－2λ，2－2λ，2λ）．由BF⊥AC，得BF·

AC＝0，因此2（1－2λ）＋2（2－2λ）＝0，解得λ＝，即BF＝.设n1＝（x，y，z）为平面FAB的法向量，则即不妨令z＝1，可得n1＝（0，－3，1）为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝（0，1，0），则

cos〈，〉＝＝＝－.

易知二面角F­

P是锐角，所以其余弦值为.

如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.

因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.

（2）连接BM，由

（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．

依题意，有PD＝2，而M为PD中点，可得AM＝，进而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝，

（3）如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角F­

P的平面角．

在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°

.由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝，所以二面角F­

P的余弦值为.

20．、[2014·

浙江卷]如图1­

5，在四棱锥A­

BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°

，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.

DE⊥平面ACD；

（2）求二面角B­

AD­

E的大小．

20．解：

在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，

由AC＝，AB＝2，

得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，

所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD.

过B作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG.由

（1）知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B­

E的平面角．

在直角梯形BCDE中，由CD2＝BC2＋BD2，

得BD⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.

在Rt△ACD中，由DC＝2，AC＝，得AD＝.

在Rt△AED中，由ED＝1，AD＝，得AE＝.

在Rt△ABD中，由BD＝，AB＝2，AD＝，得BF＝，AF＝AD.从而GF＝ED＝.

在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE＝，BG＝.

在△BFG中，cos∠BFG＝＝.

所以，∠BFG＝，即二面角B­

E的大小是.

以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D­

xyz，如图所示．

由题意知各点坐标如下：

D（0，0，0），E（1，0，0），C（0，2，0），

A（0，2，），B（1，1，0）．

设平面ADE的法向量为m＝（x1，y1，z1），

平面ABD的法向量为n＝（x2，y2，z2）．

可算得AD＝（0，－2，－），AE＝（1，－2，－），＝（1，1，0）．

由即

可取m＝（0，1，－）．

可取n＝（1，－1，）．

于是|cos〈m，n〉|＝＝＝.

由题意可知，所求二面角是锐角，

故二面角B­

19．，[2014·

重庆卷]如图1­

3所示，四棱锥P­

ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝，MP⊥AP.

（1）求PO的长；

（2）求二面角A­

PM­

3

（1）如图所示，连接AC，BD，因为四边形ABCD为菱形，所以AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O­

因为∠BAD＝，

所以OA＝AB·

cos＝，OB＝AB·

sin＝1，

所以O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（－，0，0），＝（0，1，0），＝（－，－1，0）．

由BM＝，BC＝2知，＝＝，

从而＝＋＝，

即M.

设P（0，0，a），a＞0，则＝（－，0，a），＝.因为MP⊥AP，所以·

＝0，即－＋a2＝0，所以a＝或a＝－（舍去），即PO＝.

（2）由

（1）知，＝，＝，＝.设平面APM的法向量为n1＝（x1，y1，z1），平面PMC的法向量为n2＝（x2，y2，z2）．

由n1·

＝0,n1·

＝0，得

故可取n1＝.

由n2·

＝0，n2·

故可取n2＝（1，－，－2）．

从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为

cos〈n1，n2〉＝＝－，

故所求二面角A­

G3平面的基本性质、空间两条直线

4．[2014·

辽宁卷]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

4．B　[解析]B　[解析]由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；

若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；

若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与a相交，故D错误．

17．、、[2014·

福建卷]在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1­

5所示．

AB⊥CD；

（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.

又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.

（2）过点B在平面BCD内作BE⊥BD.

由

（1）知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.

以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）．

依题意，得B（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A（0，0，1），M.

则＝（1，1，0），＝，＝（0，1，－1）．

设平面MBC的法向量n＝（x0，y0，z0），

取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝（1，－1，1）．

设直线AD与平面MBC所成角为θ，

则sinθ＝＝＝.

即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.

11．[2014·

新课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABC­

A1B1C1中，∠BCA＝90°

，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）

A.B.C.D.

11．C　[解析]如图，E为BC的中点．由于M，N分别是A1B1，A1C1的中点，故MN∥B1C1且MN＝B1C1，故MN綊BE，所以四边形MNEB为平行四边形，所以EN綊BM，所以直线AN，NE所成的角即为直线BM，AN所成的角．设BC＝1，则B1M＝B1A1＝，所以MB＝＝＝NE，AN＝AE＝，

在△ANE中，根据余弦定理得cos∠ANE＝＝.

G4空间中的平行关系

20．、、[2014·

安徽卷]如图1­

5，四棱柱ABCD­

A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三